周测卷(17) 圆锥曲线的综合应用-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十七)　圆锥曲线的综合应用 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，点M为直线y＝x上在第一象限内的一点，且AM的垂直平分线经过坐标原点O，|AM|＝a，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 2．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到抛物线的准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，若点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 3．已知F为椭圆C：＋y2＝1的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为线段AB的中点，O为坐标原点．若△OPF是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为(　　) A．± B．± C．±2 D．±2 4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合．斜率为k(k>0)的直线l经过点F，且与C的交点为A，B.若|AF|＝3|BF|，则直线l的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．4x－4y－3＝0 C．3x－y－9＝0 D．x－3y－3＝0 5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：y＝kx(k≠0)交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上(与点A，B不重合)．若直线AD，BD的斜率分别为k1，k2，则|k1－4k2|的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 6.如图，有一块圆锥体形状的蛋糕，一只蚂蚁要从点H出发经过PB的中点M到H′，若蚂蚁经过的路线为一条抛物线，|PO|＝2，底面圆O的面积为16π，HH′为底面圆O的一条直径，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A． B． C． D． 7．已知A，B是抛物线y2＝－6x上的两点，且|AB|＝11，则线段AB的中点到y轴的距离的最小值为(　　) A． B．4 C． D．5 8.家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　) 图①　　　 　　　图② A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为抛物线C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于B，D两点，若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为16，则(　　) A．点D，F，A三点共线 B．△ABF是等边三角形 C．|BF|＝4 D．抛物线C的方程为y2＝8x 10．已知双曲线C：－＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，则下列结论正确的是(　　) A．若A，B两点都在双曲线的右支上，则直线l的斜率大于 B．若点A在双曲线的右支上，则|FA|的最小值为2 C．|AB|的最小值为 D．满足|AB|＝11的直线l有4条 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且其右顶点为A(2，0)，左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－＝1 B．点A到双曲线C的渐近线的距离为 C．若|PF1|＝6，则|PF2|＝2 D．若·＝0，则△PF1A的外接圆半径为 12.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，设C2方程为＋＝1(a>b>0)，则下列说法正确的是(　　) A．a2＋b2＝4 B．△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1，0) C．若|F1F2|＝|AF1|，则C2的离心率为 D．若AF1⊥AF2，则C2的方程为＋＝1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线l：y＝－x＋a与C的右支分别交于点A，B两点，与y轴交于点M，若＝－2，C的渐近线方程为________． 14．已知椭圆Γ：＋＝1，B，D是椭圆上关于原点对称的两点，设以BD为对角线的椭圆内接平行四边形ABCD的一组邻边AB，BC斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________． 15．如图1所示，抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于其焦点上的照射器(馈源，通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为θ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线的焦径比等于0.5，那么馈源方向角θ的正切值为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　图2 16．(2024·益阳质检)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线C：x2＝4y交A，B两点，P为抛物线C的准线上一点，且PA⊥PB ，过P且垂直x轴的直线交抛物线C于点M，交直线l于点N，若|AB|＝8，|MN|＝________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的焦点，点A(0，－2)，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点A的直线l与C交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 18.(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，原点到直线＋＝1的距离等于，点Q的坐标为(0，3)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C上总存在两个点A，B关于直线y＝x＋m对称，且3·<28，求实数m的取值范围． 19．(10分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线C右支上一动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l是曲线C在点P(x0，y0)处的切线，且l分别交两条渐近线l1，l2于M，N两点，O为坐标原点，证明：△MON面积为定值，并求出该定值． 20．(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A(1，)和点B(2，0)． (1)求椭圆C的标准方程和离心率； (2)斜率为的直线与椭圆C交于M，N两点(M，N不与A重合)，直线AM，AN与x轴分别交于P，Q两点，求证：|AP|＝|AQ|. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十七)　圆锥曲线的综合应用 1．C　如图，设AM的中点为P，连接OP，则OP⊥AM，在Rt△OPA中，|PA|＝|MA|＝a，|OA|＝a，则|OP|＝ ＝＝a，∴tan∠POA＝＝，可得＝tan∠MOA＝＝＝，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选C. 2．C　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)．因为点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，所以|PM|＝d－.连接PF，AF，因为|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥，当且仅当A，P，F三点共线且点P在线段AF上时取等号．故选C. 3．A　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)·(y1＋y2)＝0，∴kOP·kAB＝－.∵△FPO是以OF为底边的等腰三角形，∴kOP＝－kAB，∴kAB＝±.故选A. 4．A　椭圆＋＝1，c＝＝3，∴F(3，0)，＝3，2p＝12，∴抛物线C：y2＝12x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－3)(k>0)．联立消去y，化简整理得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，则x1＋x2＝＋6，x1x2＝9.∵|AF|＝3|BF|，∴x1＋3＝3(x2＋3)，∴x1－3x2＝6，∵x1＋x2＝＋6，∴x1＝6＋，x2＝，又x1x2＝9，∴k2＝3，∵k>0，∴k＝.因此直线l的方程是x－y－3＝0.故选A. 5．B　设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得＋＝0.∴＝－，即k1k2＝－＝－＝e2－1＝－.∴|k1－4k2|＝|k1＋|＝|k1|＋≥2 ＝2.当且仅当k1＝±1时取“＝”．故选B. 6．A　如图，连接OB，建立以MO为y轴，以过点M，且平行HH′的直线为x轴的直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝2py，底面圆O的面积为16π，所以|OB|＝4，又|OP|＝2， ∴在△POB中，|PB|＝＝2. 又M为PB中点，故|OM|＝， ∴H(－4，)，即16＝2p×，∴p＝，故选A. 7．B　由抛物线方程知其焦点为F(－，0)，准线为l：x＝.分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，AC与BD分别交y轴于M，N，则|AM|＝|AC|－＝|AF|－，|BN|＝|BD|－＝|BF|－.设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，垂足为G，∴|EG|＝(|AM|＋|BN|)＝(|BD|－＋|AC|－)＝(|AF|＋|BF|－3)≥(|AB|－3)＝4(当且仅当A，B，F三点共线时，等号成立)，∴线段AB的中点到y轴的距离的最小值为4，故选B. 8．C　设外层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则内层椭圆方程为＋＝λ(0<λ<1)，设过点A的切线方程为y＝k1(x＋a)，k1<0，与＋＝λ(0<λ<1)联立得(b2＋a2k)x2＋2a3kx＋a4k－λa2b2＝0，由Δ1＝4a6k－4(b2＋a2k)(a4k－λa2b2)＝0得k＝，设过点B的切线方程为y＝k2x＋b，与＋＝λ(0<λ<1)联立得(b2＋a2k)x2＋2a2k2bx＋(1－λ)a2b2＝0，由Δ2＝4a4kb2－4(b2＋a2k)(1－λ)a2b2＝0得k＝，从而kk＝·＝＝，故＝，椭圆的离心率为 ＝.故选C. 9．ABD　连接FD，AD(图略)，因为以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|＝|FD|.因为∠ABD＝90°，所以|AB|＝|FA|，AD为圆的直径，所以A，F，D三点共线，故A正确；因为|FA|＝|AB|＝|FB|，所以△ABF为等边三角形，故B正确；由|BF|2＝16，可得|BF|＝8，故C不正确；因为△ABF的面积为16，所以×2p×p＝16，可得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，故D正确．故选ABD. 10．BD　由题可知，a＝3，b＝4，所以c＝5，渐近线方程为y＝±x.若A，B两点都在双曲线的右支上，且直线AB垂直于x轴，则直线AB的斜率不存在，故A错误；若点A在双曲线的右支上，则|FA|min＝c－a＝2，故B正确；当直线AB为实轴时，|AB|＝6，故C错误；若A，B两点都在双曲线的右支上，由|AB|＝11，可得满足条件的直线有2条，若A，B在双曲线的两支上，由|AB|＝11，可得满足条件的直线有2条，则满足|AB|＝11的直线有4条，故D正确．故选BD. 11．ABD　由双曲线C的离心率为，右顶点为A(2，0)可得a＝2，c＝3，∴b＝，故双曲线C的方程为－＝1，A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故点A到双曲线C的渐近线的距离为＝，B正确；由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝4，又|PF1|＝6，则|PF2|＝2或10，C错误；若·＝0，则⊥，△PF1A的外接圆半径为＝，D正确．故选ABD. 12．BCD　由双曲线的方程，可知|F1F2|＝4，所以a2－b2＝4，故A不正确；由双曲线的定义，可知|AF1|－|AF2|＝2，设切点为B，由内切圆的性质，可得|AF1|－|AF2|＝|F1B|－|BF2|＝2，又|F1F2|＝|F1B|＋|BF2|＝4，所以|F1B|＝3，故△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1，0)，故B正确；因为|F1F2|＝|AF1|，|AF1|－|AF2|＝2，所以|AF2|＝2，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，即a＝3，所以C2的离心率为，故C正确；因为AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝16，又|AF1|－|AF2|＝2，所以(|AF1|－|AF2|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|＝4，即2|AF1|·|AF2|＝12，所以(|AF1|＋|AF2|)2＝|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1|·|AF2|＝28，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，所以a＝，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝3，椭圆C2的方程为＋＝1.故D正确．故选BCD. 13．解析：如图，作BD⊥x轴，垂足为D.直线y＝－(x－a)过点A(a，0)，即过C的右顶点，直线l的倾斜角为，则∠MAO＝∠BAD＝，在Rt△AOM中，|OA|＝a，则|AM|＝2a，|OM|＝a，又|AB|＝2|AM|，△MAO ∽△BAD，所以|AD|＝2a，|BD|＝2a，则B(3a，－2a)，所以－＝1，解得()2＝，则C的渐近线方程为y＝±x. 答案：y＝±x 14．解析：因为B，D是椭圆Γ：＋＝1上关于原点对称的两点，不妨设B(x1，y1)，则D(－x1，－y1)，且＋＝1，又平行四过形ABCD是椭圆Γ：＋＝1的内接平行四边形，则点A，C关于原点对称，不妨设A(x2，y2)，则C(－x2，－y2)，且＋＝1，直线BA，BC斜率分别为：k1＝，k2＝，因此k1k2＝，而＋＝1＝＋，即＝－，所以k1k2＝－. 答案：－ 15．解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则f＝，又＝0.5，所以d＝p，所以A(，)，B(，－)，直线BF的斜率k＝＝，所以tan ＝，所以tan θ＝＝－. 答案：－ 16．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，－1)，由得x2－4kx－4＝0，∴Δ>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，y1y2＝·＝1，|AB|＝y1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4.∵|AB|＝8，∴4k2＋4＝8，∴k＝±1，不妨取k＝1，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，y1＋y2＝6，y1y2＝1.＝(x1－x0，y1＋1)，＝(x2－x0，y2＋1)，∵PA⊥PB，∴·＝0，即(x1－x0)(x2－x0)＋(y1＋1)(y2＋1)＝0，即x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋(y1＋y2)＋y1y2＋1＝0，即－4－4x0＋x＋6＋1＋1＝0，即x－4x0＋4＝0，故x0＝2.将x＝2代入直线l的方程y＝x＋1得yN＝3.将x＝2代入抛物线的方程x2＝4y得yM＝1，故|MN|＝yN－yM＝2.根据抛物线的对称性可知，当k＝－1时，|MN|＝2.综上，|MN|＝2. 答案：2 17．解：(1)设F(c，0)，由题意kAF＝＝，∴c＝，又离心率＝，∴a＝2，∴b＝＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，方程可设为y＝kx－2，联立直线与椭圆方程化简得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，由Δ＝16(4k2－3)>0，∴k2>，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴|PQ|＝|x1－x2|＝·，坐标原点O到直线l的距离为d＝，S△OPQ＝··＝， 令t＝(t>0)，则S△OPQ＝＝， ∵t＋≥4，当且仅当t＝，即t＝2时等号成立， ∴S△OPQ≤1， 故当t＝2，即＝2，k2＝>，∴k＝±时，△OPQ的面积最大， 此时直线l的方程为y＝±x－2. 18．解：(1)由于e2＝＝1－＝()2，则a2＝2b2.① 又点(0，0)到直线＋＝1(即bx＋ay－ab＝0)的距离为. 所以＝.② 联立①②得a2＝4，b2＝2. 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)根据题意可设直线AB的方程为y＝－x＋n. 由消去y，得3x2－4nx＋2(n2－2)＝0， 由Δ＝(－4n)2－4×3×2(n2－2)>0，得n2<6. 设A(x1，－x1＋n)，B(x2，－x2＋n)， 则x1＋x2＝，x1x2＝. 设AB的中点为M(x0，－x0＋n)， 则x0＝＝，－x0＋n＝. 由于点A，B关于直线y＝x＋m对称， 则AB的中点M在直线y＝x＋m上， 所以＝＋m，得n＝－3m，代入n2<6， 得9m2<6，所以－<m<.① 因为＝(x1，－x1＋n－3)，＝(x2，－x2＋n－3)，·＝2x1x2－(n－3)(x1＋x2)＋(n－3)2＝－＋(n－3)2＝. 由3·<28，得3n2－6n＋19<28，解得－1<n<3， 所以－1<－3m<3，即－1<m<.② 由①②得－<m<， 故实数m的取值范围为(－，)． 19．解：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0， 由动点P(x0，y0)到两条渐近线l1，l2的距离之积为·＝＝， 则＝，又2c＝2，即c2＝a2＋b2＝5， 解得a＝2，b＝1，则双曲线的方程为－y2＝1. (2)证明：当直线l的斜率不存在时， 可设直线l的方程为x＝2，可得M(2，－1)，N(2，1)， 则△OMN的面积为×2×2＝2； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋m， 与双曲线的方程x2－4y2＝4联立，可得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 直线与双曲线的右支相切，可得Δ＝(8km)2－4(4k2－1)·(4m2＋4)＝0，可得4k2＝m2＋1， 设直线l与x轴交于D，则D(－，0)， S△M ON＝S△M OD＋S△NOD＝|OD||yM－yN| ＝·|k|·|xM－xN|， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 联立可得M(，)， 同理可得N(－，)， 则S△MON＝·|k|· ＝·|k|·＝＝2. 即△MON面积为定值2. 20．解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A(1，)和点B(2，0)，所以可得a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋＝1，离心率e＝＝. (2)证明：设斜率为的直线为y＝x＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2), 联立得4x2＋4mx＋4m2－12＝0， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－3， 所以直线AM的方程为y－＝(x－1)， 即y－＝(x－1)， 令y＝0可得x＝，所以P(，0)， 同理可得Q(，0)． 所以PQ的中点G的横坐标＋＝ ＝ ＝ ＝＝1， 因为A(1，)，所以AG即为线段PQ的垂直平分线，所以|AP|＝|AQ|. 学科网（北京）股份有限公司 $$