精品解析：贵州省织金县第五中学2024届高三下学期高考考前预测模拟数学试题

2024届织金五中高三毕业考试卷 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，若是实数，则实数（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 5. 如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7. 已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为，当最大时，红球个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 若，则有最大值 C. ，，成等差数列 D. 若，，则 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 11. 已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，则椭圆的离心率为 C. D. 若直线平行于x轴，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 13. 已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________. 14. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC上一点，AD平分，． （1）求； （2）若，求的外心O到BC的距离． 16. 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． （1）小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （2）若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 17. 在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥． （1）求ME与平面CDE所成角的大小； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 19. 已知函数． （1）求出的所有零点，并求出函数在零点处的切线方程； （2）设，，证明：，； （3）若函数有两个解，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届织金五中高三毕业考试卷 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再求， 【详解】因为，且， 所以， 因为，，所以， 所以． 故选：B． 2. 已知复数，若是实数，则实数（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果. 【详解】因为，则， ∴，得到， 故选：C． 3. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量垂直数量积坐标公式计算即可. 【详解】由或, 故选:C． 4. 若等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，又，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B 5. 如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 6. 已知甲组数据：1，3，5，7，9，11，乙组数据：2，4，8，16，根据不同组别，用分层抽样的方法随机抽取一个容量为5的样本，则该样本的平均数不可能是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先根据分层抽样算出甲乙两组数据抽到的数据个数，列出表格，在结合平均数公式计算得出答案； 【详解】根据分层抽样可知甲组数据抽取3个数据，乙组数据抽取2个数据，具体情况如下表： 甲组抽样 乙组抽样 平均数 3，5，7 2，8 5 5，7，11 4，8 7 5，7，9 8，16 9 平均数为11时，需5个样本数字之和为55，而样本之和最大值为． 故选：D． 7. 已知袋中有除颜色外形状相同的红、黑球共10个，设红球的个数为n，从中随机取出3个球，取出2红1黑的概率记为，当最大时，红球个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】表示出，根据求出，根据只能取正整数，得出，关系，即可求解． 【详解】设红球个数为n时，2红1黑的概率为，，， 则， 故时，， 因此，，且， 故． 故选：B． 8. 函数的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数商关系化简函数，构造函数，结合函数导数判断函数单调性求出函数最小值； 【详解】，， 故， 令，则，， 令，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 取最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 若，则有最大值 C. ，，成等差数列 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和应用对应证明等差判断A,应用数列正负求前n项和的最大值，特殊值法判断C,结合等差数列性质判断D. 【详解】，，故A正确； 若，则，最大；若，，最大； 若，则，则存在，，，故最大，故B正确； 对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误； 不妨设，则， 即，∴， 而，故，D正确． 故选:ABD． 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数的极小值为 D. 若有3个不等实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ） A. 若，则椭圆的离心率为 B. 若，则椭圆的离心率为 C. D. 若直线平行于x轴，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解. 【详解】如图，直线l与交于G， 对于A，若，则，所以， 所以，故A正确； 对于B，设，则，且即， 所以， 所以，故B错误； 对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确； 对于D，设点，则直线， 因为直线平行于x轴，所以点的中点， 所以由点G在直线l上且得， 解得，即， 因此，故D正确. 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：点关于直线对称的点的计算求解步骤： （1）设所求点坐标， （2）利用中点坐标公式求出中点坐标， （3）利用中点坐标在直线上和两点所在直线与已知直线垂直则斜率乘积为这两个条件建立关于所求点坐标的方程组，利用该方程组即可求解. （4）遇特殊直线如或一般直接得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，且是偶函数，在上有，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据及是偶函数代入可得. 【详解】由题意可知． 故答案为： 13. 已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，球O与正方体的各个表面都相切，则平面MBD截球O所得截面的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设BD，AC交于Q，作于H，证明平面，所求截面为以H为圆心的小圆，求圆的面积即可. 【详解】如图： 设BD，AC交于Q，作于H， 在正方体中， 平面，平面， 所以，又，， 所以平面，平面， 所以，又，，且两直线在平面BMD内， 所以平面， 在中，求得，故所求截面为以H为圆心的小圆， 半径为，故所求面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC上一点，AD平分，． （1）求； （2）若，求的外心O到BC的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据，求得，结合计算得出结果； （2）根据条件和余弦定理得的长，设BC中点为M，OM即为所求，结合，，求得． 【小问1详解】 设，则， 即， 将，，代入得， 得，所以； 【小问2详解】 ，由余弦定理求得， ， 由（1）可得， 设BC中点为M，则OM即为所求，，，故． 16. 某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． （1）小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； （2）若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 【答案】（1） X 0 1 2 3 P （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得X可取，求出相应的概率，然后可求得X的分布列及数学期望； （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意得X可取， ， ， 所求分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 【小问2详解】 设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B， 则， 故， 即小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率为． 17. 在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥． （1）求ME与平面CDE所成角的大小； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）做辅助线，分析可证平面CDE，可知即为所求线面角，结合余弦定理运算求解； （2）建系标点，求平面MEQ、平面CDE的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H， 因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. 【小问2详解】 以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解； （2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解. 【小问1详解】 依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 19. 已知函数． （1）求出的所有零点，并求出函数在零点处的切线方程； （2）设，，证明：，； （3）若函数有两个解，，且，证明：． 【答案】（1）两个零点：0，1；在和处的切线方程分别为， （2） 由于，则， ， 于是在上单调递增，且，则在上单调递减， 在上单调递增，则，恒成立； 由于， 则， ， ， 于是在上单调递增，且，则在上单调递减， 在上单调递增，则恒成立； （3） 由（2）可知，，，因此，， 由于，，因此，， 则，不等式得证． 【解析】 【分析】（1），求导判断出为增函数，计算，，利用零点存在定理判断存在唯一零点，，使得，再把定义域分成两个区间，结合函数的单调性及零点存在定理进行求解； （2），求出，判断出在上单调递增，且；利用函数的单调性得出则，同样的方法证明； （3）结合（2）得出，，变形为，，结合条件，，得出，，再利用同向可加性证明． 【小问1详解】 因为， 令 ， 故为增函数，，，故，使得， 在上，，为减函数，而，故在上，有唯一零点0； 在上，，为增函数，而，故在上，有唯一零点1． 故仅有两个零点：0，1， ，， 在和处的切线方程分别为，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了零点问题，切线方程，利用导函数证明不等式，零点存在定理，解题的关键是准确进行求导判断出函数的单调性，再结合零点存在定理得出存在且唯一的“隐零点”，从而研究出原函数的最值，将不等式问题转化为最值问题， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $