周测卷(10) 复数、平面向量-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(十)　复数、平面向量 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z＝，则2i·z的虚部是(　　) A．i B．2i C．1 D．2 2．已知△ABC满足2＝2·，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＋2＝b＋i，则|z|＝(　　) A． B．2 C． D．3 4．已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 5．(2024·福建漳州质检)复数z满足|z－(5＋5i)|＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．(2023·唐山模拟)已知向量a＝(2，1)，|b|＝，|a－b|＝5，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 7.小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图(也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形)的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点(E，F点)，则·＝(　　) A．9 B．16 C．12 D．11 8.如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M在线段AB上运动(含端点A，B)，若AB＝2，则|＋|的取值范围是(　　) A．[1，3] B．[，3] C．[3， ] D．[， ] 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知z1，z2均为复数，则下列结论中正确的有(　　) A．若|z1|＝|z2|，则z1＝±z2 B．若z1＝2，则z1＋z2是实数 C．(z1－z2)2＝|z1－z2|2 D．若z1＋z2＝0，则z1·2是实数 10．已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则下列结论正确的是(　　) A．(a＋b)⊥a B．向量a与向量b的夹角为 C．|2a＋b|＝ D．向量b在向量a上的投影向量是(1，3) 11．已知a·b＝1，|a|＝1，|a－b|＝，设a与b的夹角为θ，则(　　) A．|b|＝2 B．a⊥(b－a) C．a∥b D．θ＝60° 12．(2024·山东省实验中学月考)点P是△ABC所在平面内一点，且＝x＋y，下列说法正确的是(　　) A．若x＝y＝，则点P是BC的中点 B．若点P是BC上靠近B点的三等分点，则x＝，y＝ C．若点P在BC边的中线上且x＋y＝，则点P是△ABC的重心 D．若x＋y＝2，则△PBC与△ABC的面积相等 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，若zz2＝z，则复数z＝________． 14．已知a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________． 15．(开放题)已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可) 16.如图是构造无理数的一种方法：线段OA1＝1；第一步，以线段OA1为直角边作直角三角形OA1A2，其中A1A2＝1；第二步，以OA2为直角边作直角三角形OA2A3，其中A2A3＝1；第三步，以OA3为直角边作直角三角形OA3A4，其中A3A4＝1；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA2，OA3，…，则2·4＝________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值． 18.(10分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值； (2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标． 19．(10分)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－sin 2x)，b＝(cos x，1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，·＝3，求边长b和c的值(b>c)． 20.(10分)已知·＝0，M是BC的中点． (1)若||＝2||，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； (2)若O是线段AM上的任意一点，且||＝2||＝2，求·＋·的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(十)　复数、平面向量 1．C　z＝＝＝－i，2i·z＝2i(－i)＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，故虚部是1，故选C. 2．D　根据2＝2·，得c2＝2bccos A，即c＝2bcos A，由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos A，又sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，∴sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Bcos A，即sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0，且A和B都为三角形的内角，∴A＝B，则△ABC的形状为等腰三角形．故选D. 3．C　∵＋2＝＋2＝2＋ai＝b＋i，∴a＝1，b＝2，故z＝1＋2i，因此|z|＝＝.故选C. 4．C　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C. 5．A　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－(5＋5i)|＝2，所以(x－5)2＋(y－5)2＝4，即复数z所对应的点在以(5，5)为圆心，2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选A. 6．D　∵a＝(2，1)，∴|a|＝＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＋|b|2＝15－10cos〈a，b〉＝25，解得cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.故选D. 7．D　过C作CG⊥AB，垂足为G，如图建立平面直角坐标系． 因为△ABC是边长为4的等边三角形，所以AG＝2，CG＝4sin 60°＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，因为E，F是四等分点，所以E(1，2)，F(3，2)，所以＝(－1，2)，＝(1，2)，·＝－1×1＋2×2＝11.故选D. 8．D　因为点C为的中点，AB＝2，所以||＝，∠CAB＝，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2||·||＝2＋2＋2||·||cos＝||2＋2||＋2＝(||＋1)2＋1，因为点M在线段AB上运动，所以0≤||≤2，所以2≤(||＋1)2＋1≤10，所以|＋|的取值范围是[， ]，故选D. 9．BD　z1＝1，z2＝－i，|z1|＝|z2|而z1≠±z2，A错误；令z1＝a＋bi，则z2＝a－bi，z1＋z2＝2a为实数，B对；z1＝1，z2＝i，(z1－z2)2＝－2i，|z1－z2|2＝2，则(z1－z2)2≠|z1－z2|2，C错误；令z1＝a＋bi，则z2＝－a－bi，2＝－a＋bi，z1·2＝(a＋bi)(－a＋bi)＝－a2－b2为实数，D对，故选BD. 10．AB　对于A选项，a＋b＝(3，－1)，所以(a＋b)·a＝3－3＝0，故(a＋b)⊥a，A对；对于B选项，cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，故〈a，b〉＝，B对；对于C选项，2a＋b＝2(1，3)＋(2，－4)＝(4，2)，故|2a＋b|＝2，C错误；对于D选项，向量b在向量a上的投影向量为|b|cos ·＝(1，3)＝(－1，－3)，D错误．故选AB. 11．ABD　a·b＝1，|a|＝1，由|a－b|＝，可得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝3，即1＋|b|2－2＝3，解得|b|＝2，所以A正确；a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×2×cos θ＝1，所以cos θ＝，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°，所以D正确；C不正确；a·(b－a)＝a·b－a2＝1－1＝0，则a⊥(b－a)，所以B正确．故选ABD. 12．AD　A显然正确；对于B，当x＝，y＝时，点P是边BC上靠近C点的三等分点，故B错误；对于C，因为点P在BC边的中线上且x＋y＝，所以点P为BC边的中线的中点，不是重心，故C错误；对于D，设＝2，＝2，则＝＋，因为＋＝1，所以点P在直线MN上，所以点P与点A到BC边的距离相等，故△PBC与△ABC的面积相等，故D正确．故选AD. 13．解析：根据复数的几何意义可得z1＝2＋i，z2＝－1＋2i，又zz2＝z，∴z＝＝＝＝＝1－2i. 答案：1－2i 14．解析：因为cos θ＝＝，且θ为锐角，所以2λ＋1>0，解得λ>－，又当λ＝2时，a＝b，夹角为0，不是锐角，所以{λ|λ>－，且λ≠2}． 答案：{λ|λ>－，且λ≠2} 15．解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝x＋y＝··，∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1，0)． 答案：(1，0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可) 16．解析：由题可知OA2＝，OA3＝，OA4＝＝2，所以cos∠A2OA3＝＝＝，sin∠A2OA3＝＝，cos∠A3OA4＝＝，sin∠A3OA4＝＝，所以cos∠A2OA4＝cos(∠A2OA3＋∠A3OA4)＝－，所以 2·4＝|2|·|4|·cos∠A2OA4＝×2×(－)＝2－. 答案：2－ 17．解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0. (2)a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0， ∴λ＝. 18．解：(1)因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)， 所以a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 因为(a＋kc)∥(2b－a)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. (2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，因为(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝， 所以解得或 所以d＝(3，－1)或d＝(5，3)． 19．解：(1)由题意知，f(x)＝2cos2x－sin 2x ＝1＋cos 2x－sin 2x＝1＋2cos(2x＋)， ∴f(x)的最小正周期T＝π. 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1， ∴cos(2A＋)＝－1， 又<2A＋<，∴2A＋＝π，∴A＝. ∵·＝3，即bc＝6，由余弦定理 得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc， 即7＝(b＋c)2－18，解得b＋c＝5，又b>c， ∴b＝3，c＝2. 20．解：(1)因为·＝0，所以AB⊥AC，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 令||＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以－＝(2a，－a)，＋＝(2a，a)， 设向量－与向量＋的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. (2)因为||＝2||＝2，所以C(0，1)，B(2，0)，M(1，)，设O(x，)，x∈[0，1]， 所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2(－x，－)·(1－x，－)＝2(x2－x＋－)＝(x2－x)＝(x－)2－，当且仅当x＝时，·＋·取得最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $$