精品解析：陕西省陇县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

陇县第二高级中学2023～2024学年第二学期高二年级期中教学质量检测 数学合格性考试 全卷满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算,计算即可. 【详解】结合题意可知：. 故选：C. 2. 函数，的最小正周期是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由周期公式可得. 【详解】由， 则的最小正周期是， 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和，根据充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】由，解得或; 由，解得或, 所以与解集相同， 故是的充要条件. 故选：C. 4. 若向量，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可. 【详解】. 故选：A. 5. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域与奇函数定义判断可得. 【详解】A项，函数定义域为， 不关于原点对称，非奇非偶函数，A错误； B项，函数，由， 则，故不是奇函数，B错误； C项，函数，由， 则，故不是奇函数，C错误； D项，函数，， ，，故是奇函数，D正确. 故选：D. 6. 已知，且，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】根据题意，由正弦定理得，即. 故选：A. 8. 已知，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量夹角公式计算，再由向量夹角范围即可求解. 【详解】由题意，， 因为向量夹角范围为, 所以向量与夹角大小为. 故选：D. 9. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过对数运算化简，然后由对数函数的图象变换即可求解. 【详解】令，解得， 由题意，，且， 所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可. 故选：C. 10. 已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为，根据弧长公式求解即可． 【详解】设这个扇形的圆心角的弧度数为，， 根据扇形的弧长公式得，解得． 故选：A． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指对数函数的知识得出的范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 因此， 故选：B. 12. 为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移变换知识可得结论． 【详解】把函数的图象向右平移个单位可得到的图象， 故选：B． 13. 在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系坐标表示向量，由向量相等关系建立方程组求解系数即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF边长为， 则， ， 由， 则， 所以有，解得， 则. 故选：D. 14. 一个袋子里装有四个形状、大小完全相同的球，球上标有数字分别为，，，，从袋中随机抽取两个球，则取出的球上标的数字之和等于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】从标有数字的个球中随机抽取两个球，其可能结果有 共个， 其中满足数字之和等于的有， 所以满足数字之和等于的概率为. 故选：C. 15. 已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的分位数为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的求解公式即可求解． 【详解】因为， 所以这组数据的分位数是第5个数，即为9． 故选：A． 16. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系, 对四个选项逐一分析即可判断． 【详解】对于A，因为，由线面平行的判断定理可得，故A正确； 对于B，因为，所以存在，使得， 又因为，所以， 由面面垂直的判定定理可得，故B正确； 对于C，因为，由垂直于同一条直线的两个平面平行可得，故C正确； 对于D，如图平面平面，平面， 且与不平行，故D错误. 故选：D. 17. 甲、乙两人参加招聘测试，甲通过的概率为，乙通过的概率为，则甲、乙两人都不通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解即可． 【详解】解：由题知，甲、乙两人都不通过的概率为， 故选：C． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理转化求解即可． 【详解】因为在中，角，，的对边分别为，，， 若， 所以， 所以． 故选：D． 19. 某小学为了解学生的身体状况，抽取了名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在的人数约为（ ） A. 100 B. 90 C. 80 D. 70 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，先求得身高在的频率，再求人数即可. 【详解】根据频率分布直方图得，身高在的频率为， 所以人数约为人. 故选：A. 20. 若都是正数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 21. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式直接计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 22. 若是虚数单位，则复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算即可求解. 【详解】由题意，. 故答案为：. 23. 采用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，初一年级被抽取30人，初二年级被抽取40人，初三年级共有600人，则这个学校共有初中学生__________人． 【答案】2000 【解析】 【分析】首先求出初三年级抽取的人数，再求出初中学生总人数； 【详解】依题意，初三年级抽取人，又初三年级共有600人， 所以学校共有初中生人； 故答案为：2000. 24. 一个正方体的外接球的表面积为，则该正方体的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体体对角线与其外接球直径的关系，即可求出正方体的边长. 【详解】依题意，正方体的体对角线长即为正方体的外接球的直径， 设球半径为，正方体棱长为， 即，由外接球的表面积，得， 即，解得， 故答案为：. 三、解答题：本题共4小题，共28分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 25. 已知为锐角，． （1）求; （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式计算即可； （2）由两角和差的正弦公式计算即可. 【小问1详解】 由题意有； 【小问2详解】 由题意有， 则． 26. 如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）因为分别为的中点， 则， 所以 因为平面平面 所以平面. （2）因为底面，且平面， 所以， 因为， 且平面，平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）由分别为的中点得，然后根据线面平行的判断定理即可证明； （2）由底面，得，且，然后根据线面垂直的判断定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 甲、乙两人参加机动车驾驶员考试，甲过关的概率为，乙过关的概率为．求下列事件的概率： （1）两人都过关； （2）恰好有一人过关； （3）至少有一人过关． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解； （2）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解； （3）由互斥事件概率加法公式即可得解. 【小问1详解】 两人都过关的概率为； 【小问2详解】 恰好有一人过关的概率为； 【小问3详解】 至少有一人过关的概率为． 28. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知， 设，由指数函数的性质有， 可得，则， 利用不等式的性质有， 又由，再由不等式的性质有， 所以，则， 故函数在上单调递增； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数可得，整理即可求解； （2）利用作差法即可证明函数的单调性； （3）根据函数是偶函数且在上单调递增，可得，即可求解. 【小问1详解】 由函数为偶函数，有， 可得， 有恒成立，解得， 故实数的值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由函数为偶函数及函数在上单调递增， 可知函数的递增区间为，递减区间为，如图所示， 由函数的图象和性质可知，不等式可化为， 则或，解得或， 故不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇县第二高级中学2023～2024学年第二学期高二年级期中教学质量检测 数学合格性考试 全卷满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册． 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数，的最小正周期是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若向量，，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则向量与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 10. 已知扇形所在圆的半径为2，扇形的弧长为，则扇形所对的圆心角的弧度为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 13. 在如图所示的正六边形ABCDEF中，若，则（ ） A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 14. 一个袋子里装有四个形状、大小完全相同的球，球上标有数字分别为，，，，从袋中随机抽取两个球，则取出的球上标的数字之和等于的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 已知一组数据为2，5，7，8，9，12，则这组数据的分位数为（ ） A. 9 B. C. 8 D. 7 16. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 17. 甲、乙两人参加招聘测试，甲通过的概率为，乙通过的概率为，则甲、乙两人都不通过的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. 6 B. C. D. 19. 某小学为了解学生的身体状况，抽取了名学生的身高，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的学生身高在的人数约为（ ） A. 100 B. 90 C. 80 D. 70 20. 若都是正数，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 21. ______． 22. 若是虚数单位，则复数__________． 23. 采用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，初一年级被抽取30人，初二年级被抽取40人，初三年级共有600人，则这个学校共有初中学生__________人． 24. 一个正方体的外接球的表面积为，则该正方体的边长为______． 三、解答题：本题共4小题，共28分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 25. 已知为锐角，． （1）求; （2）求． 26. 如图，在三棱锥中，底面分别是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 27. 甲、乙两人参加机动车驾驶员考试，甲过关的概率为，乙过关的概率为．求下列事件的概率： （1）两人都过关； （2）恰好有一人过关； （3）至少有一人过关． 28. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）证明：函数在上单调递增； （3）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $