周测卷(11) 数列的概念、等差数列、等比数列-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十一)　数列的概念、等差数列、等比数列 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2024·无锡模拟)等差数列{an}中，若a2＝1，a6＝13，则公差d＝(　　) A．3 B．6 C．7 D．10 2．(2023·常德一模)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4，S3＝S2＋2，则a1＝(　　) A． B．1 C． D．2 3．已知等差数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a6＝17，S5＝a2a3，则a12＝(　　) A．28 B．30 C．32 D．35 4．若数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＋an＋2＝2(n∈N*)，则其前2023项和为(　　) A．1360 B．1358 C．1350 D．1348 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，若存在实数λ使{an}是等差数列，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．2λ D．λ 6．设等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，前n项和为Sn.若对任意的n∈N*，有S2n<3Sn，则q的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，2) C．[1，2) D．(0，) 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q>1，a2＋a4＝5，a1a5＝4，则Sn＝(　　) A．2n－1－1 B．2n－1－ C．2n－ D．2n－1 8．威廉·邓纳姆曾写道：“如果你想要做加法你需要0，如果你想要做乘法你需要1，如果你想要做微积分你需要e，如果你需要做几何你需要π，如果你想要做复分析你需要i，这是数学的梦之队，他们都在这个方程里．”这里指的方程就是ex＋iy＝ex(cos y＋isin y)，令x＝0，y＝π，则eiπ＝－1，令x＝0，y＝nπ，则einπ＝cos nπ＋isin nπ.若数列{an}满足an＝einπ，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的个数是(　　) ①{an}是等比数列；②a2n＝a；③S21＝1；④an＋2＝an. A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．数列{an}的首项为1，且an＋1＝2an＋1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝7 B．数列{an＋1} 是等比数列 C．an＝2n－1 D．Sn＝2n＋1－n－1 10．设等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知a7＝a6＋2a5，且存在两项am，an，使得 ＝4a1，则下列结论正确的是(　　) A．an＋1＝2an B．Sn＝an＋1－a1 C．m＋n＝6 D．mn＝8 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1(n≥2)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an＋1－an}为等比数列 B．数列{an＋1－3an}为等差数列 C．an＝3n－1＋1 D．Sn＝＋ 12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．设大衍数列为{an}，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是200 C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2 D．此数列的前n项和Sn＝n(n－1) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)已知等比数列{an}满足an＋1>an(n∈N*)，且其前n项和Sn<0，则数列{an}的通项公式可以是an＝______________．(写出一个符合条件的即可) 14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，当n≥3时，an＝an－1－an－2，则a2024＝____________． 15．已知数列{an}是等差数列，公差d＝4，前n项和为Sn，则－的值为____________． 16．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为____________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知等差数列{an}的公差d＝2，前n项和为Sn. (1)若1，a2，a3成等比数列，求an； (2)若S2＋S6>a2a6，求a1的取值范围． 18.(10分)已知数列{an}，Tn＝a1a2…an，且T2＝2，T3＝8. (1)若{Tn}为等比数列，求an； (2)若{an}为等比数列，求Tn. 19．(10分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn. 20.(10分)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝10，a3＝4，数列{bn}的前n项和为Sn，Sn＝. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)若ap＝bq，求数列{2qn－pn}的前n项和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十一)　数列的概念、等差数列、等比数列 1．A　依题意，d＝＝3，故选A. 2．A　由已知得a3＝S3－S2＝2，则公比q＝＝＝2， 所以a1＝＝＝.故选A. 3．D　设{an}的公差为d且d>0，由a6＝17，S5＝a2a3，得 解得故a12＝a1＋11d＝2＋33＝35，故选D. 4．C　∵a1＝2，an＋an＋1＋an＋2＝2，∴S2023＝a1＋(a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7)＋…＋(a2021＋a2022＋a2023)＝a1＋674×2＝1350，故选C. 5．B　设公差为d，因为anan＋1＝λSn－1，所以n≥2时，an－1an＝λSn－1－1，两式相减得an(an＋1－an－1)＝λ(Sn－Sn－1)＝λan，因为an≠0，所以an＋1－an－1＝λ＝2d，由a1a2＝λS1－1＝2da1－1，得a2＝2d－1.从而a2－a1＝2d－1－1＝d，d＝2.故选B. 6．A　当q≠1时，因为S2n<3Sn，所以<3×，所以qn<2.若q>1，则n<logq2对任意的n∈N*恒成立，显然不成立．若0<q<1，则n>logq2对任意的n∈N*恒成立，所以logq2<nmin，所以logq2<1，即0<q<2，又因为0<q<1，所以0<q<1.当q＝1时，对任意的n∈N*，有S2n<3Sn恒成立．综上可得，0<q≤1.故选A. 7．B　由等比数列的性质可知a2a4＝a1a5＝4，因为q>1，则|a4|＝|a2q2|>|a2|，由已知可得解得∴q＝＝2，则a1＝＝，因此Sn＝＝＝2n－1－.故选B 8．C　an＝einπ＝cos nπ＋isin nπ＝cos nπ＝ ∴{an}是公比为－1的等比数列，故①正确；a2n＝1，a＝1，∴a2n＝a，故②正确；S21＝a1＝－1，故③错误；由{an}的通项公式可知an＋2＝an，故④正确．故选C. 9．AB　∵an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故B正确；则an＋1＝2n，∴an＝2n－1，故C错误；则a3＝7，故A正确；∴Sn＝－n＝2n＋1－n－2，故D错误，故选AB. 10．ABC　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由已知，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以an＋1＝qan＝2an，Sn＝＝an＋1－a1.因为＝4a1，则aman＝16a，即a·2m＋n－2＝16a，所以m＋n＝6，故选ABC. 11．ABD　根据题意得an＋1＝4an－3an－1(n≥2)，则an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－1＝(k＋4)(an－an－1)(n≥2)，令k＝－，即k2＋4k＋3＝0，解得k＝－1或k＝－3，所以可得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)或an＋1－3an＝an－3an－1(n≥2)，所以数列{an＋1－an}是公比为3的等比数列，故选项A正确；数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；由上可得an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1，可得an＝，故选项C错误；Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝(30＋31＋…＋3n－1)＋＝×＋＝＋，故选项D正确．故选ABD. 12．AC　观察此数列，可知a2n＝2n2，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，故A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，故B错误；S4＝0＋2＋4＋8＝14≠4×(4－1)，故D错误．故选AC. 13．解析：由题可设等比数列公比为q， 则anq＞an，若an＞0， 则q＞1，此时Sn＞0，不符合题意； 则an＜0，q＜1， 所以an＜0，则an＝－()n满足上述条件． 答案：an＝－()n 14．解析：a1＝1，a2＝5，当n≥3时，an＝an－1－an－2，所以a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，观察可知，数列{an}是一个周期为6的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2024＝a6×337＋2＝a2＝5. 答案：5 15．解析：由等差数列的前n项和Sn＝na1＋d得＝a1＋d＝a1＋(n－1)，所以仍是等差数列，其公差是原等差数列公差的一半，所以－的值为2. 答案：2 16．解析：由题意可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋12≥24，当且仅当S4＝6时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24. 答案：24 17．解：(1)∵1，a2，a3成等比数列，等差数列{an}的公差d＝2， ∴a＝a3，即(a1＋d)2＝a1＋2d，解得a1＝0或a1＝－3. 当a1＝0时，a2＝2，a3＝4，符合题意，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－2； 当a1＝－3时，a2＝－1，a3＝1，符合题意，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－5. 综上可得，an＝2n－2或an＝2n－5. (2)由等差数列的前n项和公式得S2＝2a1＋2，S6＝6a1＋30，∵S2＋S6>a2a6，∴2a1＋2＋6a1＋30>(a1＋2)(a1＋10)，即(a1＋6)(a1－2)<0， ∴－6<a1<2，故a1的取值范围为(－6，2)． 18．解：(1)若{Tn}为等比数列，根据题意有Tn＝a1a2…an，可得Tn＋1＝a1a2…an＋1，则有＝＝4，即有an＋1＝4， 又T2＝2，则T1＝a1＝，故有an＝ (2)若{an}为等比数列，设公比为q，则由T2＝2，可得T2＝aq＝2， 由T3＝8，可得T3＝aq3＝8，解得a1＝1，q＝2， 故有an＝2n－1，则Tn＝a1a2…an＝21＋2＋…＋(n－1)， 即Tn＝2. 19．解：(1)由题意，a1a2…an＝()bn(n∈N*)，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8，an>0，又有a1＝2，得公比q＝2或q＝－2(舍去)， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)， 所以a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)， 故数列{bn}的通项公式为bn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)由(1)知，cn＝－＝－(－)(n∈N*)， 所以Sn＝(＋＋…＋)－[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－(1－)＝－(n∈N*)． 20．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>1， 由a2＋a4＝10，a3＝4，可得a1q＋a1q3＝10，a1q2＝4， 即得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)， 故an＝a3qn－3＝2n－1， 由数列{bn}的前n项和为Sn＝，可得b1＝S1＝， 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝＝22n－3，b1＝适合该式， 故bn＝22n－3. (2)若aq＝bq，则2pn－1＝22qn－3，故pn－1＝2qn－3， 即2qn－pn＝2，即{2qn－pn}为常数列， 则数列{2qn－pn}的前n项和为2n. 学科网（北京）股份有限公司 $$