7.1.1 任意角课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.1.1 任意角 【课标要求】 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念. 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 任意角 （1）角的概念 角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 4 名师点睛 在初中时我们定义角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围 是 . （2）角的表示 如图所示，角 可记为“ ”或“ ”或“ ”，始边： ，终边： ，顶 点： . 5 （3）角的分类 按照旋转方向，角可分为三类. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 6 知识点2. 象限角 以角的顶点为坐标原点，角的始边为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样， 角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴 上，就认为这个角不属于任何一个象限. 名师点睛 （1）如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角; （2）每一个象限都有正角和负角; （3）无法比较象限角的大小. 7 知识点3. 终边相同的角 一般地，与角 终边相同的角的集合为 . 名师点睛 对终边相同的角的理解 （1） 为任意角，“ ”这一条件不能漏. （2） 与 中间用“ ”连接， 可理解成 . （3）相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等. 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】任意角的概念 例1 [2023苏州测试] 下列说法正确的个数是( ) ①大于等于 ，小于等于 的角是锐角; ②钝角一定大于第一象限的角; ③第二象限的角一定大于第一象限的角; ④始边与终边重合的角的度数为 . A A.0 B.1 C.2 D.3 10 [解析] ①错， 和 角不是锐角； ②错， 角是第一象限的角，大于任何钝角； ③错， 角是第二象限角， 角是第一象限角，但是 ； ④错，始边与终边重合的角的度数是 .故选A. 11 规律方法 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 12 跟踪训练1 如图，射线 先绕端点 逆时针方向旋转 到 处，再按顺时针方 向旋转 至 处，则 _ _____. <m></m> [解析] ， . 13 【题型二】终边相同的角 例2 写出与 角终边相同的角的集合，并求在 到 的范围内与 角 终边相同的角. 解 与 角终边相同的角的集合为 , }. 当 时，即 ,解得 . 又 ，所以 或 . 当 时， ;当 时， . 综上所述，与 角终边相同且在 到 的范围内的角为 角和 角. 14 规律方法 1.写出终边落在直线上的角的集合的步骤 （1）写出在 到 的范围内相应的角; （2）由终边相同的角的表示方法写出角的集合; （3）根据条件能合并一定合并，使结果简洁. 2.终边相同的角常用的三个结论 （1）终边相同的角之间相差 的整数倍; （2）终边在同一直线上的角之间相差 的整数倍; （3）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 的整数倍. 15 跟踪训练2（1） [2023南京月考] 与 角的终边相同的角的集合是( ) B A. , B. , C. , D. , [解析] 因为 ，所以 角与 角的终边相同， 所以与 角的终边相同的角的集合为 , .故选B. （2）下列角的终边与 角的终边在同一直线上的是( ) D A. B. C. D. [解析] 与 角的终边在同一直线上的角可表示为 ， ，当 时， ，故选D. 16 【题型三】象限角及其应用 角度1 象限角与区域角的表示 例3（1） （多选题）下列四个角为第二象限角的是( ) AB A. B. C. D. 17 （2）[2023无锡测试] 如图，阴影部分表示角 的终边所在的位置，试写出角 的集合. 解 ① , , , . ② , . 18 规律方法 表示区域角的三个步骤 19 跟踪训练3 在平面直角坐标系中画出集合 , 表示的角的范围. 解 集合 , 表示的角的范围如图所示（虚 线不包括边界，与 轴重合部分包括边界）， 20 角度2 确定 及 所在的象限 例4 已知 是第二象限角： 21 （1）求角 所在的象限; 解 因为 是第二象限角, 所以 ， 所以 . 当 为偶数时，令 ,得 , 则 是第一象限角; 当 为奇数时，令 ,得 , 则 是第三象限角. 综上, 为第一或第三象限角. 22 （2）求角 所在的象限. 解 因为 是第二象限角, 所以 ， 所以 ， 所以角 的终边在第三或第四象限或在 轴的非正半轴上. 