第7章 三角函数章末总结提升课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.4 三角函数应用 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 任意角的三角函数定义 1.任意角的三角函数的定义是本章的重要考点之一,多以选择、填空形式考查,牢记求解步骤是关键. 2.掌握任意角的三角函数的定义,重点提升数学运算素养. 5 【典例1】（1） [2023连云港月考] （多选题）已知角 的终边经过点 ， 且 ，则 的值是( ) BC A. B. C. D. （2）已知角 的终边经过点 ，则 的值为_ _. <m></m> [解析] 因为角 的终边经过点 ， 所以 ， ，所以 ，故答案为 . 6 规律方法 利用定义求三角函数值的两种方法 （1）先由射线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义， 求出相应的三角函数值. （2）取角 的终边上任意一点 （原点除外），则对应的角 的正弦值 ，余弦值 ，正切值 .当角 的终边上点的坐标 以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 7 跟踪训练1 已知角 的终边上一点 ，且 ， （1）求 的值; 解 由题可设 , ， 所以 （ 为原点），则 . 所以 ， 所以 ，即 ， 解得 . 8 （2）求出 和 . 解 当 时， ， ， ； 当 时， ， ， . 9 要点二 三角函数式的化简、求值 1.三角函数式的化简、求值主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式,这是解 决三角函数问题的基本功,牢记公式并能对公式进行正用、逆用及变形用,多考查 , , 三者之间的相互转化以及弦化切问题. 2.掌握三角函数式的化简、求值,重点提升数学运算素养. 10 角度1 同角三角函数基本关系式的应用 【典例2】 已知 ，求： （1） ; （2） ; （3） 的值. 11 （2）原式 . （3）原式 . 解 因为 ，所以 . （1） 原式 . 12 规律方法 同角三角函数基本关系式的应用方法 （1）利用 可以实现角 的正弦、余弦的转化，利用 可以实现角 弦切互化. （2）关系式的逆用与变形应用： ， ， ， . ， 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 ， 的齐次 式或含有 ， 及 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“ ”代换后转化为“切”求解. 13 跟踪训练2 已知 是第三象限角，且 . （1）求 的值; 解 因为 ， 所以 ，所以 ， 根据 是第三象限角，可知 ，所以 . 14 （2）求 的值. 解 由（1）求得， ， 故 解得 所以 ， 所以 的值为 . 15 角度2 诱导公式的应用 【典例3】 已知 . （1）化简 ，并求 的值; 解 由题知 , 所以 . 16 （2）若 ，且 ，求 的值. 解 因为 , , 由（1）可得 , 所以 ，且 , ， 所以 ， 所以 ， 故 . 17 规律方法 用诱导公式化简求值的方法 （1）对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成 ， ， ， 的形式，再用“奇变偶不变， 符号看象限”来化简. （2）解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析 条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整 体思想的应用. 18 跟踪训练3 已知 ， ，求 的值. 解 因为 ， 所以 . 所以 . 19 要点三 三角函数的图象和性质 1.（1）三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究性 质时将 看作一个整体进行整体代换. （2）函数 的图象:①“五点法”作图;②图象伸缩、平移变换. 2.借助三角函数的图象和性质,培养数学运算和直观想象的学科素养. 20 角度1 三角函数的图象和性质 【典例4】 已知函数 图象的一 个对称中心为 ，其图象上相邻两个最高 点间的距离为 . 21 （1）求函数 的解析式; 解 因为图象上相邻两个最高点间的距离为 ，所以 ，所以 . 因为函数图象的一个对称中心为 ， 所以 , 所以 ，所以 . 又因为 ，所以 ， 所以 . 22 （2）用“五点法”在给定的坐标系中作出函数 在区间 内的图象，并写出函数 的减区间. 23 解 选用“五点法”画一个周期的图象，列表： 0 0 2 0 0 由图得减区间为 . 24 规律方法 1.三角函数的周期性：函数 和 的最小正 周期为 ， 的最小正周期为 . 2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 或 ， 而偶函数一般可化为 的形式. 25 3.求三角函数值域（最值）的方法 （1）利用 ， 的有界性. （2）从 的形式逐步分析 的范围，根据正弦函数单 调性写出函数的值域. （3）换元法：把 或 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最 值）问题（注：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范 围，否则会出现错误）. 4.求三角函数的单调区间 求形如 或 的函数的单调区间 可以通过解不等式方法去解答，即把 视为一个“整体”，分别与正弦函数 ，余弦函数 的增（减）区间对应解出 ，即得所求的增（减）区间. 26 （1）在用“五点法”作函数 的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 完成上述表格，并在坐标系中画出函数 在区间 上的图象; 跟踪训练4 已知函数 ， . 27 解 0 0 2 0 0 函数图象如图所示， 28 （2）求函数 的单调递增区间; 解 令 ， ， 得 ， . 所以函数 的单调递增区间： , . 29 （3）求函数 在区间 上的值域. 解 因为 ,所以 . 所以 . 当 ,即 时， ; 当 ，即 时， . 所以函数 在区间 上的值域为 . 30 角度2 三角函数的图象的变换 【典例5】 设 . （1）求 在 上的最大值和最小值; 解 因为 ， 所以 . 当 时，函数 取得最小值， ; 当 时，函数 取得最大值， . 31 （2）把 的图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把得 到的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的减区间. 解 把 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象，再把得到的图象向左平移 个单位长度， 得到 的图象， 所以 . 由 ， ， 得 ， . 所以函数 的单调递减区间为 ， . 32 规律方法 由函数 的图象通过变换得到函数 的图象的两种方法 33 跟踪训练5（1） 要得到函数 的图象，只需将 的图 象上所有的点( ) C A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 [解析] 因为 ,所以只需 将 的图象上所有的点向左平移 个单位长度即可，故选C. 34 （2）把函数 的图象上每一点的横坐标变为原 来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移 个单位长度，得到一个最小正周期为 的 奇函数 ，则 和 的值分别为( ) B A.1， B.2， C. ， D. ， 35 [解析] 依题意得 平移变换得到 的函数解析式为 . 因为函数 的最小正周期为 ，所以 ， 则 . 又因为函数 为奇函数，所以 ， ， 又 ，则 . 故选B. 36 $$