周测卷(15) 直线与圆-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十五)　直线与圆 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a为实数，若直线x＋ay＋2a＝0与直线ax＋y＋a＋1＝0平行，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．2 2．过点(0，2)且与直线y＝x－2相切，圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x＋2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝8 3．已知直线y＝kx(k>0)与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，则k＝(　　) A． B． C． D． 4．“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为(　　) A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0 C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0 6．若直线x＝2y－3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，则·＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 7．圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0上一点A发出的光线经x轴反射后经过点P(－2，1)，则光线从点A到点P的最短路程为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝9引切线，切点分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆 C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 10．已知直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是(　　) A． B．1 C．2 D．4 11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－2ax－6y＋a2＝0(a∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．若a≠0，则点O在圆C外 B．圆C与x轴相切 C．若圆C截y轴所得弦长为4，则a＝1 D．点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a2 12．已知点P(2，4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上一动点，则(　　) A．|AB|的最小值为2 B．P到l的距离的最大值为2 C.·的最小值为12－2 D．|PR|的最大值为4＋3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)写出与圆O：x2＋y2＝1，圆O1：(x－2)2＋(y－2)2＝1都相切的一个圆的方程________． 14．直线y＝x＋与圆D：(x－)2＋(y－1)2＝3交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为________． 15．已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的取值范围是________． 16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4y＋3＝0，若直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则实数t的取值范围为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆相切． (1)求圆C的标准方程； (2)设点P(0，1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值． 18.(10分)已知圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点． (1)若直线AB过原点，求a； (2)若直线AB交x轴于Q，当△PQC面积最小时，求|AB|. 19．(10分)如图，已知⊙C的圆心在原点，且与直线x＋3y＋4＝0相切． (1)求⊙C的方程； (2)点P在直线x＝8上，过点P引⊙C的两条切线PA，PB，切点为A，B. ①求四边形OAPB面积的最小值； ②求证：直线AB过定点． 20.(10分)已知圆O：x2＋y2＝2，圆C过点M(5，3)且与圆O相切于点N(1，1)． (1)求圆C的标准方程； (2)若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十五)　直线与圆 1．A　∵直线x＋ay＋2a＝0与直线ax＋y＋a＋1＝0平行，∴1×1＝ a·a，解得a＝－1或a＝1.当a＝1时，两直线重合，不合题意，舍去，故a＝－1.故选A. 2．D　设圆心为(a，0)，由题意得＝，解得a＝－2，故圆的半径r＝＝2，所以圆的方程为(x＋2)2＋y2＝8.故选D. 3．B　圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心C(2，1)，r＝2，所以圆心C(2，1)到直线y＝kx(k>0)的距离为d，则d＝，而d＝＝＝1，所以d＝＝1，解得k＝.故选B. 4．B　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直，则2×3＋(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的充分不必要条件．故选B. 5．A　设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，所以且解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M(0，－)，N(1，0)，所以MN所在直线方程为＝，即5x－2y－5＝0.故选A. 6．D　由题意得圆x2＋y2＝4的圆心O(0，0)到直线x＝2y－3的距离为d＝＝，所以＝＝，所以|AB|＝2，且△OAB是等腰直角三角形，从而有∠OAB＝，所以·＝||||cos(π－∠OAB)＝－||||cos∠OAB＝－4，故选D. 7．B　圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，圆心为C(1，3)，半径长为1，如图所示，设点P关于x轴的对称点为P1(－2，－1)，设反射光线交x轴于点Q，则|PQ|＝|P1Q|，|P1C|＝＝5，所以光线从点A到点P的路程为|PQ|＋|AQ|＝|P1Q|＋|AQ|＝|P1A|，光线从点A到点P的最短路程为|P1C|－1＝4.故选B. 8．D　圆C1：(x－1)2＋(y＋4)2＝7的圆心为(1，－4)，半径r1＝，圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝9的圆心为(2，5)，半径r2＝3.设点P(x0，0)，则d1＋d2＝ ＋＝＋＝＋，故d1＋d2表示点(x0，0)到(1，－3)与(2，4)两点的距离之和，当(x0，0)，(1，－3)，(2，4)三点共线时，d1＋d2最小，即d1＋d2的最小值为＝＝5.故选D. 9．ABD　∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，∵圆心C(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，∴直线与圆C相切，故A选项正确；∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，∵圆心C(0，0)到直线l的距离为d＝＝>r，∴直线与圆C相离，故B选项正确；∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，∵圆心C(0，0)到直线l的距离为d＝＝<r，∴直线与圆C相交，故C选项错误；∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，∵圆心C(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，∴直线与圆C相切，故D选项正确．故选ABD. 10．AC　由题意，知圆C的圆心为(1，a)，半径为r＝2，由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则0°<∠CAB<45°，设圆心C到直线l的距离为d，则d＝，则0<sin∠CAB＝＝<， 且直线l不经过圆心，即a＋a－2≠0，整理可得解得2－<a<2＋，且a≠1.所以a∈(2－，1)∪(1，2＋)．故选AC. 11．ABD　对于A，当a≠0时，a2>0，故点O在圆C外，故A正确．对于B，圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－3)2＝9，则圆心为C(a，3)，半径r＝3，显然圆心C到x轴的距离为3，所以圆C与x轴相切，故B正确．对于C，若圆C截y轴所得弦长为4，则4＝2，解得a＝±1，故C不正确．对于D，当a＝0时，圆C：x2＋(y－3)2＝9，所以点O在圆C上，显然点O到圆C上一点的最小距离为0，最大距离为2r＝6，乘积为0＝a2；当a≠0时，由选项A知，点O在圆C外，|OC|＝，所以点O到圆C上一点的最大距离为|OC|＋r，最小距离为|OC|－r，乘积为|OC|2－r2＝a2＋9－32＝a2.故D正确．故选ABD. 12．ABD　如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2，所以A正确；当直线l与PQ垂直时，P到直线l的距离有最大值，且最大值为|PQ|＝2，所以B正确；设R(6＋3cos θ，3sin θ)，则·＝(2，－4)·(4＋3cos θ，3sin θ－4)＝6cos θ－12sin θ＋24，所以·＝6cos(θ＋φ)＋24，所以·的最小值为24－6，所以C错误；当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|＋r＝4＋3，所以D正确．故选ABD. 13．解析：由题意，可得O(0，0)，O1(2，2)，则OO1的中点坐标为(1，1)，根据对称性知，与圆O和圆O1都相切的圆O′的圆心O′在直线x＋y－2＝0上，设O′(2，0)，则圆O′：(x－2)2＋y2＝r2，例如当r＝1，圆O′：(x－2)2＋y2＝1，此时圆O′与圆O和圆O1都相切，满足题意． 答案：(x－2)2＋y2＝1(答案不唯一) 14．解析：如图所示，直线y＝x＋的斜率是，则倾斜角为，则∠1＝α－，∠2＝＋π－β，因为AD＝BD，所以∠1＝∠2，所以α－＝＋π－β，即α＋β＝π. 答案：π 15．解析：设M(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·＝(－1－x)(1－x)＋y2＝x2＋y2－1＝3，即点M的轨迹方程为x2＋y2＝4.又圆(x－a＋1)2＋(y－a－2)2＝1上存在点M满足条件，∴两圆有交点，∴2－1≤≤2＋1，解得－2≤a≤1，即a的取值范围为[－2，1]． 答案：[－2，1] 16．解析：由于圆C的标准方程为x2＋(y－2)2＝1，则圆C的圆心坐标为(0，2)，半径为1.要使直线x－ty＋2＝0上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则只需满足圆C的圆心到直线x－ty＋2＝0的距离d≥2，即d＝≥2，解得t≤0. 答案：(－∞，0] 17．解：(1)设圆心(a，0)，a>0 ，∴圆的半径为r＝a， ∴＝a，解得a＝2. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0， ∵直线与圆有两个交点， ∴Δ＝4(m－2)2－8m2>0，解得－2－2<m<－2＋2， 且∴又·＝0， ∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0， 整理得m2＋m－1＝0，解得m＝或m＝. 18.解：(1)由圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8，可得圆心坐标分别为C(0，3)，P(a，0)， 半径都是r＝2， 因为圆C：x2＋(y－3)2＝8和动圆P：(x－a)2＋y2＝8交于A，B两点， 可得圆心距小于半径之和，0<|PC|<4， 即a2＋9<(4)2，解得－<a<. 又由两圆相减，可得公共弦直线AB： 2ax－6y＋9－a2＝0， 因为直线AB过原点，可得a2＝9， 解得a＝±3，检验成立，所以实数a的值为±3. (2)由直线AB：2ax－6y＋9－a2＝0，令y＝0. 即2ax＝a2－9，解得xQ＝(a－)， 即Q((a－)，0)， 则|PQ|＝＝， 所以S△PQC＝|PQ|·3＝≥， 当且仅当a＝±3时取得等号，且满足a∈(－，)， 此时直线AB：y＝±x，又由圆心到直线距离d＝， 所以弦长|AB|＝2 ＝. 综上，当△PQC面积最小时，|AB|＝. 19．解：(1)依题意得：圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r， ∴r＝d＝＝，∴圆C的方程为x2＋y2＝. (2)①连接OA，OB，∵PA，PB是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴S四边形OAPB＝2S△OAP＝2×OA·PA＝2××＝ ， ∴当|PO|取最小值为8时， (S四边形OAPB)min＝·＝， ②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为(4，)， ∴以OP为直径的圆方程为(x－4)2＋(y－)2＝16＋，即x2＋y2－8x－by＝0. ∵AB为两圆的公共弦， ∴由得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R，即8(x－)＋by＝0， 则直线AB恒过定点(，0)． 20．解：(1)设圆C的圆心为(a，b) ， 由题意得，＝， 化简得2a＋b＝8， 因为圆C与圆O相切，切点为N(1，1)， 所以切点N(1，1)在直线OC上， 直线OC的方程为y＝x， 将N(1，1)代入y＝x，得a＝b， 又2a＋b＝8，所以a＝b＝，圆C的圆心为(，)， 故半径为 ＝， 故圆C的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝. (2)四边形PAOB的面积可看作Rt△PAO与Rt△PBO的面积之和，易知Rt△PAO ≌Rt△PBO. 在Rt△PAO中|AO|＝，S△PAO＝|AO|·|AP|＝|AO|，连接OC并延长，交圆C于点P，此时|OP|最长，Rt△PAO的面积最大，|OP|max＝＋＝， (S△PAO)max＝×× ＝， 所以四边形PAOB面积的最大值为2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$