7.3.2 三角函数的图象与性质（第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（一））课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.3.2 三角函数的图象与性质 第2课时 正弦函数、余弦函数的性质（一） 【课标要求】 1.会求与正弦函数、余弦函数有关的定义域. 2.会求与正弦函数、余弦函数有关的的值域（最值）. 3.解决正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性有关的问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点. 正弦函数、余弦函数的图象与定义域、值域、最值、周期性、奇偶性 图象 定义域 值域 值域为 值域为 4 最值 时， ; 时， 时， ; 时， 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 续表 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】正弦函数、余弦函数的定义域 例1 求函数 的定义域为_________________________ ____________. <m></m> 7 [解析] 函数 ，所以 解得 即 即 ， ； 所以 的定义域是 . 故答案为 . 8 题后反思 用三角函数图象求解定义域的方法 （1）作出相应正弦函数或余弦函数在 上的图象. （2）写出适合不等式在区间 上的解集. （3）根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍. 9 跟踪训练1 函数 的定义域是( ) D A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ，解得 ， . 所以函数的定义域是 .故选D. 10 【题型二】正弦函数、余弦函数的值域 例2 求函数 的最值. 解 因为 ， 所以当 时， ； 当 时， . 11 规律方法 与三角函数有关的函数的值域（或最值）的求解思路 （1）求形如 的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性 求解. （2）对于形如 的函数，当定义域为 时，值域为 ;当定义域为某个给定的区间时，需确定 的范围，再结合函 数的单调性确定值域. 12 （3）求形如 , , 的函数的值域或最值时，可以 通过换元，令 ，将原函数转化为关于 的二次函数，利用配方法求值域或最 值，求解过程中要注意正弦函数的有界性. （4）求形如 , 的函数的值域，可以用分离常量法求解;也可以 利用正弦函数的有界性建立关于 的不等式反解出 . 13 跟踪训练2 求函数 的最值. 解 . 因为 ，所以当 时，函数取得最大值， ；当 时，函数取得最小值， . 14 【题型三】正弦函数、余弦函数的奇偶性 例3 判断下列函数的奇偶性. （1） ; 解 函数的定义域为 ， 且 . 因为 ， 所以函数 是奇函数. 15 （2） . 解 函数的定义域为 ， 且 ， 所以函数 是偶函数. 16 规律方法 利用定义判断函数奇偶性的三个步骤 （1）若函数 的定义域不关于原点对称，无论 与 有何关系， 既不是奇函数，也不是偶函数. 17 （2）判断函数 或 （其中 ， ， 是常数，且 ， ）是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为 或 其中的一个. 18 跟踪训练3 若函数 为偶函数，则 的一个取值可能为( ) C A.0 B. C. D. [解析] 因为 为偶函数，故可得 , ，解得 , ，令 ，则 ，其它选项中 的取值都没有对应的 整数 ，都不满足题意.故选C. 19 【题型四】三角函数奇偶性与周期性的综合应用 例4 定义在 上的函数 既是偶函数，又是周期函数，若 的最小正周期为 ， 且当 时， ，则 等于( ) D A. B. C. D. [解析] .故选D. 20 题后反思 三角函数周期性的解题策略 探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 或 （其中 ， ， 是常数，且 ， ）的形式，再利用公式求解. 21 跟踪训练4 下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是( ) C A. B. C. D. [解析] 对于A，画出图形可知，最小正周期为 ，故A错误； 对于B， 为奇函数，故B错误； 对于C， ，函数为偶函数，最小正周期为 ，故C正 确； 对于D， 最小正周期为 ，故D错误.故选C. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.函数 的定义域为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ， 所以 ，故选B. 24 2.下列函数中，最小正周期为 的偶函数是( ) A A. B. C. D. [解析] 对于A，函数 的最小正周期为 的偶函数，满足条件． 对于B，函数 是最小正周期为 的奇函数．不满足条件； 对于C，函数. 是最小正周期为 的偶函数，不满足条件； 对于D， 是最小正周期为 的偶函数，不满足条件．故选A. 25 3.函数 的最大值是( ) C A. B.1 C. D. [解析] 由题意，得 . 因为 ， 所以当 时，函数有最大值 .故选C. 26 4.函数 在 _______________时， 取得最得大值. <m></m> [解析] 当函数取最大值时， ， . 27 5.函数 的定义域为_ ______________________________. <m></m> [解析] 要使函数有意义，必须使 .在同 一平面直角坐标系中画出 上 和 的图象，如图所示. 在 内，满足 的 的值为 ， ，且在 内 ， 再结合正弦、余弦函数的周期是 ， 所以原函数的定义域为 . 28 6.已知函数 . （1）求 的最小正周期； 解 函数 ， 所以 的最小正周期为 . （2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值． 解 若 在区间 上的最大值为 ， 可得 ，且当 时， 取得最大值， 即有 ，解得 ，则 的最小值为 . 29 B层 能力提升练 7.函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. [解析] 由 ，可得 ， ， 解得 ， . 故 的定义域为 .故选C. 30 8.函数 ， 的值域是( ) B A. B. C. D. [解析] 由 ，得 ， 故 .故选B. 31 9.函数 的奇偶性为( ) D A.奇函数 B.既是奇函数也是偶函数 C.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 [解析] 由题意知， ，即 ， ，所以 函数的定义域为 ，因为定义域不关于原点对称，所以该函数既 不是奇函数也不是偶函数. 32 10.（多选题）对 ， 成立的充分不必要条件可以是( ) AC A. B. C. D. [解析] 对 ， ， 而对 ， 成立，则 . 所以对 ， 成立的充分不必要条件可以是 ， .故选 . 33 11.已知方程 在 时有解，则实数 的取值范围是_ _____. <m></m> [解析] 方程 在 时有解， 转化为 ， 与 的图象有交点， , 则 .故实数 的取值范围为 .故答案为 . 34 12.已知函数 是奇函数，当 时， 的值为____. <m></m> [解析] 已知函数 是奇函数， 则 ，所以 . 又因为 ，所以当 时， 符合条件．故答案为 . 35 13.若函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，则 _________. <m></m> [解析] 函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ， 可得 的最小正周期为 ， 又当 时， ，所以 .故答案为 . 36 14.已知函数 ， . （1）求函数 的值域； 解 设 ， ， 则函数 . 因为 ，所以当 时， 取得最小值为 ，当 时， 取得最大值 为2. 所以函数 的值域为 . 37 （2）求不等式 的解集； 解 由 ，得 ，解得 或 （舍）. 所以 ， . 故不等式 的解集为 . （3）若关于 的方程 在 上恰有4个不同的解，求 的取值范围．（直 接给出答案，不用书写解答过程）. 解 . 38 C层 拓展探究练 15.函数 的值域是( ) C A. B. C. D. [解析] 该函数的定义域是 且 ， . 当 是第一象限角时， ; 当 是第二象限角时， ; 当 是第三象限角时， ; 当 是第四象限角时， . 综上，函数的值域是 .故选C. 39 16.已知函数 ,其中 ,若 的值域是 ,则 的取 值范围是_ _______. <m></m> [解析] 因为 , 所以 . 因为 的值域是 , 所以 ,解得 , 故 的取值范围为 . 40 $$