7.3.2三角函数的图象与性质（第3课时 正弦函数、余弦函数的性质（二））课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.3.2 三角函数的图象与性质 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 【课标要求】 1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间. 2.会比较三角函数值的大小. 3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点. 正弦函数、余弦函数的图象与单调性、对称性 图象 单调性 在每一个闭区间 上都是增 函 在每一个闭区间 上都是增函数，在每一个闭区间 ， 单调性 数，在每一个闭区间 上都是减 函数 上都是减函数 对称轴 ， ， 对称中心 ， ， 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】正弦函数、余弦函数的单调性 例1 求下列函数的减区间： （1） ; 解 令 ，而函数 的单调递减区间是 .所以当 原函数单调递减时，可得 ， ，解得 ， . 所以原函数的单调递减区间是 . 6 （2） . 解 . 令 ，则 ，求函数 的单调递减区间，即求函数 的单调递增区间. 所以 ， ， 即 ， . 解得 ， .所以函数 的单调递减区间是 . 7 规律方法 求正弦、余弦函数的单调区间的策略 （1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. （2）在求形如 的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ ”看作一个整体“ ”，即通过求 的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如 的函数的单调区间同上,如果 ,通常先利用诱导公式将 化为大于0. 8 跟踪训练1 已知函数 ，则 在 上的单调递增区间为 ( ) B A. B. C. D. [解析] 由 ， ， 解得 ， ， 所以 的单调递增区间是 . 令 ，得 的单调递增区间是 ， 所以 在区间 上的单调递增区间为 故选B. 9 【题型二】利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小 例2 比较下列各组数的大小： （1） 与 ; 解 因为函数 在 到 上单调递减，且 ，所以 . 10 （2） 与 . 解 ， . 因为函数 在 上单调递减，且 ， 所以 ，即 . 11 规律方法 比较三角函数值大小的方法 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较. （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上. 12 跟踪训练2 （多选题）下列不等式中成立的是( ) ACD A. B. C. D. 13 [解析] 解 对于A，因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，A正确； 对于B，因为 在 上单调递减，又 ，所以 ，B错误； 对于C， ， 在 上单调递增，所以 ， ，C正确； 对于D， , ， 因为 在 上单调递增， ， 所以 ，所以 ，D正确.故选 . 14 【题型三】正弦函数、余弦函数的对称性 例3 函数 的图象的对称轴是直线__________________，对称中心是 _ _________________. <m></m> <m></m> 15 [解析] 要使 ，必有 ，所以 ， 故函数 的图象的对称轴是直线 . 因为函数 的图象与 轴的交点为对称中心，令 ， 即 ， 所以 ，即 . 故函数 的图象的对称中心是 . 16 名师点睛 1.正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值． 2.正弦曲线有无数个对称中心，它们为点 ;也有无数条轴对称图形， 其对称轴的方程为 . 3.余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形.对称中心的坐标为 ，对称轴方程为 . 17 跟踪训练3 求函数 的对称轴、对称中心. 解 ， 令 ， ，得 ， ， 所以函数 的对称轴为 ， ， 对称中心的横坐标满足 ， ， 即 ， . 所以函数 的对称中心为 ， . 18 成果验收•课堂达标检测 19 A层 基础达标练 1.函数 图象的一条对称轴是( ) C A. B. C. D. [解析] 逐一判断四个选项是否满足方程 即可． 20 2.已知函数 ，则函数 的单调递减区间是( ) A A. B. C. D. [解析] ， 令 ， ，则 ， ，所以函数 的单调递减区间是 ， .故选A. 21 3.若 在 上是减函数，则 的最大值是( ) C A. B. C. D. [解析] ， 由 ， ， 得 ， ， 取 ，得 的一个减区间为 ， 由 在 上是减函数，得 .则 的最大值是 .故选C. 22 4.（多选题）下列关于函数 的说法正确的是( ) ABC A.周期为 B.单调递增区间是 C.图象关于点 对称 D.图象关于直线 对称 23 5.函数 的单调递增区间为____________________. <m></m> ， <m></m> 24 6.已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 的单调递增区间； ___ （3）当 ，求函数 的值域． 25 （3） 因为 ，可得 ，所以 ， 故函数 . 解 函数 ，定义域为 ， （1）函数 的最小正周期 . （2）令 ， ， 解得 ， ， 可得函数 的单调递增区间为 ， . 26 B层 能力提升练 7.不求值，比较下列各组数的大小，其中正确的是( ) A A. B. C. D. 27 8.关于函数 有下述四个结论，其中结论错误的是( ) C A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的图象关于 对称 D. 在 上单调递增 28 9.若函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，则 ( ) C A.3 B.2 C. D. [解析] 令 ，解得 ;令 ，解得 ， 即 在 上单调递增，在 上单调递减， 又由已知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 ，所以 .故选C. 29 10.（多选题）[2023南通测试] 已知函数 在 上有且仅 有三条对称轴，则下列结论正确的是( ) AB A.函数 在 上单调递增. B. 不可能是函数 的图象的一个对称中心 C. 的取值范围是 D. 的最小正周期可能为 30 11.（多选题）设函数 是 上的奇函数，若 在区间 上单调递减，则 的取值可能为( ) ACD A.6 B.4 C. D. 31 12.将 ， ， 按从小到大的顺序排列为_ __________________． <m></m> [解析] 因为 ， ， ， 在 上是增函数，且 ， 所以 ，即 . 32 13.已知函数 的图象在 上恰有两个最高点，求 的取值范围. 解 函数 ， 因为 上，所以 . 因为 的图象在 上恰有两个最高点， 所以 ，解得 . 33 14.已知函数 的最小正周期为 ，再从下列 两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①： 的图象关于点 对称； 条件②： 的图象关于直线 对称． （1）请写出你选择的条件，并求 的解析式； 34 （1）因为 的图象关于点 对称， 所以 ， ，所以 ， ， 因为 ，所以 ，故 的解析式为 . 选择条件②： （1）因为 的图象关于直线 对称， 所以 ， ，所以 ， ， 因为 ，所以 ，故 的解析式为 . 解 因为函数 的最小正周期为 ， 所以 ， 选择条件①： 35 （2）在（1）的条件下，求 的单调递增区间． 解 令 , ， ， 所以 ， ， 故 的单调递增区间为 ， . 36 $$