精品解析：青海海南藏族自治州第一民族高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

海南州第一民族高级中学2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.1—8.4． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 3. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ） A. B. C. D. 7. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 10. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能 11. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 14. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 15. 在中，，则的外接圆半径为__________. 16. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知是虚数单位，复数，． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值； 18. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 20. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 21. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州第一民族高级中学2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.1—8.4． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ） A. 相同的向量 B. 模相等的向量 C. 共线向量 D. 共起点的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 【答案】D 【解析】 【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案. 【详解】 对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确； 对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确； 对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确； 对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误. 故选：D. 3. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】根据复数的除法运算求解， 所以，复平面内表示该复数的点为， 所以，复平面内表示复数的点位于第三象限. 故选：C. 4. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解. 【详解】由已知可得 , 由图可知,所以，解得, 所以， 故选：. 6. 在中，内角所对的边分别为，若，则其最大角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形大边对大角原则和余弦定理直接求解即可. 【详解】设，则，， ，最大， ，，. 故选：C. 7. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图. 所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 8. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理可得， 在中， ， 故选：A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 10. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用空间中两直线的位置关系求解. 【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确； 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确； 一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确； 故选：ABC. 11. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据共轭复数的定义分析判断，对于B，分别求出两复数的模进行判断，对于C，直接计算进行判断，对于D，直接计算判断. 【详解】对于A，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，为实数，所以C不正确； 对于D，因为，所以，所以D正确. 故选：BD 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断. 【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确； 对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误； 对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误； 对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 14. 圆柱的底面圆周的半径为5，高为8，则该圆柱的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式即可代入求解. 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为5、高为8，所以圆柱底面圆的周长为， 所以该圆柱的表面积为． 故答案为： 15. 在中，，则的外接圆半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边BC长，再利用正弦定理计算作答. 【详解】在中，由余弦定理得：， 所以的外接圆半径. 故答案为： 16. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由图知知，， 由正弦定理有. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知是虚数单位，复数，． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】根据实数和纯虚数定义可直接构造方程求得结果. 【小问1详解】 为实数，，解得：或. 【小问2详解】 为纯虚数，，解得：. 18. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解； （2）根据向量垂直的坐标运算先求出，再利用向量坐标的线性运算求出，分别求出两向量的模，代入向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， ， 所以向量与夹角的余弦值为， 又由，可得. 19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或，． 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理结合，即可求角C； （2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值． 【详解】（1）由余弦定理有， 因为，可得； （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将， 代入可得：， 可得，所以， 所以， 由，解得或 故，或，． 20. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 【答案】（1） （2）克 【解析】 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果； （2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量. 【小问1详解】 该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，， 两个半球的体积之和为， 又， 该“浮球”的体积是. 【小问2详解】 上下两个半球的表面积， “浮球”的圆柱筒侧面积为， 个“浮球”的表面积为， 个“浮球”的表面积的和为， 每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）. 21. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】（1）证明见祥解 （2）证明见祥解 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【小问1详解】 证明：如图，连接. 在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； 【小问2详解】 证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 22. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $