8.1.1 函数的零点课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第8章 函数应用 8.1.1 函数的零点 【课标要求】 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 函数的零点 （1）概念：一般地，我们把使函数 的值为0的实数 称为函数 的零点. （2）函数的零点、函数的图象与 轴的交点、对应方程根的关系. 名师点睛 零点不是点，而是一个实数. 4 知识点2. 函数零点存在定理 一般地，若函数 在区间 上的图象是一条不间断的曲线，且 ，则函数 在区间 上有零点. 5 名师点睛 与函数 存在零点的关系 （1）若函数 在闭区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ,则函数 一定有零点. 6 （2）由函数 在闭区间 上有零点不一定能推出 ,如图. 事实上，只有当函数图象通过零点（不是偶次零点）时，函数值才变号，即相邻两个 零点之间的函数值同号. （3）若函数 在区间 上具有单调性，且 的图象是连续不断的一条曲线，则 函数 在 上只有一个零点. 7 题型分析·能力素养提升 8 【题型一】求函数的零点 例1（1） [2023盐城期末] 函数 的零点是_ _. <m></m> [解析] 若 ，则 ; 若 ，则由 ，得 . 综上所述，函数的零点为 .故答案为 . 9 （2）若 是函数 的一个零点，则 的另一个零点为___. 1 [解析] 由 ，得 ， 则 ， 令 ，即 ，解得 ， ， 所以 的另一个零点是1.故答案为1. 10 题后反思 探究函数零点的两种求法 （1）代数法：求方程 的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. （2）几何法：与函数 的图象联系起来，图象与 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 11 跟踪训练1（1） 函数 在区间 上的零点为____. <m></m> [解析] 函数 的零点即方程 的根， 解方程可得 ， ， 所以函数 在区间 上的零点为 .故答案为 . 12 （2）已知不等式 的解集为 ，则实数 _ ____;函数 的零点为_ _____. <m></m> <m></m> ， <m></m> [解析] 由已知得3，4是方程 的根，且 ， 所以，由根与系数的关系得 解得 ， ， 所以函数 的零点为方程 的根， 解方程 得 或 ， 所以函数 的零点为 或 . 故答案为 ； , . 13 【题型二】判断函数零点所在的区间 例2（1） 函数 的零点所在的大致区间是( ) C A. B. C. D. [解析] 因为 ， ，且函数 在 上是 增函数， 所以 . 所以函数的零点所在的区间为 .故选C. 14 （2）根据表格内的数据，可以断定方程 的一个根所在区间是( ) 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 2 3 4 5 6 C A. B. C. D. [解析] 构造函数 ，由题表可得 ， ， ， ， ， 因为 ，所以方程的一个根所在区间为 ，故选C. 15 题后反思 确定函数 零点所在区间的常用方法 （1）解方程法：当对应方程 易解时，可先解方程，再看求得的根是否 落在给定区间上. （2）利用函数零点存在定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连 续，再看是否有 .若 ，则函数 在区间 内必有 零点. （3）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来 判断. 16 跟踪训练2（1） [2023徐州期末] 函数 的零点所在的区间为 ( ) B A. B. C. D. [解析] 由于连续函数 满足 ， ， 且函数在区间 上单调递增，故函数 的零点所在的区间为 . 故选B. 17 （2）若方程 的实根在区间 上，则 等于( ) C A. B.1 C. 或1 D.0 [解析] 由题意可知， ，则原方程即为 ，在同一平 面直角坐标系中作出函数 与 的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个根，一个在区间 上，一个在区 间 上（由 ， 可得），所以 或 . 18 【题型三】函数零点个数问题 例3 判断函数 的零点个数. 解（方法一）因为 , , 所以函数 在 上有零点. 又 在区间 上为增函数,故 有 由图象可知 和 的图象有且只有一个公共点,即 有且只有一个零点. 且只有一个零点. （方法二）令 , ,在同一平面直角坐标系中作出 与 的图象如图所示， 19 规律方法 判断函数零点个数的常用方法 （1）解方程 . （2）直接作出函数 的图象,图象与 轴公共点的个数就是函数 零点的个数. （3） ,得 ,在同一平面直角坐标系中作出 和 的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 零点的个数. （4）若证明一个函数的零点唯一,也可先由函数零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调. 20 跟踪训练3（1） [2023天津测试] 函数 的零点个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 要使函数有意义，则 ，即 ，解得 或 . 