周测卷(8) 三角函数的图象与性质-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(八)　三角函数的图象与性质 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝sin2x＋cos(2x－)的最小正周期是(　　) A． B． C．π D．2π 2．已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ的一个值为(　　) A． B． C． D． 3．为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2cos(3x＋)图象上所有的点(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．将函数f(x)＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于y轴对称，则φ的最小值为(　　) A． B． C． D． 5．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们称它为葫芦曲线(也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它对应的方程为|y|＝(2－[])|sin ωx|(0≤x≤2π)，其中记[x]为不超过x的最大整数，且过点P(，2)，若葫芦曲线上一点M到y轴的距离为，则点M到x轴的距离为(　　) A． B． C． D． 6．将函数f(x)＝sin(2x－)的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度得到函数g(x)的图象，若x1，x2使得f(x1)g(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为，则φ＝(　　) A． B． C． D． 7．若将函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<3)的图象向右平移个单位长度后关于点(，0)对称，则f(x)在[－，π]上的最小值为(　　) A．－1 B．－ C．－ D． 8．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在(，)上单调，则ω的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝sin x－cos x，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的值域与g(x)的值域不相同 B．把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象 C．函数f(x)和g(x)在区间(－，)上都单调递增 D．若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点 10．将函数f(x)＝cos(2x＋φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是(　　) A．关于点(－，0)对称 B．关于直线x＝－对称 C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称 11．设函数f(x)＝sin(ωx－)＋3(ω∈N*)在[，]上单调递减，则下述结论正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的图象关于直线x＝－对称 C．f(x)在[，π]上的最小值为2 D．f(x)的图象关于点(，0)对称 12.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是(　　) A．直线x＝－是函数f(x)的图象的一条对称轴 B．函数f(x)的图象关于点(－＋，0)，k∈Z对称 C．函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z D．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin(2x＋)的图象 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)将函数f(x)＝tan(2x－)的图象向右平移s(s>0)个单位长度后，所得图象经过点(，)，则s的可能取值是________．(写出满足条件的一个值即可) 14．已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω>0)，当|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值是，则函数f(x)在[0，]上的单调递减区间为________． 15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为f(x)＝________． 16.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)与函数y＝g(x)的部分图象如图所示，且函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象向右平移个单位长度得到，则φ＝________，g(0)＝________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2024·北大附中月考)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cos x－2sin2x＋. (1)求f(－)； (2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在区间[，π]上的最大值． 18.(10分)已知f(x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间； (2)已知x0∈(0，)，f(x0)＝，求f(x0＋)的值． 19．(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间[－t，t]上单调递增，求实数t的最大值． 20．(10分)已知函数f(x)＝2sin xsin(－x)＋cos 2x，x∈[0，]． (1)求f(x)的单调递增区间和最值； (2)若函数g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(八)　三角函数的图象与性质 1．C　易得f(x)＝sin2x＋cos(2x－)＝＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin(2x－)＋，其最小正周期T＝＝π.故选C. 2．B　由题意得，f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．因为f(x－φ)为偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝－π－(k∈Z)，当k＝－1时，φ＝.故选B. 3．D　y＝2cos(3x＋)＝2sin(3x＋)＝2sin[3(x＋)]，则将函数y＝2cos(3x＋)图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D. 4．B　根据题意，将函数f(x)＝sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x，再向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x－2φ)．由于函数g(x)的图象关于y轴对称，所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z.因为φ>0，故φ的最小值为.故选B. 5．B　因为|y|＝(2－[])|sin ωx|(0≤x≤2π)过点P(，2)，代入可得2＝(2－[])|sin |＝2|sin |，所以|sin |＝1，所以sin ＝±1，解得＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝4k＋2(k∈Z)，由图象可知|y|上下对称，f(x)＝sin ωx的周期T＝×4＝π，所以ω＝2，k＝0，所以|y|＝(2－[])|sin 2x|(0≤x≤2π)．因为点M到y轴的距离为，即x＝， 当x＝时，|y|＝(2－[×])|sin(2×)|＝(2－×3)·|sin|＝×＝.所以点M到x轴的距离为.故选B. 6．B　将函数f(x)＝sin(2x－)的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝sin[2(x－φ)－]＝sin(2x－2φ－)． 若x1，x2使得f(x1)g(x2)＝－1，则f(x1)＝1，g(x2)＝－1或f(x1)＝－1，g(x2)＝1， 不妨设f(x1)＝1，g(x2)＝－1， 则2x1－＝2k1π＋，2x2－2φ－＝2k2π＋，k1∈Z，k2∈Z，即2x1＝2k1π＋，2x2＝2k2π＋2φ＋＋π，两式作差得2(x1－x2)＝2(k1－k2)π－π－2φ， 即(x1－x2)＝(k1－k2)π－φ－. ∵|x1－x2|的最小值为，且0<φ<， ∴当k1－k2＝1时取最小值，此时|－φ＋|＝， ∴φ＝，故选B. 7．C　将f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<3)的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin[ω(x－)＋]＝sin(ωx－ω＋)． 因为(，0)是此函数的对称中心，则ω－ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝1－3k，k∈Z.又0<ω<3，所以当k＝0时，ω＝1，所以f(x)＝sin(x＋)． 因为－≤x≤π，则－≤x＋≤， 所以－≤sin(x＋)≤1， 所以f(x)在[－，π]上的最小值为－.故选C. 8．C　由f(x)在(，)上单调，即T≥－，可得T≥，则ω≤9.∵x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为T×(2k－1)，k∈N*.要求ω 最大，则周期最小，∴(2k－1)×T＝，则T＝，∴ω＝2k－1.当ω＝9时，由|φ|≤，则φ＝－，可得f(x)＝cos(9x－)，易知f(x)在(，)上递减，在(，)上递增，不合题意；当ω＝7时，由|φ|≤，则φ＝，可得f(x)＝cos(7x＋)，易知f(x)在(，)上递减，在(，)上递增，不合题意；当ω＝5时，由|φ|≤，则φ＝－，可得f(x)＝cos(5x－)，易知f(x)在(，)上递减，符合题意，故选C. 9．CD　f(x)＝sin x－cos x＝sin(x－)，g(x)＝cos x＋sin x＝sin(x＋)，所以函数f(x)的值域与g(x)的值域相同，A错误；把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象，并不是函数g(x)的图象，故B错误；易知选项C，D都正确．故选CD. 10．ABC　将函数f(x)＝cos(2x＋φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos(2x－＋φ)的图象，其对应的函数是奇函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos(2x－)．令x＝－，得f(－)＝cos(－)＝－，故A中说法不正确．令x＝－，得f(－)＝cos(－)＝0，故B中说法不正确．令x＝，得f()＝cos 0＝1，故C中说法不正确，D中说法正确．故选ABC. 11．BC　因为函数f(x)＝sin(ωx－)＋3(ω∈N*)在[，]上单调递减，所以T≥－＝，即ω≤，所以ω＝1或2， 当ω＝1时，f(x)＝sin(x－)＋3在[，]上单调递增，与已知矛盾，不成立； 当ω＝2时，f(x)＝sin(2x－)＋3在[，]上单调递减，满足条件，此时函数的最小正周期为π，故A选项错误； 当x＝－时，2x－＝－，故B选项正确； 当x∈[，π]时，2x－∈[，]，故当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝2，故C选项正确； 由于函数f(x)＝sin(2x－)＋3是由y＝sin(2x－)向上平移3个单位长度得到的，故对称中心的纵坐标为3，故D选项错误．故选BC. 12．BC　由图知，f(x)min＝－1，所以A＝1，因为＝－＝，所以T＝π，即＝π，得ω＝2. 所以f(x)＝sin(2x＋φ)． 又f()＝sin(＋φ)＝0，所以π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝－π＋kπ，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝， 所以f(x)＝sin(2x＋)． 对于选项A，f(－)＝sin(－＋)＝0≠±1，故A错误． 对于选项B，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z， 所以函数f(x)的对称中心为(－＋，0)，k∈Z，故B正确． 对于选项C，－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故C正确． 对于选项D，g(x)＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x＋)，故D错误．故选BC. 13．解析：将函数f(x)＝tan(2x－)的图象向右平移s(s>0)个单位长度后，得到函数g(x)＝tan(2x－2s－)的图象，因为g(x)的图象经过点(，)，所以＝tan(π－2s－)，所以－2s＝＋kπ，k∈Z，解得s＝－，k∈Z，令k＝0，得s＝. 答案：(答案不唯一) 14．解析：由于|f(x1)－f(x2)|＝1－(－1)＝2，∴f(x1)，f(x2)中一个取最大值，一个取最小值，|x1－x2|最小值是，可得最小正周期为，而T＝＝，∴ω＝3，则f(x)＝sin(3x－)，令2kπ＋≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，x∈[＋，＋](k∈Z)，∵x∈[0，]，∴x∈[，]． 答案：[，] 15．解析：由图可知f(x)的最大值为2，故A＝2，由图可知T＝－(－)＝π，所以T＝π.又T＝，所以ω＝2，故f(x)＝2sin(2x＋φ)．又函数经过点(，2)，即2＝2sin(2×＋φ)，所以1＝sin(＋φ)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z. 又－π<φ<0，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin(2x－)． 答案：2sin(2x－) 16．解析：由题意可知，将函数g(x)图象上的点(－，0)向右平移个单位长度，可得f(x)的图象与x轴负半轴的一个交点(－，0)，又f(x)的图象与x轴正半轴的一个交点为(，0)，所以解得所以f(x)＝sin(2x＋)，g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝cos(2x＋)，故g(0)＝. 答案：　 17．解：(1)f(x)＝2sin(π－x)cos x－2sin2x＋＝2sin xcos x－2·＋＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin(2x＋)， 则f(－)＝2sin[2×(－)＋]＝0. (2)由(1)可知f(x)＝2sin(2x＋)， 则最小正周期T＝＝π. 由x∈[，π]，得2x＋∈[，]，令t＝2x＋， 则g(t)＝2sin t， g(t)在[，)上单调递减，在(，]上单调递增， 则当t＝，即x＝π时，f(x)max＝f(π)＝. 18．解：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－sin2ωx＋＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋)， ∵f(x)相邻两条对称轴之间的距离为， ∴·＝，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)． 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z)． (2)∵x0∈(0，)，∴2x0＋∈(，)， 又0<sin(2x0＋)＝<， ∴2x0＋∈(，π)． ∴cos(2x0＋)＝－ ＝－， 则f(x0＋)＝sin[2(x0＋)＋] ＝sin(＋2x0＋)＝cos(2x0＋)＝－. 19．解：(1)由题图可知，A＝2. 又f(0)＝1，所以2sin(ω·0＋φ)＝1，即sin φ＝， 又|φ|<，所以φ＝. 因为f()＝0，所以2sin(ω·＋)＝0，结合题图可知ω·＋＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z， 又T>，所以0<ω<，所以ω＝2， 所以f(x)＝2sin(2x＋)． (2)由题意，得g(x)＝2sin(4x＋)． 令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋≤x≤＋，k∈Z. 因为g(x)在区间[－t，t]上单调递增，所以 解得t≤，所以实数t的最大值为. 20．解：(1)函数f(x)＝2sin xsin(－x)＋cos 2x＝2sin x·(cos x＋sin x)＋cos 2x＝sin xcos x＋sin2x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin(2x＋)＋. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 因为x∈[0，]， 所以函数f(x)的单调递增区间是[0，]． 因为x∈[0，]，则2x＋∈[，]， 所以sin(2x＋)∈[－，1]， 所以f(x)min＝0，f(x)max＝. (2)因为g(x)＝f(x)－a有且仅有一个零点，所以f(x)＝a有且仅有一个实根， 即函数y＝f(x)与y＝a有且仅有一个交点，如图所示： 由图象知，a＝或a∈[0，1)，所以实数a的取值范围是[0，1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$