精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题

2023—2024学年南师附中高二期初测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 4. 有个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设、，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（ ） A. B. 长度落在区间内的个数为35 C. 长度的众数一定落在区间内 D. 长度的中位数一定落在区间内 10. 已知，，且，下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的图象关于点（）中心对称 D. 函数在（）上单调递减 12. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（ ） A. 弦AB，CD可能相交于点M B. 弦AB，CD可能相交于点N C. MN的最大值为5 D. MN的最小值为1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________． 14. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是_________． 15. 已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 18. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若，求的值. 19. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 20. 已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？并说明理由； （2）证明：函数具有性质. 21. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,"AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点． （Ⅰ）证明：直线∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值 22. 设的三个内角所对的边分别为且. （1）求的大小； （2）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年南师附中高二期初测试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由并集和补集的概念即可得出结果. 【详解】∵ ∴，则， 故选：C. 2. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内所对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得，由此可得对应的点的坐标，进而确定结果. 【详解】， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：抽样比是，所以样本容量是． 考点：分层抽样 4. 有个完全相同的小球，，，随机放入甲、乙两个盒子中，则两个盒子都不空的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由其对立事件“两个盒子中有一个空”的概率，得到“两个盒子都不空”的概率. 【详解】先求两个盒子中有一个空的概率为， 所以两个盒子都不空的概率为. 故选：C. 5. 设、，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：取，，则，但“且”不成立，即充分性不成立； 必要性：若且，则，，则成立，即必要性成立. 因此，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：A. 6. 设且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由，用对数表示出，再根据即可求出. 【详解】， ，， ，，即， . 故选：D. 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用，属于基础题. 7. 已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，注意到，且，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 8. 平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，所以的中点就是球心，即可求解． 【详解】因为平面平面，且平面平面， 而平面 ，得平面，而平面， 得，而，平面， 得平面， 而平面，得 由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形， 所以的中点就是球心，又，球的半径为：， 所以球的表面积为：. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组：，，，，，，得到如右所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中正确的是（ ） A. B. 长度落在区间内的个数为35 C. 长度的众数一定落在区间内 D. 长度的中位数一定落在区间内 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照频率分布直方图含义依次判断. 【详解】对于A，由频率和为1，得，解得， 所以A正确. 对于B，长度落在区间内的个数为，所以B正确. 对于C，频率分布直方图上不能判断长度众数所在区间，不一定落在区间内，所以C错误. 对于D，有个数，内有20个数，所以长度的中位数一定落在区间内，所以D正确. 故选:ABD. 10. 已知，，且，下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，D，直接给出，作为反例即可；对于B，直接证明相应不等式即可；对于C，反复使用基本不等式及配凑即可验证不等式成立. 【详解】对于A，D，注意到当，时，有，，且. 但此时，. 故A，D错误； 对于B，有，故B正确； 对于C，有 ，故C正确. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对基本不等式的灵活运用. 11. 已知函数对任意，都有成立，且函数是奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的图象关于点（）中心对称 D. 函数在（）上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】由赋值运算求出的周期为4，可得出，再结合图象求解． 【详解】因为函数对任意都有，所以， 即，所以， 所以，即恒成立，所以的周期为4. 函数是奇函数，当时，. 故时，. 任取，则， 因为函数对任意都有， 即， 所以. 所以， 作出的图象如图所示： 对于A.由前面的推导可得：当时，.故A正确； 对于B.函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留， 把轴上方的图象轴下方的图象翻折到轴上方， 所以函数的最小正周期为2，故B正确； 对于C.由图象可知：函数的图象关于点（）中心对称，故C错误； 对于D.作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误. 故选：AB. 12. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则（ ） A. 弦AB，CD可能相交于点M B. 弦AB，CD可能相交于点N C. MN的最大值为5 D. MN的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】据题意，由球的弦与直径的关系，可以求出两条弦AB，CD到球心的距离，进而得到MN最大值． 【详解】∵球的半径为4，两条弦，的长度分别为，， 球心到弦的距离为， 球心到弦的距离为. 当三点共线， 且分别在O两侧时，最大，且最大值为5，在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1， 因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率存在，设直线为，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由截距相等列方程可求出的值，从而可求出直线的方程. 【详解】由题意可得直线的斜率存在，设直线为， 当时，， 当时，， 因为直线在两坐标轴上截距相等， 所以，化简得， 解得或， 所以直线为或， 即或， 故答案为：或 14. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为，∵的内切圆半径为，∴，又，∴，∴. 考点：内切球体积 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解． 15. 已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可，在这里分和讨论即可求解. 【详解】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可. 一方面：由题意，时，如图所示， 函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称， 其中点为函数的图象与函数的交点， 注意到函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所有点关于轴的对称点也在函数的图象上， 而这样的点是唯一的，故点也随之确定， 即时，函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，故满足题意； 另一方面：时，函数的图象与函数的图象关于轴对称， 则只需，∴， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可. 【详解】由题知， 则 ，当且仅当时取等号. ， 而， . 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的共线定理求解； （2）由向量垂直的坐标公式及数量积应用求解． 【小问1详解】 ∵； ∴设，且，； ∴； ∴； ∴，或； 【小问2详解】 ∵与垂直， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 又， ∴与的夹角. 18. 已知函数. （1）求函数的值域； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接将表达式化为，即可求出值域； （2）先利用证明，然后根据已知条件求出结果. 【小问1详解】 由于， 故的值域是. 【小问2详解】 由于，故. 所以. 19. 某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. 【小问2详解】 设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 20. 已知函数，，若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？并说明理由； （2）证明：函数具有性质. 【答案】（1）否，理由如下： 由于，故对任意都有. 所以不具有性质. （2）证明：由于，， 故存在实数，使得. 因为，所以存在实数使得. 所以函数具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据定义使用反证法证明即可； （2）使用零点存在定理证明. 【小问1详解】 不具有性质，理由略； 【小问2详解】 略. 21. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,"AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点． （Ⅰ）证明：直线∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值 【答案】（Ⅱ） 【解析】 【分析】 【详解】解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD， 所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC， 所以直线EE//平面FCC.······6分 （2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, w.w.w..c.o.m ··········11分 在Rt△OPF中,,,所以 二面角B-FC-C的余弦值为.·······14分 22. 设的三个内角所对的边分别为且. （1）求的大小； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理化边为角，然后使用三角恒等变换求解； （2）先证明，然后验证能取遍上的全体实数，即可说明的取值范围是. 【小问1详解】 由及正弦定理得. 而，故. 所以，得，故. 【小问2详解】 一方面，由余弦定理得，所以由，得. 故，同时，故. 另一方面，对任意，可选取，，构成符合条件的三角形，且. 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $