精品解析：安徽省合肥市肥西县丰乐中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

安徽省合肥市肥西县丰乐中学2022-2023学年 九年级上学期期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时，， ∴， 当时，原方程是一元一次方程，有实数根， ∴ 故选：C． 2. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和等于即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由方程可得，， 故选：． 3. 如图，已知是圆O的直径，点C，D在圆O上，且，则度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据题意易得，则有，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论，熟练掌握直径所对的圆周角等于90°是解题的关键． 4. 把一元二次方程化为一般形式得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程右边的项移到左边，即可解答． 【详解】把一元二次方程化为一般形式得． 故选：B 5. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】第一个图形是轴对称，不是中心对称图形， 第二个图形不是轴对称，是中心对称图形， 第三个图形是轴对称，也是中心对称图形， 第四个图形是轴对称，也是中心对称图形， 所以一共有两个图形是轴对称，也是中心对称图形， 故选：． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是轴对称图形是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转后与原图重合． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据关于的一元二次方程有实数根，可得根的判别式，据此列出不等式求解即可，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 7. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 8. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，连接OA，OC，根据圆周角定理与垂径定理得到∠AOC=90°，进而求得AC的长. 【详解】解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长． 连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是60°， 则弧BN的度数是30°， 根据垂径定理得弧CN的度数是30°， 则∠AOC=90°， 又∵OA=OC=MN=2， 则AC=2． 故选C. 【点睛】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 9. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④． 【详解】解：由图可知， ∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确，不符合题意； ∵向上平移个到位长度得到， ∴的对称轴也为直线， ∵， ∴， ∵， ∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离， ∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∴，故②不正确，不符合题意； 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P， 把代入得：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， ∴，整理得：， ∴，则， 把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴，故③正确，符合题意； 方程整理为， ∵， 由图可知，当时，抛物线与直线没有交点， 则原方程无实数根， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有③，共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键． 10. 设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质． 由根的判别式结合k为非负数得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，将展开变形得到，代入后得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根， ∴，解得或， ∵k为非负实数， ∴． ∵方程的两实数根为a，b， ∴，， ∴ ， ∵当时，随k的增大而增大， 又， ∴当时，有最小值，为， ∴的最小值为2． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：∵一粒米可落在9个等边三角形内的任一个三角形内，而落在阴影区域的只有5种可能， ∴一粒米落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了简单事件的概率，关键是求得所有事件的可能结果数，某个事件发生时的可能结果数． 12. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：个扇形的圆心角为，弧长为，设此扇形的半径为r， 则， 解得，， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式，准确计算． 13. 如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取AB中点E，连接EC，ED，CP，先证明△AEC是等边三角形，得到AE＝AC，再证明△ADE≌△APC（SAS）得到DE＝CP，然后利用垂线段最短求出CP的最小值为， 【详解】解：如图，取AB中点E，连接EC，ED，CP， ∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，点E是AB中点， ∴，AE＝BE＝CE＝1，∠BAC＝60°， ∴△AEC是等边三角形， ∴AE＝AC， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°＝∠EAC， ∴∠EAD+∠DAC=∠DAC+∠CAP， ∴∠EAD＝∠CAP， ∴△ADE≌△APC（SAS）， ∴DE＝CP， ∴当DE⊥BC时，DE有最小值，即CP有最小值， ∵∠B＝30°，DE⊥BC， ∴， ∴CP的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键． 14. 已知，如图，点C、D在上，直径，弦AC、BD相交于点E．若，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，OC，根据CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得到∠DOC=90°，利用即可求解． 【详解】解：连接OD，OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵CE=BC， ∴∠DBC=∠CEB=45°， ∴∠DOC=90°， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等，求得∠DOC=90°是解题的关键． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后把方程左边提公因式分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 计算： （1）设实数，满足，求的最小值． （2）设，求的整数部分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次函数的最值，有理数的混合运算等． （1）根据因式分解法将方程化简，求得或，分别代入，根据二次函数的最值即可求解； （2）根据，可推得，整理可求得，结合公式可得，即可求解． 【小问1详解】 解： 即或， 解得：或， 若，则， 当时，有最小值为； 若，则， 当时，有最小值为； 故的最小值为． 【小问2详解】 解：对于（是不等于的任意正数），满足， ∵， ∴， 故， 即， ∴ ∴， 即， ∵， ∴， ∴的整数部分为． 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）将绕点顺时针旋转，点的对应的为，点的对应的为，点的对应的为，画出旋转后的； （2）将平移使点与点重合，点的对应的为，点的对应的为，画出平移后的并写出点坐标； （3）求出线段平移经过的图形面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求．点坐标； （3）线段经过的图形面积为 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用平行四边形的面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：线段经过的图形面积． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为． （1）求b、c的值； （2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆． ①求x关于t的函数解析式； ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】（1）， （2）① ②时，最大，为 【解析】 【分析】（1）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （2）①根据题意得到当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，设出一次函数表达式，利用待定系数法求出函数关系式即可；②作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【小问1详解】 解：过作于，于，如图所示： ， 着陆坡AC的坡角为30°，即， ， 在中，， 则， ， ，即，， 将，代入得，解得； 【小问2详解】 解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为， 当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，， ，解得， 水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为； ②作轴交抛物线于，交于，如图所示： 设直线的表达式为，将，代入得，解得，即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 【点睛】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 19. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． （1）求的最小值为_____，的最小值为_____； （2）若多项式，试求M的最小值； （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1）6； （2） （3）围成的菜地的最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）根据，求解作答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，有最小值6； ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：6，； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，M有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， 依题意得：， ∴当时，S有最大值，最大值是， ∴围成的菜地的最大面积是． 20. 将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． （1）如图②，当为的平分线时，求此时t的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 【答案】（1）3 （2） （3）15或24或27或33 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找相等关系是解题的关键． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【小问1详解】 解：如图2，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，如图4，， ； ②如图5，当时， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图6，则， ∴， ∴； ④当时，如图7，， ∴； 综上，t的值是15或27或33或24秒． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）作出向右平移5个单位，得到的； （2）作点绕点顺时针旋转得到的点，并写出其坐标； （3）在轴上存在点，使得最大，在轴上描出点的位置． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意作出图形，然后根据图形即可得出点的坐标 （3）根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时最大等于PE． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：由图可知，点的坐标为． 【小问3详解】 根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时，取得最大值，点如图所示. 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移和旋转，三角形三边关系．（1）（2）能正确作出图形是解题关键，（3）中能得出P、E、C1在同一条直线上时最大是解题关键． 22. 如图，已知抛物线经过A、B（ -3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）M（-1，）；（3），，， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法先把点B、C两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得抛物线的解析式； （2）过C作对称轴x=-1的对称点D，根据OM+CM=OM+MD≤OD，当D、M、O三点共线时其和最短，求出直线OD的解析式为： ，求当x=-1时， 即可．； （3）设P（-1，m），又因为B（-3，0），C（0，3），PB=，PC=，BC=,再分三种情况，以点P为直角顶点，以点C为直角顶点，以点B为直角顶点分别讨论构造方程,求出符合题意m值，即可求出点P的坐标． 【详解】解：（1）把B（-3，0）、C（0，3）分别代入中， 得 ． ∴ ． ∴抛物线的解析式为： ； （2）∵抛物线的对称轴是直线x=-1， 作点C（0，3）关于直线x=-1的对称点D（-2，3）． 抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小， OM+CM=OM+MD≤OD， 当D、M、O三点共线时其和最短， 设直线OD的解析式为：，过点D， ∴， ∴直线OD的解析式为： ． 当x=-1时， ， ∴M（-1，）； （3）设点P的坐标为（-1，m），PB=，PC=，BC=， 以点P为直角顶点， 由勾股定理得PB2=PC2+BC2， 解， 整理得， 解得， 点P的坐标，； 以点C为直角顶点， 由勾股定理得PB2=PC2+BC2， 解， 解得m=4, 点P3（-1，4）， 以点B为直角顶点， 由勾股定理得PC2=PB2+BC2， 解， 解得m=-2， 点P4（-1，-2）． 使△BPC为直角三角形时点P的坐标，，，． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，点P在对称轴上的最短路径，组成直角三角形点P坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用一次函数与对称轴的交解决点P在对称轴上的最短路径，利用分类讨论组成直角三角形，应用勾股定理构造方程求点P坐标是解题关键． 七、证明题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 23. 新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________； （2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算． 【答案】（1） （2）摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，利用概率公式即可求解； （2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明成立的结果数，即可得求出概率． 【小问1详解】 解：∵，， ∴当抽中时，由能判断，①符合题意； 当抽中时，由能判断，②符合题意； 当抽中时，由不能判断，④不符合题意； ∴共有三种等可能结果，其中能证明成立的情况有2种 能证明概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：补全树状图，如图， ∵， ∴当抽中①，②，不能判断； 当抽中①，③，能判断； 当抽中①，④，能判断； 当抽中②，①，不能判断； 当抽中②，③，能判断； 当抽中②，④，能判断； 当抽中③，①，能判断； 当抽中③，②，能判断； 当抽中③，④，不能判断； 当抽中④，①，能判断； 当抽中④，②，能判断； 当抽中④，③，不能判断； 共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明成立的结果有8个， ∴摸出两张纸牌上的条件能证明成立的概率． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 24. 问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）． （2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先利用三角形外角的性质得出 再利用同弧所对的圆周角相等得出即可得出结论； （2）先利用三角形外角的性质得出，再利用同弧所对的圆周角相等得出， 即可得出结论； （3）如图3中, 当经过的与相切于时, 的值最大，作于, 交于, 连接.设 ，用两种方法求出，构建方程即可解决问题. 【详解】（1）如图,延长 交于, 连接, 是的外角， ， ， ， 故答案为:； （2）画出图形如图所示， 证明: 连接, 是 的外角， ， ， ； （3）如图中, 当经过的与相切于时, 的值最大， 作于, 交于,连接. 设， ， ， ， ，， ， ， ， 整理得：， ， 或 (舍弃), ， ， ，， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角的性质，解直角三角形，构造出直角三角形是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市肥西县丰乐中学2022-2023学年 九年级上学期期末数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知是圆O的直径，点C，D在圆O上，且，则度数为（　　） A. B. C. D. 4. 把一元二次方程化为一般形式得（ ） A. B. C. D. 5. 下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 9. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，等边三角形是由9个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为___________． 12. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______． 13. 如图，△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝2，D在BC上，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，则CP的最小值为_____． 14. 已知，如图，点C、D在上，直径，弦AC、BD相交于点E．若，则阴影部分面积为______． 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 计算： （1）设实数，满足，求的最小值． （2）设，求的整数部分． 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）将绕点顺时针旋转，点的对应的为，点的对应的为，点的对应的为，画出旋转后的； （2）将平移使点与点重合，点的对应的为，点的对应的为，画出平移后的并写出点坐标； （3）求出线段平移经过的图形面积． 18. 第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究： 下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为． （1）求b、c的值； （2）进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆． ①求x关于t的函数解析式； ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 19. 阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值．最大值是． （1）求的最小值为_____，的最小值为_____； （2）若多项式，试求M的最小值； （3）如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积． 20. 将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． （1）如图②，当为的平分线时，求此时t的值； （2）当旋转至的内部时，求与的数量关系； （3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 六、综合题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，． （1）作出向右平移5个单位，得到的； （2）作点绕点顺时针旋转得到的点，并写出其坐标； （3）在轴上存在点，使得最大，在轴上描出点的位置． 22. 如图，已知抛物线经过A、B（ -3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点O和点C的距离之和最小，求出此时点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 七、证明题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 23. 新角度·概率、几何结合 如图（1），线段和相交于点C，连接．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明成立的概率是_________； （2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算． 24. 问题探究：（1）如图1，是的弦，直线与相交于点两点，是直线上异于点，的两个点，则、、的大小关系是______（用“”连接）． （2）如图2，是的弦，直线与相切于点，点是直线上异于点的任意一点，请在图2中画出图形，试判断，的大小关系，并证明． 问题解决：（3）某儿童游乐场的平面图如图3所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $