周测卷(19) 随机变量及其分布列-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十九)　随机变量及其分布列 1．A　由题设E(X)＝E(Y)＝5×＝1，即μ＝1，又P(|Y|<1)＝P(－1<Y<1)＝0.3，故P(Y<－1)＝0.5－0.3＝0.2.故选A. 2．A　由题意，D(X)＝4××(1－)＝1＝E(Y)，则μ＝1，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则a－1＋3－2a＝2，解得a＝0.故选A. 3．B　由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，－20，所以X的分布列为：P(X＝50)＝0.6，P(X＝30)＝0.3，P(X＝－20)＝0.1，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)，故选B. 4．B　由题意知a，b，c∈[0，1]，且解得b＝，又由函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，即对于方程x2＋2x＋ξ＝0只有一个根，可得Δ ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.故选B. 5．B　根据题意，ξ的可能取值为1，2，3，对应的概率为：P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝；P(ξ＝3)＝，故分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝＝，D(ξ)＝·＋·＋·＝，所以a＝b＋3c，7c＝a＋b，所以b＝2c，a＝5c，故a∶b∶c＝5∶2∶1.故选B. 6．A　E(ξ1)＝0×＋1×p1＋2×(－p1)＝－p1，E(ξ2)＝0×＋1×p2＋2×(－p2)＝－p2，由于p1<p2，所以E(ξ1)>E(ξ2)．D(ξ1)＝(0－＋p1)2×＋(1－＋p1)2×p1＋(2－＋p1)2×(－p1)＝(p1－)2×＋(p1－)2×p1＋(＋p1)2×(－p1)＝－p－p1＋，同理可得D(ξ2)＝－p－p2＋.D(ξ1)－D(ξ2)＝p－p＋(p2－p1)＝(p2－p1)(p2＋p1＋)>0，所以D(ξ1)>D(ξ2)．故选A. 7．D　记Y表示2台设备使用期间需更换的零件数，则Y的可能取值为12，13，14，15，16，P(Y＝12)＝0.42＝0.16，P(Y＝13)＝2×0.4×0.5＝0.4，P(Y＝14)＝0.52＋2×0.4×0.1＝0.33，P(Y＝15)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(Y＝16)＝0.12＝0.01.若购买2台设备的同时购买易损零件13个，在使用期间，记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元，则Z的可能取值为0，280，560，840，P(Z＝0)＝P(Y≤13)＝0.16＋0.4＝0.56，P(Z＝280)＝P(Y＝14)＝0.33，P(Z＝560)＝P(Y＝15)＝0.1，P(Z＝840)＝P(Y＝16)＝0.01.E(Z)＝280×0.33＋560×0.1＋840×0.01＝156.8.故选D. 8．B　因为X～N(0.95，0.012)，得出μ＝0.95，μ＋σ＝0.96，所以P(X≤0.95)＝P(X≤μ)＝0.5，P(0.95<X≤0.96)＝P(μ<X≤μ＋σ)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝×0.6826＝0.3413；P(X>0.96)＝[1－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝×(1－0.6826)＝0.1587，所以E(X)＝0＋100×0.3413＋200×0.1587＝65.87(元)．故选B. 9．ABC　选项A，由已知可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，即15a＝1，故该选项正确；选项B，P(0.4<ξ<0.8)＝ P(ξ＝0.6)＝3a＝＝0.2，故该选项正确；选项C，P(0.1<ξ<0.6)＝P(ξ＝0.2)＋P(ξ＝0.4)＝P(ξ＝)＋P(ξ＝)＝＋＝0.2，故该选项正确；选项D，P(ξ＝1)＝×5＝≠0.3，故该选项错误．故选ABC. 10．BC　由题图及密度函数解析式，可得σ＝3，μ＝0，从中随机取一件，其长度误差落在(3，6)内的概率为P(3 <X<6)＝[P(μ－2σ<X<μ＋2σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.从中随机取一件，其长度误差落在(3，9)内的概率为P(3<X<9)＝[P(μ－3σ<X<μ＋3σ)－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝(0.9974－0.6826＝0.1574.故选BC. 11．ABC　因为随机变量X～N(0，12)，所以μ1＝0，σ1＝1，因为随机变量Y～N(1，22)，所以μ2＝1，σ2＝2，所以利用正态密度曲线的对称性可得P(X≤－1)＝P(X≥1)，P(Y≤－1)＝P(Y≥3)，故选项A，B正确；因为P(1≤X≤3)＝P(μ1＋σ1≤X≤μ1＋3σ1)≈＝0.1573，P(1≤Y≤3)＝P(μ2≤Y≤μ2＋σ2)≈＝0.341 35，所以P(1≤X≤3)<P(1≤Y≤3)，故选项C正确；因为P(|X|≥2)＝1－P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)≈1－0.9545＝0.0455，P(|Y|≥3) ＝1－ ≈1－＝0.1814，所以P(|X|≥2)<P(|Y|≥3)，故选项D错误．故选ABC. 12．BD　根据题意，X的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，所以X的概率分布列为： X 0 1 2 P 所以E(X)＝＝＝，D(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝，所以B、D选项正确，A、C选项错误．故选BD. 13．解析：因为X～B(12，0.25)，所以E(X)＝12×0.25＝3，D(X)＝12×0.25×(1－0.25)＝，又E(aX－3)＝aE(X)－3＝3，即3a－3＝3，解得a＝2，所以D(aX－3)＝D(2X－3)＝22D(X)＝4×＝9. 答案：9 14．解析：Y的可能取值为6，7，8，P(Y＝6)＝＝＝，P(Y＝7)＝＝＝，P(Y＝8)＝＝＝，所以得分Y的均值E(Y)＝6×＋7×＋8×＝. 答案： 15．解析：由已知，概率密度函数图象关于x＝0对称，∵P(|X|≤)＝，∴P(0≤X≤)＝，又P(1≤X≤)＝，∴P(0≤X≤1)＝，P(－1≤X≤0)＝，∴P(X≤－1)＝－P(－1≤X≤0)＝－＝. 答案： 16．解析：由题意得，E(X)＝p＋2(1－p－p2－p3)＋3p3＋4p2＝p3＋2p2－p＋2，令y＝p3＋2p2－p＋2(0<p<1)，则y′＝3p2＋4p－1，令y′<0⇒0<p<，令y′>0⇒<p<1，所以函数y＝p3＋2p2－p＋2在(0，)上单调递减，在(，1)上单调递增，所以函数在p＝处取得最小值，即当p＝时E(X)取得最小值． 答案： 17．解：(1)由题知X＝1，2，3，4， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， X的分布列为 X 1 2 3 4 P (2)由(1)知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 设方案二的称量次数为随机变量为Y，则Y＝1，3， P(Y＝1)＝＝，P(Y＝3)＝1－＝， E(Y)＝1×＋3×＝>E(X)． 所以小明应选择方案一可使称量次数的期望较小． 18．解：(1)设甲同学在A处投中为事件A，在B处第i次投中为事件Bi(i＝1，2)，由已知P(A)＝，P(Bi)＝，X的取值为0，2，3，4. 则P(X＝0)＝P( 12)＝P()P(1)P(2)＝××＝， P(X＝2)＝P(B12)＋P( 1B2) ＝××＋××＝， P(X＝3)＝P(A)＝， P(X＝4)＝P(B1B2)＝××＝， 所以X的分布列为： X 0 2 3 4 P 所以X的数学期望为 E(X)＝0×＋2×＋3×＋4×＝＝. (2)设甲同学选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2， 则由(1)有P1＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＝0.73， 又P2＝P(B1B2)＋P(1B2B3)＋P(B12B3)＝×＋××＋××＝＝0.896. 所以P2>P1，所以甲同学选择方案2通过测试的可能性更大． 19．解：(1)f(p)＝Cp3(1－p)2＝10p3(1－p)2，则f′(p)＝10p2(1－p)(3－5p)． 当0<p<时，f′(p)>0，f(p)在区间(0，)内单调递增； 当<p<1时，f′(p)<0，f(p)在区间(，1)内单调递减． 故f(p)在p0＝处取得最大值，最大值为f()＝. (2)设“领航队”的每个成员积分成绩为Y，则X＝5Y， 所以“领航队”积分成绩X的数学期望E(X)＝5E(Y)． 每个成员积分成绩Y的所有可能取值为－1，1，5，9， 记第i道题目答对为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(Y＝－1)＝P(1)＝， P(Y＝1)＝P(A123)＝×()2＝， P(Y＝5)＝P(A12A3)＋P(A1A23) ＝2×()2×＝， P(Y＝9)＝P(A1A2A3)＝()3＝. 则Y的分布列为 Y －1 1 5 9 P 则E(Y)＝－1×＋1×＋5×＋9×＝， 故E(X)＝5E(Y)＝. 20．解：(1)记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A， 则P(A)＝＝＝. (2)如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球， 则得分ξ的所有可能取值为6，7，8，9，10，11， P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝7)＝＝， P(ξ＝8)＝＝，P(ξ＝9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝，P(ξ＝11)＝＝， 所以ξ的分布列为 P 6 7 8 9 10 11 ξ 所以E(ξ)＝6×＋7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝. (3)由(1)可知，若先摸出绿球， 则摸球人获胜的概率P1＝， 由(2)可知，若先摸出红球， 则摸球人获胜的概率P2＝＋＋＋＝， 若先摸出黄球， 则摸球人获胜的概率P3＝＝， 若先摸出白球， 则摸球人获胜的概率P4＝＝， 则摸球人获胜的概率P＝×＋×＋×＋×＝. 答案一：因为摸球人获胜的概率P＝>，所以比赛不公平． 答案二：如果指定由某人先摸球，则比赛不公平． 答案三：如果先摸球的人是在甲、乙两人中随机等可能的产生，则这样的比赛是公平的． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十九)　随机变量及其分布列 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知两个随机变量X，Y，其中X～B(5，)，Y～N(μ，σ2)(σ>0)，若E(X)＝E(Y)，且P(|Y|<1)＝0.3，则P(Y<－1)＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.1 2．已知随机变量X，Y，X～B(4，)，Y～N(μ，σ2)，且D(X)＝E(Y)，又P(Y≤a－1)＋P(Y≤3－2a)＝1，则实数a＝(　　) A．0 B． C． D． 3．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 4．已知随机变量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　) A． B． C． D． 5．根据国家关于加强禁毒教育要求，某中学举办了“禁毒知识竞赛”，采用抽题问答形式．设抽题盒中a道简单题，b道中等题，c道难题，且规定：抽中简单题并回答正确得1分，抽中中等题并回答正确得2分，抽中难题并回答正确得3分．现在从盒子中取出1道题并回答正确，记所得分为ξ.若E (ξ)＝，D(ξ)＝，则a∶b∶c＝(　　) A．4∶1∶1 B．5∶2∶1 C．6∶3∶1 D．6∶3∶2 6．已知随机变量ξi(i＝1，2)的分布列如下表所示： ξi 0 1 2 P pi －pi 若0<p1<<p2<，则(　　) A．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) 7．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个120元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件时，价格为每个280元．在使用期间，每台设备需更换的零件个数X的分布列为 X 6 7 8 P 0.4 0.5 0.1 若购买2台设备的同时购买易损零件13个，则在使用期间，这2台设备另需购买易损零件所需费用的期望为(　　) A．