23 规律方法 1.由 所在象限，确定 所在象限的方法： （1）由 的范围，求出 的范围; （2）通过分类讨论把角写成 的形式，然后判断 所在象限. 24 2.由 所在象限，确定 所在象限，也可用如下方法判断： （1）画出区域：如图,将坐标系每个象限二等分，得到8个区域; （2）标号：自 轴正向逆时针方向把每个区域依次标上一、二、三、四（如图所 示）; （3）确定区域：找出与 所在象限标号一致的区域，即为所求. 25 跟踪训练4 若角 为第二象限角，则角 的终边可能在( ) B A.第一，二，三象限 B.第一，二，四象限 C.第二，三，四象限 D.第一，三，四象限 [解析] 因为 是第二象限角，即 ， ， 则 ， 当 ， 时， 为第一象限角， 当 ， 时， ，为第二象限角， 当 ， 时， , ，为第四象限角.故选B. 26 成果验收•课堂达标检测 27 A层 基础达标练 1.[2023宿迁月考] “ 是锐角”是“ 是第一象限角”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 因为 是锐角，故 ，则 一定是第一象限角.若 是第一象限角，不妨取 ，则 不是锐角.所以“ 是锐角”是“ 是第一象限角”的充分不必要条件．故选A. 28 2.已知角 ，则 的终边在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 因为 ，而 ，所以 的终边在第三象限.故选C. 29 3.下列各个角中与 角终边相同的角是( ) B A. B. C. D. [解析] 由 ，结合选项知，与 终边相同的角是 .故选B. 30 4.将 化为 的形式是_ ________________. <m></m> [解析] 因为 ，则 ， ，故 . 31 5.已知角 ， 的终边相同，那么 的终边在_ ______________. <m></m> 轴的正半轴上 [解析] 因为 ， 的终边相同，所以 ，所以 ，故 的终边会落在 轴的正半轴上. 32 6.[2023苏州月考] 已知 . （1）把角 写成 的形式，指出它是第几象限的角； 解 因为 ， ， 所以把 写成 的形式为 ，它是第三象限角． 33 （2）求出 的值，使 与 的终边相同，且 . 解 因为 与 的终边相同， 令 ， 取 或 就得到满足 的角. 当 时， ，当 时， . 所以 或 . 34 B层 能力提升练 7.已知 是锐角，那么 是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于 的正角 D.第一或第二象限角 [解析] 因为 是锐角，所以 , 所以 ,故选C. 35 8.下列说法正确的是( ) B A.小于 的角是锐角 B.钝角是第二象限的角 C.第二象限的角大于第一象限的角 D.若角 与角 的终边相同，那么 [解析] 小于 的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确;钝角是第二象限的角，B 正确；第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如： 是第二象限角， 是第一象限角，故C不正确； 若角 与角 的终边相同，则 ， ，所以D不正确．故选B. 36 9.如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 ( ) C A. B. C. ， D. ， [解析] 如题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是 ， .故选C. 37 10.（多选题）若角 的终边与 角的终边相同，则在 到 的范围内终边 与 角的终边相同的角有 ( ) ABD A. B. C. D. [解析] 由题意设 ，则 ，则当 ，1，2时， ， ， .故选 . 38 11. 角的始边与 轴的正半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是 _ ________. <m></m> [解析] 把 的角的终边按顺时针方向旋转3周所得的角为 . 39 12.若角 和 的终边关于直线 对称，且 ，则 的集合为________ ____________________. <m></m> [解析] 如图， 为角 的终边， 为角 的终边.由 ，得 .根据对称性，知 ， 因此 ，所以 ， . 40 13.如图，若角 的终边落在 与 所夹的区域内（含边界），求 角 的集合. 解 先写出终边在 到 的范围内角 的范围, 则 . 所以终边落在阴影区域的角 的范围是 ， 所以 的集合是 . 41 C层 拓展探究练 14.（多选题）已知集合 ， ， ， ，则集合 与 之间的关系为 ( ) AD A. B. C. D. [解析] 因为 ， , ， , , ，所以 ， .故选 . 42 15.已知 ， 都是锐角，且 的终边与 角的终边相同， 的终边 与 角的终边相同，求角 ， 的大小. 解 由题意可知， ， . 因为 ， 都是锐角，所以 . 取 ，得 .① ， . 因为 ， 都是锐角，所以 . 取 ，得 .② 由①②，得 ， . 43 $$