由 得 或 （不成立舍去）. 即 或 ，所以函数的零点个数为2.故选B. 21 （2）函数 零点的个数为___. 4 [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数 ， 的图象，如图所示， 函数 的零点，即方程 的实数根， ， ， 结合图可知当 时，函数 和 的图象的交 点个数为4， 即 的零点有4个.故答案为4. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.函数 有一个零点，则 的值为( ) C A.2 B. C. D.3 [解析] 因为函数有一个零点，所以 ，所以 .故选C. 24 2.函数 的零点所在的区间为( ) D A. B. C. D. [解析] 函数 为区间 上的增函数， 由 , ,可得函数 的零点所在的区间为 .故选D. 25 3.已知函数 则函数 的零点为( ) D A. ，0 B. ,0 C. D.0 [解析] 当 时，由 ，得 ，所以 ；当 时，由 ，得 ，所以 ，不成立，所以函数的零点为0，故选D. 26 4.（多选题）下列说法中正确的是( ) BD A. ， 的零点为 B. ， 的零点为 C. 的零点，即 的图象与 轴的交点 D. 的零点，即 的图象与 轴交点的横坐标 [解析] 根据函数零点的定义知， ， 的零点为 ， 函数 的零点，即 的图象与 轴交点的横坐标. 因此，只有说法 正确.故选 . 27 5.[2023苏州检测] 函数 的零点是______. <m></m> [解析] 令 ，解得 ， 即函数 的零点是 .故答案为 . 28 6.判断函数 的零点的个数. 解 （方法一）令 ，所以原函数零 点的个数即为函数 与 的图象交点个数. 在同一坐标系下，作出两函数的图象（如图）. 由图象知，函数 与 的图象只有一个交点， 从而 有一个根， 即函数 有一个零点. （方法二）因为 ， ， 所以 ，又 的图象在 上是不间断的，所以 在 上必有零点， 又 在 上是增函数，所以零点只有一个. 29 B层 能力提升练 7.若函数 的零点所在区间为 ,则 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为函数 在 上单调递增,且 , , 所以函数的零点在区间 上.又因为函数的零点在区间 上, 所以 ,故选A. 30 8.如果函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ ” 是“函数 在 内有零点”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线， “ ”可以推出“函数 在 内有零点“，充分性成立； 反之当 ， ，函数 存在零点， ，必要性不成立； 所以“ ”是“函数 在 内有零点”的充分不必要条件. 故选A. 31 9.已知函数 .若 存在2个零点，则 的取值 范围是( ) C A. B. C. D. [解析] 函数 存在2个零点，即关于 的方 程 有2个不同的实数根，即函数 的图象与 直线 有2个交点，作出直线 与函数 的图象，如图所示，由图可知， ，解得 ， 故选C. 32 10.（多选题）已知函数 令 ，则下列说法 正确的是( ) BD A.函数 的单调递增区间为 B.当 时， 有3个零点 C.当 时， 的所有零点之和为 D.当 时， 有1个零点 33 11.（多选题）已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则有( ) ABC A. ， ， B. C. ， D. ， 34 12.[2023徐州检测] 设实数 ， 是关于 的方程 的两个不同实数根，且 ，则 ___， 的取值范围为_ _____. 1 <m></m> [解析] 由题意知，在 上函数 的图象和直线 有两个不同交点，如图所示， 则 ，即 ， 所以 ， ， 所以 的取值范围是 .故答案为1; . 35 13.若关于 的方程 有四个不相等的实根，则实数 的取值范围是 _ _____. <m></m> [解析] 由 ，得 ，作出函数 的图象如图，则由图象可知，要使方程 有四个不相等的实根，则 . 36 14.已知一次函数 满足 , （1）求函数 的解析式； 解 设 , 由条件得 解得 故 . 37 （2）若函数 ，求函数 的零点. 解 由（1）知 , 令 ， 解得 或 ， 所以函数 的零点是2和1. 38 C层 拓展探究练 15.定义在 上的奇函数 ，当 时， 则函数 的所有零点之和为_____. <m></m> 39 16.已知函数 （1）若 ,求实数 的值; 解 当 时, , 即 , 解得 ,均满足条件. 当 时,因为 , ,所以 无解. 故 . 40 （2）若关于 的方程 恰有三个解,求实数 的取值范围. 解 在同一平面直角坐标系内分别作出 和 的图象如图所示. 当 时, 单调递增, ; 当 时, 在 上单调递减,在 上单调递 增, . 故当 时,方程 恰有三个解,即实数 的取值范围是 . 41 $$