7.2.2 同角三角函数关系（第1课时 同角三角函数关系）课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.2.2 同角三角函数关系 第1课时 同角三角函数关系 【课标要求】 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 同角三角函数的基本关系 分类 关系式 文字表述 平方关系 同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1 商数 关系 同一个角 的正弦、余弦的商等于角 的正切 名师点睛 1. 是 的简写，读作“ 的平方”，不能将 写成 ， 前者是 的正弦的平方，后者是 的正弦. 2.注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切 恒成立，而 成立时， . 4 知识点2. 同角三角函数关系的变形 5 名师点睛 同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义 “同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达式无关，如： ; 都成立. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】利用同角三角函数的基本关系求值 例1 已知 ，求 和 . 解 ， 因为 ， 所以 是第二或第三象限角， 当 是第二象限角时， ， ； 当 是第三象限角时， ， . 8 规律方法 已知某些三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）已知 （或 ）求 常用以下方式求解 （2）已知 求 （或 ）常用以下方式求解 当角 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角 分区 间（象限）讨论. 9 跟踪训练1（1） 已知 ， ，则 的值为( ) D A. B. C. D. [解析] ，因为 ，所以 . 又 ，故 ，所以 .故选D. 10 （2）已知 ，且 是第三象限角，求 ， 的值. 解 由 ，得 .① 又 ，② 由①②得 ，即 . 因为 是第三象限角，所以 ， . 11 【题型二】利用同角三角函数的基本关系化简 例2 化简： （1） ; 解 原式 . 12 （2） ; 解 原式 . （3） . 解 原式 . 13 规律方法 三角函数式的化简过程中常用的方法 （1）化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. （2）对于含有根号的,常把根号下的式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的. （3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 ,以降低函数次数,达到化简的目的. 14 跟踪训练2（1） 设 是第二象限角，则 ( ) D A.1 B. C. D. [解析] 因为 是第二象限角，所以 , ， 所以 .故选D. 15 （2）化简： . 解 原式 . 16 【题型三】一般恒等式的证明 例3 求证： . 证明 （方法一）右边 左边. 17 （方法二）左边 右边. 18 规律方法 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有： （1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简; （2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子; （3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异; （4）变更命题法，如要证明 （ , , , 均不为0），可证 或证 等; （5）比较法，即设法证明“左边-右边 ”或“ ”. 19 跟踪训练3 证明： . 证明 因为左边 右边， 所以原等式成立. 20 成果验收•课堂达标检测 21 A层 基础达标练 1.已知 是第二象限角， ，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为 是第二象限角，所以 ，故 .故选A. 22 2.已知 ，且 是第四象限角，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ，且 是第四象限角，所以 ， 则 .故选B. 23 3.若 的内角 满足 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为 为 的内角，且 ，所以 为锐角，所以 .又 ，所以 .故选A. 24 4.（多选题） 的值可能为( ) BD A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] . 由已知可得角 的终边不在坐标轴上， 当角 的终边在第一象限时，原式 ， 当角 的终边在第二象限时，原式 ， 当角 的终边在第三象限时，原式 ， 当角 的终边在第四象限时，原式 .故选 . 25 5.已知 ， ，且 ，则 ____. <m></m> [解析] 因为 ， ， ，所以 ，解得 或 .又因为 ，所以 , ,所以 . 所以 , ，所以 . 26 6.化简： （1） ； 解 原式 . 27 （2） . 解 原式 . 28 B层 能力提升练 7.若 ，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 原式 .故选B. 29 8.若 ，则 ( ) B A. B.2 C. D. [解析] 由 化简得 .所以 ， ，所以 .故选B. 30 9.化简 的结果为( ) A A. B. C. D. [解析] 易知 ，所以 .故选A. 31 10.（多选题）若 是第二象限角，则下列各式中一定成立的是( ) BC A. B. C. D. [解析] 由同角三角函数的基本关系式，知 ，故A错误；因为 是第二象 限角，所以 ， ，所以 ， 的符号 不确定，所以 ，故B，C正确， D错误.故选 . 32 11.（多选题）若 成立，则角 一定不是( ) AD A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 [解析] 由 成立，即 ，所以 ，所以角 一定不是第一、第四象限角.故选 . 33 12.函数 的最小值为____. 36 [解析] ，当且仅当 ，即 时取等号． 34 13.某会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形 拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的 面积是1，小正方形的面积是 ，则 的值为_____. <m></m> [解析] 由题意得直角三角形的面积 .设三角形的直角边 长分别为 ， ，则有 解得 或 因为 为较小的锐角，所以 ， ， 所以 . 35 14.已知关于 的方程 的两个不等实根分别是 和 . （1）求 的值； 解 由一元二次方程根与系数的关系可得： ， ， 由①平方得： ， 从而 ， 由②可得 . 36 （2）求 的值． 解 原式 ， 由（1）可得：原式 . 37 $$