月考卷(1) 集合与常用逻辑用语、不等式、函数-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

月考卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式、函数 1．A　因为命题p：∃x∈R，2x≥2024，所以綈p为∀x∈R，2x＜2024，故选A. 2．D　因为A＝{x|x2－2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，所以∁RA＝{x|x＜0或x＞2}，又B＝{－1，0，3}，所以(∁RA)∩B＝{－1，3}，故选D. 3．C　由题意知，f(－1)＝(－1)2＋a＝1＋a，又a＞－1，所以1＋a＞0，所以f[f(－1)]＝f(1＋a)＝21＋a＝4，解得a＝1.故选C. 4．B　对于①，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1，3]，①不满足条件；对于②，对于函数y＝f(2x－1)，2x－1∈R，则函数y＝f(2x－1)的值域为[1，2]，②满足条件；对于③，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1，2]，③满足条件；对于④，因为1≤f(x)≤2，f(x＋1)∈[1，2]，则y＝log2f(x＋1)＋1∈[1，2]，④满足条件．故选B. 5．D　当a＝b＝1时，f(x)＝x2＋，函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，则f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＞0，得x＞2－；令f′(x)＜0，得x＜0或0＜x＜2－，所以函数在(－∞，0)和(0，2－)上单调递减，在(2－，＋∞)上单调递增．故选D. 6．C　当x≤1时，由()x≤2，可得x≥－1，故－1≤x≤1；当x＞1时，由log2x≤2，可得x≤4，故1＜x≤4.综上，－1≤x≤4.故选C. 7．A　由函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，得f(3－x)＝f(3＋x)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)，又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，得f(1)＝2－f(1)，则f(1)＝1，f(5)＝f(1)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1.故选A. 8．B　∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥g(x)min，由题得f′(x)＝－ex－1＋(1－x)·ex－1＝－xex－1，当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝，由题得g(x)min＝g(－1)＝a，所以a≤.故选B. 9．BC　根据命题的否定可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选项A错误；＜2等价于a＜0或a＞，所以“a＞”是“＜2”的充分不必要条件，故选项B正确；由a＝0能推出ab＝0，而当a≠0，b＝0时，ab＝0成立，所以“a＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件，故选项C正确；根据不等式的性质可知，由x≥1且y≥1能推出x2＋y2≥2，由x2＋y2≥2不能推出x≥1且y≥1，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选项D错误．故选BC. 10．AD　因为ln a＋ln b＝ln(a＋4b)，所以a＞0，b＞0，且ln(ab)＝ln(a＋4b)，即ab＝a＋4b，所以＋＝1，故A正确；所以ab＝a＋4b≥2＝4，即≥4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b时，即a＝8且b＝2时等号成立，故D正确，C错误；由＋＝1，a＞0，b＞0，所以a＋b＝(a＋b)·(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时，即a＝6且b＝3时等号成立，故a＋b的最小值为9，故B错误；故选AD. 11．AB　由f(2－x)＝f(2＋x)，得该函数的图象关于直线x＝2对称，故B正确．∵f(x)是奇函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x－2)，∴f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)，则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是周期函数，且周期为8，故A正确．∵f(x)在区间(0，2]内单调递增，∴f(x)在区间[－2，0)内单调递增，∵f(1)＝0，∴f(－1)＝－f(1)＝0，f(3)＝f(1)＝0，f(－3)＝－f(3)＝0，f(4)＝f(0)＝0，f(－4)＝0，即f(x)在区间(－5，5)上有7个零点，故C错误．当x∈(－3，－1)时，f(x)＜0，故D错误．故选AB. 12．AD　令f(x)＝，x∈(0，1)，则f′(x)＝＜0，∴函数f(x)在(0，1)上单调递减，则＞，∴x2ex1＞x1ex2，故A正确，B不正确；令g(x)＝ex＋ln x，x∈(0，1)，则函数g(x)在(0，1)上单调递增，则ex1＋ln x1＜ex2＋ln x2，∴ex1－ex2＜ln x2－ln x1，故C不正确，D正确．故选AD. 13．解析：对于任意实数x1，x2，当0＜x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，说明该函数在(0，＋∞)上单调递增，又满足对数函数的运算性质：f()＝f(x1)－f(x2)， 故可选一个递增的对数函数f(x)＝logax(a＞1)．例如f(x)＝log2x. 答案：log2x(logax(a＞1)型的都对) 14．解析：因为f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0；由f(x)＋f(2－x)＝0，则f(2－x)＝－f(x)， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，函数g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝lg x的交点个数，在同一坐标系中作出两函数的图象： 由图象可知，两函数有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个． 答案：0　5 15．