1716.8元 B．206.5元 C．168.6元 D．156.8元 8．某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为(　　) 附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974. A．52.28元 B．65.87元 C．50.13元 D．131.74元 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　) A．15a＝1 B．P(0.4<ξ<0.8)＝0.2 C．P(0.1<ξ<0.6)＝0.2 D．P(ξ＝1)＝0.3 10.已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数φμ，σ(x)＝e－的曲线如图所示，则下列结论正确的是(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974.) A．σ＝2 B．σ＝3 C．从中随机取一件，其长度误差落在(3，6)内的概率为0.1359 D．从中随机取一件，其长度误差落在(3，9)内的概率为0.1599 11．已知随机变量X～N(0，12)，随机变量Y～N(1，22)，则下列结论正确的是(　　) A．P(X≤－1)＝P(X≥1) B．P(Y≤－1)＝P(Y≥3) C．P(1≤X≤3)<P(1≤Y≤3) D．P(|X|≥2)>P(|Y|≥3) 12.2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示： 若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校数，则(　　) A．X的可能取值为0，1，2，3 B．P(X＝0)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知随机变量X服从二项分布B(12，0.25)，且E(aX－3)＝3(a∈R)，则D(aX－3)＝________． 14．一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球，记抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值E(Y)＝________． 15．柯西分布(Cauchydistribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝.已知X～C(1，0)，P(|X|≤)＝，P(1≤X≤)＝，则P(X≤－1)＝________． 16．已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P p 1－p－p2－p3 p3 p2 其中p∈(0，1)，随机变量X的期望为E(X)，则当E(X)取得最小值时，p＝________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)有9个外观相同的同规格砝码，其中1个由于生产瑕疵导致质量略有减少，小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案： 方案一：每次从待称量的砝码中随机选2个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则选出的2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在上升一侧．按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止． 方案二：从待称量的砝码中随机选8个，按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上，若天平平衡，则未被选出的那个砝码是有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在上升一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上，……，直到找出有瑕疵的砝码为止． (1)记方案一的称量次数为随机变量X，求X的概率分布； (2)上述两种方案中，小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小？并说明理由． 18．(10分)某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现有两种投篮方案：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投；方案2：都在B处投篮．已知甲同学在A处投篮的命中率为，在B处投篮的命中率为. (1)若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X的分布列和数学期望E(X)； (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由． 19.(10分)某校组织校园科技文化节活动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3分，答错扣1分；若第一道题答错，则不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，则后2道题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三(1)班的“领航队”的每位选手答对每道题的概率均为p(0<p<1)，且每人答每道题都是相互独立的． (1)若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为f(p)，求f(p)的最大值和最大值点p0的值； (2)以(1)中确定的p0作为p的值，求“领航队”积分成绩X的数学期望． 20．(10分)某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下： ①一个人摸球，另一人不摸球； ②摸出的球不放回； ③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球，若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和； (1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率． (2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙的得分ξ的期望E(ξ)； (3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$