名校优化重组测试卷(2)-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

名校优化重组测试卷(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·连云港模拟)已知集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x∈Z|1＜x＜8}，则A∩B的子集个数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 2．(2023·开封市一模)若是纯虚数，则复数z可以是(　　) A．－3＋4i B．3－4i C．4＋3i D．4－3i 3．(2024·岳阳质量检测) 已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(　　) A．1666 B．1654 C．1472 D．1460 4．(2023·武汉江岸区调考)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，现在向这个空石瓢壶中加入91π cm3(约285.9 cm3)的矿泉水后，问石瓢壶内水深约(　　) A．2.8 cm B．2.9 cm C．3.0 cm D．3.1 cm 5．(2023·鞍山二次质检)已知x＝4＋22.2，y＝6＋ln 2，z＝23.1，则(　　) A．z＞y＞x B．y＞x＞z C．x＞z＞y D．z＞x＞y 6.(2024·南京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间为(　　) A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) B．[kπ－，kπ＋](k∈Z) C．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) 7．(2024·青岛模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2－x，设函数g(x)＝e－|x－2|(－2＜x＜6)，则f(x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和等于(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 8.(2023·泰安三模)如图，已知三棱柱ABC ­A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ­ABC的外接球表面积的最大值为(　　) A．π B．24π C．π D．8π 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．(2023·唐山模拟)某县教育部门在辖区三所高中用简单随机抽样的方法调查了100名教师，征求其对延迟退休的态度(支持，不支持)，就分类变量“教师对延迟退休的态度”与“性别”的成对样本数据计算得χ2＝4.916，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，结论为(　　) α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．教师对延迟退休的态度与性别无关 B．教师对延迟退休的态度与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．教师对延迟退休的态度与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.05 D．调查时按性别分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法比简单随机抽样方法更好 10．(2024·常州模拟)在△ABC中，||＝||＝|－|，P是线段BC上的动点，则(　　) A．2||≥|| B．2||＞|| C．·≥· D．·≥· 11．(2024·盐城中学月考)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥ 12．(2024·临汾期中)一般地，若＝λ，＝－λ(λ＞0，且λ≠1)，则称A，B，P，Q四点构成调和点列．已知椭圆C：＋＝1，过点D(1，1)的直线l与椭圆C交于M，N两点，动点E满足M，N，D，E四点构成调和点列，则下列结论正确的是(　　) A．M，N，D，E四点共线 B．＋＝ C．动点E的轨迹方程为2x＋3y－6＝0 D．|DE|既有最小值又有最大值 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2024·济南模拟)设(x＋＋y＋)10展开式中各项系数和为A，x5y的系数为B，则＝________；B＝________． 14．(2023·华附、省实、广雅、深中四校联考)已知圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)，若过定点P(1，1)有且仅有一条直线被圆C截得弦长为2，则r可以是____________．(只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分．) 15．(2023·潍坊模拟)已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1交抛物线于A，B两点，直线l2交抛物线于C，D两点，且|AB|·|CD|的最小值为64，则抛物线的方程为__________________． 16．(2024·南京三区联考)验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素(防止OCR)，由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能．很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全．某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成．将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”(例如：14532，12543)，已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2024·佛山质检)已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋2－6. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bm为数列{Sn}在区间(am，am＋2)中最大的项，求数列{bn}的前n项和Tn. 18.(12分)(2023·潍坊一模)在①tan Atan C－tan A＝1＋tan C；②(2c－a)cos B＝bcos A；③(a－c)sin A＋csin C＝bsin B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且__________． (1)求角B的大小； (2)已知c＝b＋1，且角A有两解，求b的范围． 19.(12分)(2023·辽阳一模)2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏．记发放的消费券额度为x(百万元)，带动的消费为y(百万元)．某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示． x 3 3 4 5 5 6 6 8 y 10 12 13 18 19 21 24 27 (1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程； (2)(ⅰ)若该省A城市在2024年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用(1)中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？ (ⅱ)当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的．若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因． 参考公式：r＝，＝，＝－. 当|r|＞0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关关系． 参考数据：≈5.9. 20.(12分)(2024·南京六校联考)如图，在四棱锥S ­ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S ­ABCD的体积为. (1)若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD； (2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由． 21.(12分)(2024·福建部分地市质检)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点为F1(－2，0)． (1)求Γ的方程； (2)如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由． 22.(12分)(2023·佛山质检)已知函数f(x)＝ex－3x，其中a≠0. (1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围； (2)若f(x)≥a(1－2sin x)，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校优化重组测试卷(二) 1．C　因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x∈Z|1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，因此A∩B中有三个元素，所以A∩B的子集个数为23＝8.故选C. 2．D　因为复数是纯虚数，所以设＝mi(m∈R且m≠0)，则z＝＝＝，显然当m＝1时，z＝4－3i.故选D. 3．A　有两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17(项)，是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为×17＝1666，即数列{an}的各项之和为1666.故选A. 4．C　由题知矿泉水的体积为91π cm3，将圆台的中轴面拿出，补全为一个三角形如图所示： 加入矿泉水后，记石瓢壶内水深为h，水平面半径为r， 由图可知△ABC∽△AFG， 所以有＝， 即＝，解得AB＝12， 由△ABC∽△ADE，得＝， 即＝，解得h＝18－3r， 故加入矿泉水后圆台的体积为： V＝π(18－3r)(62＋6r＋r2)＝91π， 解得r＝＝5，所以h＝18－3r＝3.0.故选C. 5．C　x＝4＋22.2＝4＋22×20.2＝4(1＋20.2)， z＝23.1＝4×21.1＝8×20.1， ＝＝(＋20.1)＞1，则x＞z. z＝8×20.1＞8， 因为y＝6＋ln 2，ln 2－2＝(ln 2－)＜0， 所以ln 2＜2，y＝6＋ln 2＜8，所以z＞y，综上，x＞z＞y. 故选C. 6．D　由题中图象，得 即由“五点作图法”知点(，0)为第一个零点， 所以解得 所以f(x)＝sin(2x－)． 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．故选D. 7．A　由偶函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝2对称，以2＋x替换x，得f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的周期函数． 函数g(x)＝e－|x－2|(－2＜x＜6)的图象也关于直线x＝2对称，作出函数y＝f(x)的部分图象与函数g(x)＝e－|x－2|(－2＜x＜6)的图象如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x＝2对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为8.故选A. 8．B　因为△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且AO1＝.连接O1与A1B1的中点E，则O1E∥AA1，所以O1E⊥平面ABC，设球的球心为O，由球的截面性质可得O在O1E上，设OO1＝x，DE＝t(0≤t≤)，半径为R，因为OA＝OD＝R，所以＝，所以t2＝8x－14，又0≤t≤，所以≤x≤2，因为R2＝2＋x2，所以≤R2≤6，所以三棱锥D -ABC的外接球表面积的最大值为4πR2＝24π.故选B. 9．CD　零假设为H0：教师对延迟退休的态度与性别无关，因为对样本数据计算得χ2＝4.916＞3.841＝x0.05，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为教师对延迟退休的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.