解析：因为f(x)＝x－sin x，所以函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝1－cos x，易知f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，所以f(x)＝x－sin x在R上是增函数，又f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，所以f(x)＝x－sin x为奇函数，所以由f(ln x)＋f(2ln－1)＜0，得f(ln x)＜－f(2ln－1)＝f(1－2ln), 所以ln x＜1－2ln，即ln x＋2ln＜1，所以ln(x·)＜ln e，解得x＞，所以x的取值范围是(，＋∞)． 答案：(，＋∞) 16．解析：由题知，f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(－1)＝e2.g(x)＝－(x＋1)2＋a，当x∈[－1，＋∞)时，g(x)单调递减且g(x)≤a，存在x1∈R，x2∈[－1，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，只需e2≤a即可，所以实数a的取值范围是[e2，＋∞)． 答案：[e2，＋∞) 17．解：(1)∵2x2－9x＋4＞0，∴x＜或x＞4， ∴A＝(－∞，)∪(4，＋∞)，∁RA＝. 从而y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈， 解得y∈[－8，1]，∴B＝[－8，1]． (2)∵A∪C＝A，∴C⊆A. 若C＝∅，则2m－1≤m＋1，解得m≤2， 若C≠∅，则或解得m≥3， 综上，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞)． 18．解：(1)由f(x)≤f(2)知a＜0，且－＝2， 由题知f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＞0的解集为(1，2)， 即令f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝0，有x1＝1，x2＝2， 故x1＋x2＝－＝3，x1x2＝＝2， 解得a＝－1，b＝4，c＝－2，即f(x)＝－x2＋4x－2. (2)y＝f(x)是开口向下，对称轴为x＝2的抛物线， f(0)＝－2，f(t)＝－t2＋4t－2，f(2)＝2， 根据二次函数的对称性，得 当0＜t≤2时，f(x)在[0，t]上的值域为[－2，－t2＋4t－2]； 当2＜t＜4时，f(x)在[0，t]上的值域为[－2，2]； 当t≥4时，f(x)在[0，t]上的值域为[－t2＋4t－2，2]． 19．解：(1)由题意，f′(x)＝x2－(m＋1)x＝x[x－(m＋1)]≥0在[2，＋∞)上恒成立，∴m＋1≤x在[2，＋∞)上恒成立， ∴m＋1≤2，∴m≤1. (2)∵f′(x)＝x[x－(m＋1)]， ∴当m＋1≤2，即m≤1时，f(x)在区间[2，3]上单调递增， 此时f(x)min＝f(2)＝－2m＋； 当2＜m＋1＜3，即1＜m＜2时，f(x)在区间[2，m＋1]上单调递减，在区间[m＋1，3]上单调递增， 此时f(x)min＝f(m＋1)＝－(m＋1)3＋1； 当m＋1≥3，即m≥2时，f(x)在区间[2，3]上单调递减， 此时f(x)min＝f(3)＝－m＋. 综上，g(m)＝ 20．解：(1)由已知得解得∴y＝－x2＋x－ln(x≥10)，则该景点改造升级后旅游增加利润L(x)＝－x2＋x－ln－x＝－x2＋x－ln(x≥10)． (2)由(1)得L(x)＝－x2＋x－ln(x≥10)， 则L′(x)＝－x＋－＝－ ＝－，令L′(x)＝0，可得x＝25. 当x∈[10，25)时，L′(x)＞0，L(x)单调递增； 当x∈(25，＋∞)时，L′(x)＜0，L(x)单调递减． ∴当x＝25时，L(x)取得最大值，且L(x)max＝L(25)＝－ln 5≈11.9，∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润约为11.9万元． 21．解：(1)易知函数f(x)的定义域为R， ∵f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1＞0， 解得x＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 令f′(x)＝ex－1＜0，解得x＜0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)， ∴函数f(x)的极小值为f(0)＝0，没有极大值． (2)证明：要证f(x)＋x＋1≥x2＋cos x， 即证ex－x2－cos x≥0， 设g(x)＝ex－x2－cos x(x≥0)，要证原不等式成立即证g(x)≥0成立． g′(x)＝ex－x＋sin x(x≥0)，∵sin x≥－1，∴g′(x)＝ex－x＋sin x≥ex－x－1(当且仅当x＝－＋2kπ，k∈N*时等号成立)， 由(1)知ex－x－1≥0(当且仅当x＝0时等号成立)， ∴g′(x)＞0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(0)＝0， ∴当x≥0时，f(x)＋x＋1≥x2＋cos x得证． 22．解：(1)f(x)＝ex－ax－ln 2，其定义域为R，f′(x)＝ex－a， ①当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在R上单调递增， ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞ln a，令f′(x)＜0，得x＜ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增， 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． (2)由已知得g(x)＝ex－2x－cos x，x∈(－，＋∞)， 则g′(x)＝ex＋sin x－2. ①当x∈(－，0)时，因为g′(x)＝(ex－1)＋(sin x－1)＜0，所以g(x)在(－，0)上单调递减， 所以g(x)＞g(0)＝0，所以g(x)在(－，0)上无零点； ②当x∈时，因为g′(x)单调递增， 且g′(0)＝－1＜0，g′()＝e－1＞0， 所以存在x0∈(0，)，使得g′(x0)＝0， 当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，当x∈(x0，)时，g′(x)＞0， 所以g(x)在[0，x0)上单调递减，在上单调递增，且g(0)＝0，所以g(x0)＜0，又因为g()＝e－π＞0， 所以g(x0)·g()＜0，所以g(x)在(x0，)上存在一个零点， 所以g(x)在上有两个零点； ③当x∈(，＋∞)时，g′(x)＝ex＋sin x－2＞e－3＞0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递增，因为g()＞0，所以g(x)在(，＋∞)上无零点． 综上所述，g(x)在(－，＋∞)上的零点个数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 月考卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式、函数 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设命题p：∃x∈R，2x≥2024，则綈p为(　　) A．∀x∈R，2x＜2024 B．∀x∈R，2x＞2024 C．∃x∈R，2x≤2024 D．∃x∈R，2x＜2024 2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{－1，0，3}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．∅ B．{0，1} C．{－1，0，3} D．{－1，3} 3．已知函数f(x)＝若f[f(－1)]＝4，且a＞－1，则a＝(　　) A．－ B．0 C．1 D．2 4．已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1，2]，则下列四个函数①y＝2f(x)－1；②y＝f(2x－1)；③y＝2f(x)－1；④y＝log2f(x＋1)＋1，其中值域也为[1，2]的函数个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 5．函数f(x)＝ax2＋(ab≠0)的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当a＝b＝1时，函数f(x)的大致图象为(　　) 6．(2024·北京朝阳区期末)设函数f(x)＝若f(x)≤2，则实数x的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(0，4] C．[－1，4] D．(－∞，4] 7．(2024·福州质检)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0 C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1 8．已知f(x)＝(1－x)ex－1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．(0，e) D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．(2023·深圳调研)下列结论正确的是(　　) A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2＜0” B．“a＞”是“＜2”的充分不必要条件 C．“a＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件 D．“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的必要不充分条件 10．已知实数a，b满足ln a＋ln b＝ln(a＋4b)，则下列结论正确的是(　　) A．＋＝1 B．a＋b的最大值为9 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为16 11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足以下条件：①f(2－x)＝f(2＋x)，②f(x)在区间(0，2]内单调递增，③f(1)＝0.则以下判断正确的是(　　) A．f(x)是周期函数，且周期是8 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．f(x)在区间(－5，5)上有9个零点 D．当x∈(－3，－1)时，f(x)＞0 12．若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式成立的是(　　) A．x2e x1＞x1ex2 B．x2 e x1＜x1 ex2 C．e x1－ex2＞ln x2－ln x1 D．e x1－ex2＜ln x2－ln x1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)若函数f(x)满足：(1)对于任意实数x1，x2，当0＜x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)； (2)f()＝f(x1)－f(x2)，则f(x)＝________．(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可) 14．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________．若g(x)＝f(x)－lg x，则函数g(x)的零点共有________个． 15．已知函数f(x)＝x－sin x，则满足不等式f(ln x)＋f(2ln －1)＜0的x的取值范围是________． 16．已知f(x)＝xex＋＋e2，g(x)＝－x2－2x－1＋a，若存在x1∈R，x2∈[－1，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知集合A＝{x|2x2－9x＋4＞0}，集合B＝{y|y＝－x2＋2x，x∈∁RA}，集合C＝{x|m＋1＜x≤2m－1}． (1)求集合B； (2)若A∪C＝A，求实数m的取值范围． 18.(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对∀x∈R有f(x)≤f(2)，且函数g(x)＝log2(f(x)－x)的定义域为(1，2)． (1)求f(x)的解析式； (2)若t＞0，求f(x)在[0，t]上的值域． 19．(12分)已知函数f(x)＝x3－(m＋1)x2＋1. (1)若函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求m的取值范围； (2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最小值为g(m)，求g(m)的表达式． 20.(12分)某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y(万元)与投入x(x≥10)(万元)之间满足y＝ax2＋bx－ln(a，b为常数)，当x＝10时，y＝－ln 2；当x＝15时，y＝－ln 3. (1)写出该景点改造升级后旅游增加利润L(x)(万元)与投入x(万元)之间的函数解析式．(利润＝旅游增加值－投入) (2)投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润约是多少万元(精确到0.1，参考数据：ln 5≈1.6)? 21．(12分)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥x2＋cos x. 22．(12分)已知函数f(x)＝ex－ax－ln 2(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝2时，求函数g(x)＝f(x)＋ln 2－cos x在(－，＋∞)上的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$