周测卷(16) 椭圆、双曲线、抛物线-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十六)　椭圆、双曲线、抛物线 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F.若直线x＝4与C交于A，B两点，且|AB|＝8，则|AF|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．若双曲线C：－＝1(a>0)的一条渐近线与直线l：3x＋2y－2＝0相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为(　　) A．2 B．6 C．2 D．8 3.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－＝1 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若＝3，则点P到准线l的距离为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点．直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－，则椭圆C的长轴长为(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 7．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)．若圆A：(x＋a)2＋y2＝a2与直线bx－ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且|OE|＝|OF|，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D．3 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，M，N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存在一点H，使得kMH·kNH∈(－，0)，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A．(，1) B．(0，) C．(，1) D．(0，) 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．(2023·邯郸模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，则(　　) A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的一条渐近线方程为y＝x C．|PF1|－|PF2|＝2 D．双曲线C的焦距为4 10．已知方程＋＝1表示曲线C，则(　　) A．当1<t<4时，曲线C一定是椭圆 B．当t>4或t<1时，曲线C一定是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t>4 11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是(　　) A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2 B．x1·x2＝ C．y1·y2＝－4 D．∠A1FB1＝ 12．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为A，C，直线x＝t(－4<t<4)与该椭圆相交于点B，D，则(　　) A．当t＝0时，△ABD的面积为12 B．不存在t，使△ABC为直角三角形 C．存在t，使四边形ABCD的面积最大 D．存在t，使△ABD的周长最大 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________． 14．已知双曲线C：－y2＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为________． 15．已知抛物线C：y2＝8x及圆M：(x－2)2＋y2＝1，过(2，0)的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|＋4|BQ|的最小值为________． 16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)满足a＝b，长轴AB上2022个等分点从左至右依次为点M1，M2，…，M2022，过点M1作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P1，P2两点，P1点在x轴上方；过M2点作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P3，P4两点，P3点在x轴上方；以此类推，过M2022点作斜率为k(k≠0)的直线，交椭圆于P4043，P4044两点，P4043点在x轴上方；则4044条直线AP1，AP2，…，AP4044的斜率乘积为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且F2也为抛物线y2＝8x的焦点，若点P(0，2b)，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点． (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝x－1与双曲线C相交于A，B两点，求|AB|. 18．(10分)已知A，B分别为椭圆Γ：＋y2＝1(a>1)的上、下顶点，F是椭圆Γ的右焦点，C是椭圆Γ上异于A，B的点，点D在坐标平面内． (1)若∠AFB＝，求椭圆Γ的标准方程； (2)若a＝2，且CA⊥AD，CB⊥BD，求四边形CADB的面积S的最大值． 19.(10分)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点到左焦点的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，已知点P(，0)，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，E，F两点都在x轴上方，且∠APE＝∠OPF.证明直线l过定点，并求出该定点坐标． 20．(10分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设线段AB的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十六)　椭圆、双曲线、抛物线 1．C　将x＝4代入y2＝2px，解得|y|＝2，则A(4，2)，B (4，－2)，所以|AB|＝4＝8，解得p＝2，则|AF|＝＋4＝5.故选C. 2．C　双曲线C：－＝1的一条渐近线方程为2x－ay＝0，由两直线垂直得，2×3－2a＝0⇒a＝3，∴c2＝a2＋b2＝13，∴双曲线的焦点坐标为F1(，0)，F2(－，0)，虚轴一个顶点坐标为B(0，2)，∴S△F1BF2＝×|F1F2|×|OB|＝×2×2＝2，故选C. 3．D　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得a＝2，b＝，故该双曲线的标准方程是－＝1.故选D. 4.C　由抛物线C：y2＝4x，可知F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，过点P作y轴的垂线，垂足为N，因为OF∥PN，所以＝＝，所以|PN|＝4|FO|＝4，所以点P到准线l的距离为4＋1＝5.故选C. 5．B　如图，记抛物线的准线与x轴交于点D，由题知， ＝2，解得＝，所以∠AOD＝，因为OD＝，所以AD＝OD·tan ＝，所以S△AOB＝×＝，解得p＝2.故选B. 6．B　椭圆的面积S＝πab＝6π，即ab＝6，①.因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(0，b)．因为直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，不妨设A(m，n)，则B(－m，－n)且＋＝1，所以m2＝a2－.因为PA，PB的斜率之积为－，所以·＝－，把m2＝a2－代入整理化简得＝，②.①②联立解得a＝3，b＝2.所以椭圆C的长轴长为2a＝6.故选B. 7．B　如图所示，设点E(m，n)，则bm－an＝0，∴n＝m.∵|OE|＝|OF|＝c，|OE|2＝m2＋n2＝m2＋＝＝，∴＝c2， ∴m2＝a2.由于点E在第三象限，∴m＝－a，n＝－b， ∴E(－a，－b)，将E(－a，－b)的坐标代入圆A：(x＋a)2＋y2＝a2中，得b2＝a2，则e＝.故选B. 8．A　由题意，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，可得M(－a，0)，N(a，0)，设H(x0，y0)，代入椭圆的方程，可得y＝(a2－x)，则kMH· kNH＝·＝＝＝－∈(－，0)，即＝e2－1∈(－，0)，即e2∈(，1)．又0<e<1，所以e∈(，1)．故选A. 9．ABD　由双曲线方程知b＝，则离心率为＝＝2，可得a＝1，故双曲线C: x2－＝1，其实轴长为2a＝2，A正确；双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，B正确；因为P为C上一点，所以||PF1|－|PF2||＝2，C错误；双曲线C的焦距为2c＝2＝4，D正确，故选ABD. 10．BD　对于A，当t＝时，曲线C是圆，故A错误；对于B，当t>4时，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，当t<1时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1<t<，故C错误；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得t>4，故D正确．故选BD. 11.CD　抛物线C的焦点F(1，0)，准线方程x＝－1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，由得y2－4my－4＝0，则y1，y2是此方程的两个不相等的实数根，对于A，当直线l⊥x轴时，m＝0，y1＝2，y2＝－2，则|AB|＝4，故A错误；对于B，C，y1·y2＝－4，则x1·x2＝·＝＝1，故B错误，C正确；对于D，如图，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝∠AFO，同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO，∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝(∠AFO＋∠BFO)＝，故D正确．故选CD. 12．AC　由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝＝4.根据题意作出图形，如图所示． 对于A，当t＝0时，S△ABD＝×2b×c＝×6×4＝12，A正确；对于B，∵b<c，∴以AC为直径的圆与椭圆必有交点，则存在t，当B，D为以AC为直径的圆与椭圆的交点时，△ABC为直角三角形，B错误；对于C，∵当t＝0时，S△ABC取得最大值，其最大值为×2c×b＝12，∴四边形ABCD面积的最大值为2(S△ABD)max＝2×12＝24，C正确；对于D，由椭圆的定义得：|AB|＋|AD|＋|BD|＝(2a－|BC|)＋(2a－|CD|)＋|BD|＝4a＋|BD|－|BC|－|CD|，又|BC|＋|CD|≥|BD|，∴|BD|－|CD|－|CB|≤0(当BD过点C时，等号成立)，∴|AB|＋|AD|＋|BD|＝4a＋|BD|－|BC|－|CD|≤4a，即当直线x＝t过椭圆的右焦点时，△ABD的周长最大，此时t＝4，但－4<t<4，∴不存在t使得△ABD的周长最大，D错误．故选AC. 13．解析：因为＋＝1表示椭圆，所以m＞－2且m≠13，又椭圆＋＝1的焦距为4，所以2c＝4，即c＝2，当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝15，b2＝2＋m，所以15＝2＋m＋22，即m＝9；当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝2＋m，b2＝15，所以2＋m＝15＋22，即m＝17. 答案：9或17 14．解析：因为双曲线C：－y2＝1，可知右焦点为F(，0)，又|PO|＝|PF|，所以点P在线段OF的中垂线上，所以点P的横坐标为，又双曲线C：－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以点P的纵坐标为±，即△OPF的高为，所以△OPF的面积为××＝. 答案： 15．解析：如图所示，圆心M(2，0)即为抛物线C的焦点F.所以|AP|＋4|BQ|＝(|AF|－1)＋4(|BF|－1)＝|AF|＋4|BF|－5，由抛物线的定义，|AF|＝xA＋＝xA＋2，|BF|＝xB＋＝xB＋2，所以|AP|＋4|BQ|＝(xA＋2)＋4(xB＋2)－5＝xA＋4xB＋5，又易知：xAxB＝＝4， 所以xA＋4xB＋5≥2＋5＝13，当且仅当xA＝4xB，即时等号成立．所以|AP|＋4|BQ|的最小值为13. 答案：13 16．解析：由椭圆的对称性可知：kAP1·kAP4044＝kAP1·kBP1＝·＝＝－＝－，同理可得：kAP2·kAP4043＝kAP3·kAP4042＝…＝kAP2022·kAP2023＝－＝－，所以4044条直线AP1，AP2，…，AP4044的斜率乘积为(－)2022＝. 答案： 17．解：(1)抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，所以c＝2，即F1(－2，0)，F2(2，0)，又点P(0，2b)，F1，F2是等腰直角三角形的三个顶点，所以2b＝2，即b＝1，又c2＝a2＋b2，所以a2＝3，所以双曲线方程为－y2＝1. (2)依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2＋3x－6＝0， Δ＝32－4×()×(－6)＝15>0，所以x1＋x2＝－12，x1x2＝－24， 所以|AB|＝·＝·＝10. 18．解：(1)由已知△AFB是等边三角形，因为|AB|＝2，|AF|＝a，所以a＝2，得椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，因为CA⊥AD，CB⊥BD，所以·＝0，·＝0，则A(0，1)，B(0，－1)，所以＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)，＝(－x1，－1－y1)，＝(x2，y2＋1)，所以x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，x1x2＋(y1＋1)·(y2＋1)＝0，两式相减得y2＝－y1， 代回原式得x1x2＋1－y＝0，因为＋y＝1，所以x2＝－， S四边形CADB＝S△CAB＋S△DAB＝|x1|＋|x2|＝(1＋)·|x1|≤(当x1＝±2时取等号)， 所以四边形CADB面积S的最大值为. 19．解：(1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意． 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由得 (3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 因为∠APE＝∠OPF，所以kPE＋kPF＝0， 即＋＝0， 整理得2kx1x2＋(m－k)·(x1＋x2)－＝0，化简得m＝－6k， 所以直线l的方程为y＝kx－6k＝k(x－6)， 所以直线l过定点(6，0)． 20．解：(1)由题设可知可得则双曲线C的方程为－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0. 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠±，m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， 由Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0，且4k2－1≠0得4k2＝m2＋1(k≠±)． 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－>0，即km<0， 则x＝＝4＋>4，即xM>2，∴此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的距离的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$