根据实际情况，可得应该采用按比例分配的分层随机抽样方法．故选CD. 10．AB　因为||＝||＝|－|＝||，所以△ABC是等边三角形，取BC的中点O，连接AO，建立如图所示的直角坐标系，并设||＝2，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，P(x，0)(－1≤x≤1)，所以＝(x，－)，＝(－1，－)，＝(1，－)．所以(2||)2－(||)2＝4x2≥0，即2||≥ ||，故A正确；(2||)2－(||)2＝4x2＋8＞0，即2||＞||，故B正确；·－·＝－1＋3－(x＋3)＝－1－x∈[－2，0]，故C不正确；·－·＝－x＋3－(x＋3)＝－2x∈[－2，2]，故D不正确．故选AB. 11．BCD　因为ab≤()2≤(a，b∈R)，所以x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3()2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；x2＋y2－xy＝1可变形为(x－)2＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，则x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，因此x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin(2θ－)∈[，2]，故D正确．故选BCD. 12．ABC　对于A，因为M，N，D，E四点构成调和点列，所以有＝λ，因为有公共点D，所以M，D，N三点共线，且有＝－λ，因为有公共点E，所以M，E，N三点共线，即可得到M，N，D，E四点共线，A正确；对于B，因为＝－λ，所以|ME|＝λ|NE|，＝＋＝＋＝＋＝，即|DE|＝|NE|，所以＝＝＋＝＋，B正确；对于C，设E(m，n)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由＝λ，＝－λ得两式相乘得x－λ2x＝m(1－λ2)，同理可得y－λ2y＝n(1－λ2)，则(＋)－λ2(＋)＝(1－λ2)(＋)，又点M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，所以1－λ2＝(1－λ2)(＋)，λ≠1，所以＋＝1，即2m＋3n－6＝0，故动点E的轨迹方程为2x＋3y－6＝0，C正确；对于D，点D(1，1)到直线2x＋3y－6＝0的距离d＝＝，即为|DE|的最小值，|DE|无最大值，D错误．故选ABC. 13．解析：依题意令x＝y＝1得，A＝410， 所以＝＝210＝1024； 又(x＋＋y＋)10＝(x＋y)10·(1＋)10，所以展开式的通项为T＝Cx10－kykCx－ty－t＝CCx10－k－tyk－t， 令解得所以CCx5y＝5400x5y， 故x5y的系数B＝5400. 答案：1024　5400 14．解析：依题意，该直线过圆心或垂直于PC，圆心到直线距离为d＝0或d＝|PC|＝， r2＝d2＋1，所以r＝1或r＝. 故答案为：1或 答案：1或(写出一个即可) 15．解析：如图，设直线l1的倾斜角为θ，则直线l2的倾斜角为θ＋， 根据抛物线焦点弦的弦长公式可得|AB|＝， |CD|＝＝， 所以|AB|·|CD|＝· ＝＝， 因为0＜sin22θ≤1，所以当θ＝45°时，|AB|·|CD|取得最小值16p2，所以16p2＝64，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x 16．解析：根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4，5，6，7，8，9. 当中间数字是4时，其他4个数字可以是0，1，2，3，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝6(种)； 当中间数字是5时，其他4个数字可以是0，1，2，3，4，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝10×3＝30(种)； 当中间数字是6时，其他4个数字可以是0，1，2，3，4，5，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝15×6＝90(种)； 当中间数字是7时，其他4个数字可以是0，1，2，3，4，5，6，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝21×10＝210(种)； 当中间数字是8时，其他4个数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝28×15＝420(种)． 当中间数字是9时，其他4个数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，选其中两个排在左边(排法唯一)，另外两个排在右边(排法唯一)，所以方法有C×C＝36×21＝756(种)． 所以某人收到“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为＝＝. 答案： 17．解：(1)设{an}的公比为q，则q＞0，又2Sn＝an＋2－6， 当n＝1时，2S1＝a3－6， 当n＝2时，2S2＝a4－6， 两式相减可得，2a2＝a4－a3，所以2＝q2－q， 所以q＝2或q＝－1(舍去)， 所以2S1＝a3－6＝4a1－6，即a1＝3， 所以等比数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1. (2)由an＝3×2n－1，2Sn＝an＋2－6， 可得Sn＝(an＋2－6)＝(3×2n＋1－6)＝3×2n－3， 所以Sn＝an＋1－3＜an＋1，又an＞0， 所以Sn≥an，当且仅当n＝1时等号成立， 所以am≤Sm＜Sm＋1＜am＋2＜Sm＋2， 所以bm＝Sm＋1＝3×2m＋1－3， 所以Tn＝3(22＋23＋24＋…＋2n＋1)－3n ＝3×－3n＝3×2n＋2－12－3n. 即Tn＝3×2n＋2－12－3n. 18．解：(1)若选①：整理得1－tan Atan C＝－(tan A＋tan C)， 因为A＋B＋C＝π， 所以tan B＝－tan(A＋C)＝－＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝； 若选②：因为(2c－a)cos B＝bcos A， 由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A， 所以2sin Ccos B＝sin(A＋B)＝sin C，sin C＞0，所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝； 若选③：由正弦定理整理得a2＋c2－b2＝ac， 所以＝， 即cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝； (2)将c＝b＋1代入正弦定理＝，得＝，所以sin C＝， 因为B＝，角A的解有两个，所以角C的解也有两个， 所以＜sin C＜1， 即＜＜1，又b＞0，所以b＜b＋1＜2b，解得b＞1. 19．解：(1)＝＝5， ＝＝18. (xi－)(yi－)＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69， (xi－)2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20， (yi－)2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252， 代入公式可得相关系数 r＝＝＝ ≈0.97. 由于|r|＞0.75且r非常接近1， 所以y与x具有很强的线性相关关系． 经计算可得＝＝＝3.45， ＝－＝18－3.45×5＝0.75. 所以所求线性回归方程为＝3.45x＋0.75. (2)(ⅰ)当x＝10时， ＝3.45×10＋0.75＝35.25， 所以预计能带动的消费达35.25百万元． (ⅱ)因为＞10%， 所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的． 发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平； A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量．(只要写出一个原因即可)． 20．解：(1)证明：如图，取SC的中点F，连接EF，FD，∵E，F分别为SB，SC的中点， ∴EF∥BC且EF＝BC， ∵底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点， ∴PD∥BC且PD＝BC，∴EF∥PD且EF＝PD， 故四边形PEFD是平行四边形，∴PE∥FD. 又FD⊂平面SCD，PE⊄平面SCD，∴PE∥平面SCD. (2)假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边三角形SAD中，P为AD的中点，连接SP，∴SP⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD， ∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S -ABCD的高． 设AD＝m(m＞0)，则SP＝m，S矩形ABCD＝m， ∴V四棱锥S -ABCD＝S矩形ABCD·SP＝m×m＝， ∴m＝2. 以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)， 故＝(1，0，0)，＝(1，1，0)，＝(－1，0，)． 设＝λ＝(－λ，0，λ)(0≤λ≤1)， 则＝＋＝(1－λ，0，λ)． 设平面PMB的法向量为n1＝(x，y，z)， 则 可取n1＝(λ，－λ，λ－1)． 易知平面SAD的一个法向量为n2＝(0，1，0)， 则|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∵0≤λ≤1，∴λ＝， 故在棱SA上存在点M满足题意， 此时点M位于棱AS上靠近点S的三等分点处． 21．解：(1)由题意设焦距为2c，则c＝2， 由离心率为，所以a＝2， 则b2＝a2－c2＝4， Γ的方程为＋＝1. (2)不存在， 证明如下：假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合， 直线PM的斜率为0，不合题意． 依题意kMN＝－，不妨设为PM：y＝k1x＋2(k1≠0)， PN：y＝k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆F1的半径为r， 则圆心到直线PM的距离为＝r， 即k1，k2是关于k的方程(r2－4)k2＋8k＋r2－4＝0的两异根， 此时k1k2＝1， 再联立直线PM与椭圆方程得(1＋2k)x2＋8k1x＝0， 所以xP＋xM＝，即xM＝，得yM＝， 所以M(，)，同理N(，)， 由k2＝，得N(，)， 由题意，PM⊥MN，即kMN＝－，此时 kMN＝ ＝ ＝＝， 所以＝－， 因为k1≠0， 所以方程无解，命题得证． 22．解：(1)由f(x)有两个零点，得方程＝有两个解， 设r(x)＝，则r′(x)＝， 由r′(x)>0，可得x<1，r(x)单调递增，由r′(x)<0，可得x>1，r(x)单调递减， 所以r(x)的最大值为r(1)＝，当x→＋∞时r(x)→0，当x→－∞时，r(x)→－∞，且r(0)＝0. 所以可得函数r(x)的大致图象， 所以0<<，解得a>， 所以f(x)有两个零点时，a的取值范围是. (2)设g(x)＝f(x)－a(1－2sin x)，即g(x)＝ex－3x－a(1－2sin x)，则g(x)≥0恒成立， 由g(0)＝－a≥0，g＝e－3×≥0，可得0<a≤1， 下面证明当0<a≤1时，ex－3x－a(1－2sin x)≥0(*)，即证ex－x＋2sin x－1≥0， 令b＝，则证b2ex－3bx＋2sin x－1≥0，b∈[1，＋∞)， 令h(b)＝b2ex－3bx＋2sin x－1为开口向上的二次函数，对称轴为b＝， 由(1)可知b＝≤<1，故h(b)在b∈[1，＋∞)上单调递增， 则h(b)≥h(1)＝ex－3x＋2sin x－1， 下面只需证明ex－3x＋2sin x－1≥0即可，即证－1≤0， 令F(x)＝－1， 则F′(x)＝， 令q(x)＝2－3x＋2sin x－2cos x， 则q′(x)＝－3＋2cos x＋2sin x＝2sin－3<0， 所以函数q(x)单调递减，且q(0)＝0， 所以当x<0时，F′(x)>0，当x>0时，F′(x)<0， 所以函数F(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 故F(x)≤F(0)＝0，即－1≤0，从而不等式(*)得证， 综上，a的取值范围是(0，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$