7.3.2 三角函数的图象与性质（第4课时 正切函数的图象和性质）课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.3.2 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的图象和性质 【课标要求】 1.能借助单位圆中的正切线画出 的图象. 2.掌握正切函数 的性质，并能运用性质解决问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点. 函数 的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 周期性 周期为 的周期函数 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调性 每个开区间 都是函数 的增区间 对称性 对称中心 4 名师点睛 1.正切函数在每一个开区间 ， 内都单调递增，不能说函 数在其定义域内是增函数. 2.正切函数图象的简图可以用“三点两线法”作出，三点指的是 ， ， ，两线为直线 和直线 ，其 中 ，这样可以快速地作出正切函数的图象. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】正切函数的定义域、值域 例1（1） 函数 , 的值域为_________. <m></m> [解析] 函数 ,因为正切函数在 上单调递增,所以 ,故所求值域为 . （2）求函数 的定义域. 解 由 得， ， ， 所以函数 的定义域为 . 7 规律方法 1.求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还 要保证正切函数 有意义，即 ， .而对于构建的三角不等式， 常利用三角函数的图象求解. （2）求正切型函数 的定义域时，要将“ ” 视为一个“整体”.令 ， ，解得 . 2.与正切函数有关的求解值域的方法为换元法和正切函数图象的运用. 8 跟踪训练1（1） 函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. [解析] 要使函数有意义，必有 即 ， 解得 , ， 即 , ， 所以函数的定义域为 , .故选C. 9 （2）[2023南通测试] 函数 ， 的值域是_______. <m></m> [解析] 因为 ,所以 , 因为 在 上单调递增，且 ， ， 所以函数 . 即函数的值域是 .故答案为 . 10 【题型二】正切函数的单调性及应用 角度1 求正切函数的单调区间 例2 求函数 的单调区间. 解 由 得， ， ，所以函数 的单调递增区间是 . 11 规律方法 求函数 ， ， 都是常数 的单调区间的方法 （1）若 ，由于 在每一个单调区间上都单调递增，故可用“整体代 换”的思想，令 ，求得 的范围即可. （2）若 ，可利用诱导公式先把 转化为 ，即把 的系数化为正值，再利用“整体代 换”的思想，求得 的范围即可. 12 跟踪训练2 函数 的单调递增区间是( ) B A. B. C. D. [解析] 令 , ， 解得 ， 故函数 的单调递增区间是 .故选B. 13 角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较 与 的大小. 解 由于 ， ， 又 ， 而 在 上单调递增， 所以 ， ， 即 . 14 规律方法 运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. （2）运用单调性比较大小关系. 15 跟踪训练3 比较下列正切值的大小： （1） 与 ; 解 ， 因为当 时，函数 单调递增，且 ， 所以 ，即 . （2） 与 . 解 ， 因为 在 上单调递增，且 ， 所以 .即 . 16 【题型三】正切函数图象、性质的应用 例4 设函数 . （1）求函数 的最小正周期，对称中心; 解 因为 ，所以最小正周期 . 令 ，得 ， 所以 的对称中心是 . 17 （2）作出函数 在一个周期内的简图. 解 令 ，则 ；令 ，则 ； 令 ，则 ；令 ，则 ; 令 ，则 . 所以函数 的图象与 轴的一个交点坐标是 ，在这个交点左、右 两侧相邻的两条渐近线方程分别是 ， ，从而得到函数 在一个 周期 内的简图（如图）. 18 题后反思 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线 隔开的无穷多支曲线组成， 的对称中心为 . 19 跟踪训练4 （多选题）已知函数 ，则下列结论中正确的是 ( ) CD A. 的最小正周期为 B.点 是 图象的一个对称中心 C. 的值域为 D.不等式 的解集为 20 [解析] 作出 的图象，如图， 可得 的最小正周期为 ，A错误； 的图象没有对称中心，B错误； 的值域为 ,C正确； 不等式 的解集为 ，D正确. 故选 . 21 成果验收•课堂达标检测 22 A层 基础达标练 1.函数 的最小正周期是( ) D A.4 B. C. D.2 [解析] 函数 的最小正周期 ，故选D. 23 2.函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以 ，即 ， . 24 3.方程 在 上的解的个数是( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 [解析] 由题意知， ， ，所以 ， .又 ， 所以 ， ， ， ，共4个.故选B. 25 4.（多选题）已知函数 .则下列关于 的说法正确的是( ) AC A.周期为 B.定义域为 C.单调递增区间为 D.图象的对称中心为 26 5.[2023苏州测试] 若“ , ”是真命题，则实数 的最小值为___. 1 [解析] 由已知可得 恒成立． 设 ，显然该函数为增函数， 故 的最大值为 ， 由不等式恒成立可得 ，即实数 的最小值为1. 27 6.设函数 . （1）求函数 的周期、对称中心； 解 因为 ，所以周期 . 令 ，则 ， 所以 的对称中心是 . 28 （2）求 的单调区间. 解 由题意 , . 所以 , 则 ， , 所以函数的单调递增区间为 ,无单调递减区间. 29 B层 能力提升练 7.函数 的定义域是( ) A A. B. C. D. [解析] 对于函数 ，应有 存在，且 ， 所以 ，且 ， ，即 ， ，故选A. 30 8.[2023徐州质检] 函数 的值域是( ) C A. B. C. D.以上均不对 [解析] 令 ， 因为 ，且函数 在 上为增函数， 所以 ，即 . 所以 .故选C. 31 9.若函数 与函数 的最小正周期相同,则 ( ) A A. B.1 C. D.2 [解析] 因为函数 的周期为 ,所以 , 所以 . 32 10.（多选题）已知函数 ，则下列说法不正确的是 ( ) BCD A.若 的最小正周期是 ，则 B.当 时， 图象的对称中心的坐标都可以表示为 , C.当 时， D.若 在区间 上单调递增，则 33 11.若 的最小正周期为 ，则 的最 小正周期为_ __. <m></m> [解析] 因为 的最小正周期为 ， 所以 ，解得 ， 则 的最小正周期为 ， 即 的周期为 ，故答案为 . 34 12.使不等式 成立的 的集合为________________________. <m></m> , <m></m> [解析] 结合 的图象可得： ， ;故答案为 , . 35 13.函数 的定义域为_______________________________________, 为____函数（填“奇”或“偶”）. <m></m> 奇 [解析] 由 ，得 或 . 所以函数定义域为 ,关于原点对称. . 所以 ，所以 是奇函数. 36 14.设函数 . （1）求函数 的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心; [解析] 由 , ,得函数 的定义域为 , ; 最小正周期 ;单调递增区间为 ,无单调递减区 间;对称中心为 . 37 （2）求不等式 的解集. [解析] 由题意得 , ,则 , ,可得不等式的解集为 , . 38 $$