7.4三角函数应用课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第7章 三角函数 7.4 三角函数应用 【课标要求】 1.会用三角函数解决简单的实际问题. 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点. 函数 中，各参数的物 理意义 振幅 物体运动时离开平衡位置的最大距离 周期 往复运动一次所需的时间 频率 单位时间内往复运动的次数 相位 时的相位 称为初相位 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】三角函数模型在物理中的应用 例1 已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位置）的距离 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数关系式为 . （1）求小球开始振动的位置; 解 令 ，得 ，所以小球开始振动的位置为 . （2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标. 解 由题意知，当 时， 的最小值为 ，即所求最高点的坐标为 ；当 时， 的最小值为 ，即所求最低点的坐标为 . 6 规律方法 利用三角函数处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 7 跟踪训练1 已知表示电流强度 与时间 的函数关系式 . 8 （1）若电流强度 与时间 的函数关系图象如图所示,试根据图象写出 的解析式; 解 由题图知, . ,所以 . 因为 是该函数图象的第一个零点, 所以 .所以 . 符合 ,所以 . 9 （2）为了使 , , 中 在任意一段 秒的时间内 电流强度 能同时取得最大值 与最小值 ,则正整数 的最小值是多少？ 解 问题等价于 ,即 ,所以 . 所以正整数 的最小值为629. 10 【题型二】三角函数模型在生活中的应用 例2 （多选题）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的 “湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘 直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后 按逆时针匀速旋转 分钟，当 时，游客随舱旋转至距离地面最远 处.下列关于摩天轮的说法中，正确的为 ( ) BC A.摩天轮离地面最近的距离为4米 B.若旋转 分钟后，游客距离地面的高度为 米，则 C.若在 ， 时刻，游客距离地面的高度相等，则 的最小值为30 D. ， ，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 11 [解析] 由题意知，摩天轮离地面最近的距离为 米，故A不正确； 分钟后，转过的角度为 ，则 ， B正确； 的周期为 ，由余弦型函数的性质可知，若 取 最小值，则 ， ，又高度相等，则 ， 关于 对称，则 ，则 ; 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ， 当 时， ，所以 在 只 有一个解.故选 . 12 规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤 13 跟踪训练2 某实验室一天的温度（单位： ）随时间 （单位： ）的变化近似满足 函数关系： ， . （1）求实验室这一天的最大温差; 解 因为 ， ， 所以 ， . 当 时， ； 当 时， . 于是 在 上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为 ，最低温度为 ，最大温差为 . 14 （2）若要求实验室温度不高于 ，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 依题意，当 时实验室需要降温. 因为 ， 故 ，即 . 又 ，因此 ， 即 ，故在10时至18时实验室需要降温. 15 成果验收•课堂达标检测 16 A层 基础达标练 1.已知某人的血压满足函数解析式 .其中 为血压（单 位： ）， 为时间（单位： ），则此人每分钟心跳的次数为( ) C A.60 B.70 C.80 D.90 [解析] 由题意可得频率 （次/分）， 所以此人每分钟心跳的次数是80. 17 2.在平面直角坐标系中，动点 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟 转动一周．若点 的初始位置坐标为 ，则运动到3分钟时，动点 所处位置的 坐标是( ) C A. B. C. D. [解析] 每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为 ； 点 的初始位置坐标为 ， 运动到3分钟时动点 所处位置的坐标是 . 故选C. 18 3.某市一房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平 均单价 （每平方米的价格，单位：元）与第 季度之间近似满足： ，已知第一、二季度平均单价如下表所示： 1 2 3 10 000 9 500 ？ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) C A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 [解析] 因为 ，所以当 时， ；当 时， ，所以 可取 ， 可取 ，即 .当 时， . 19 4.据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈 , , 的模型波动 为月份 ，已知3月份 达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为 _______. 6 000 20 5.弹簧振子以点 为平衡位置,在 , 间做简谐运动, , 相距 ,某时刻振子处在 点 ,经 振子首次达到点 .求: （1）振动的振幅、周期和频率; 解 设振幅为 , 则 , . 设周期为 ,则 , , . 21 （2）振子在 内通过的路程及这时位移的大小. 解 振子在 内通过的距离为 , 故在 内通过的路程 . 末物体处在点 ,所以它相对平衡位置的位移大小为 . 22 B层 能力提升练 6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设 秒针针尖位置 ,若初始位置为 ,当秒针从 （注:此时 ）正常开始走时,点 的纵坐标 与时间 的 函数关系式为( ) C A. B. C. D. 23 7.[2023盐城月考] 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线， 我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身 形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔 振幅就变化一次，且过点 ，其对应的方程为 B A. B. C. D. ，其中 为不超过 的最大整数， .若该 葫芦曲线上一点 到 轴的距离为 ，则点 到 轴的距离为( ) 24 8.已知某简谐运动的函数表达式是 ,该函数的部分图象 如图.经测量,振幅为 .图中的最高点 与最低点 , 为等 腰三角形的顶点,则振动的频率是( ) B A. B. C. D. 25 9.（多选题）有一冲击波，其波形为函数 的图象，若其在区间 上至少 有2个波峰，则符合要求的正整数 的值有( ) CD A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 [解析] 由 的图象知，要使在区间 上至少有2个波峰，必须使区间 的长度不小于 ， 即 .故选 . 26 10.简谐运动 的频率 ___. <m></m> [解析] . 27 11.筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示）.筒车上的 每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的 中心为 ，筒车的半径为 ，筒车转动的周期为 ， 如图2所示，盛水桶 在 处距水面的距离为 后 盛水桶 在 处距水面的距离为 ，若 ，求直线 与水面的夹角. 28 解 过 作直线 与水面平行，过 作 于 .过 作 于 .如图， 设 , , . 则 , , ， 所以 ，整理可得 ， 则 ,所以 .即直线 与水面的夹角为 . 29 C层 拓展探究练 12.阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装 置．如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器．由物理学知 识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移 与时间 的函数关系式为 ，若该阻尼器模型在摆动过程 中连续三次位移为 的时间分别为 ， ， ，且 ， ，则下列为 的单调区间的是( ) A A. B. C. D. 30 13.某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图， 将三个半径为 的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切， 左、右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差 为 ，求圆弧的半径. 31 解 设圆弧的圆心为 ，半径为 ，三个小球的球心自左至右分别为 ， ， ，如图. 设左边两个小圆切于点 ，设 ， 由题意可知， ， 且 ， 即 ， 所以 ，解得 . 32 $$