周测卷(7) 任意角的三角函数、基本关系式、诱导公式及三角恒等变换-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(七)　任意角的三角函数、基本关系式、诱导公式及三角恒等变换 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．平面直角坐标系中，角α的终边经过点P(－，)，则cos(2α－)＝(　　) A． B． C． D． 2.如图①是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图②是会徽的几何图形，设弧AD长度是l1，弧BC长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝2，则＝(　　) 图①　　　　　　　图②　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知cos(α＋)＝，则sin(2α＋)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 4．已知0<α<<β<π，且sin α＝，cos(β－α)＝，则β＝(　　) A． B． C． D． 5．若0<α<π，则＝(　　) A．sin α B．cos α C．－sin α D．－cos α 6.(2023·北京房山区模拟)如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤)．若一个扇形的圆心角为α，弧长为10，则该扇形的面积为(　　) A． B． C． D． 7．(2024·保定联考)已知－tan ＝2sin θ，则cos θ＝(　　) A． B． C． D． 8．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，且<α<π，则sin α－cos α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．下列四个等式正确的是(　　) A．tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝1 B．sin2 1°＋sin2 2°＋sin2 3°＋…＋sin2 89°＝45 C．cos4 －sin4 ＝ D．－＝4 10．下列四个选项中，化简正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝0 C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝－ D．sin 29°cos 16°＋sin 61°cos 74°＝ 11．已知tan α＝4，tan β＝－，则(　　) A．tan(－α)tan β＝1 B．α为锐角 C．tan(β＋)＝ D．tan 2α＝tan 2β 12．已知α，β∈(0，)，sin(α＋β)＝sin αsin β，则(　　) A．tan αtan β≥4 B．tan α＋tan β≥4 C.＋＝1 D．－≤tan(α＋β)<－1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin α＋cos α＝，则tan α＝________． 14．已知点P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________． 15．已知sin α＝＋cos α，且α∈(0，)，则＝________． 16．已知圆心角为60°的扇形AOB的半径为1，C是弧AB上一点，作矩形CDEF，如图所示．这个矩形面积的最大值为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)． (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值． 18．(10分)已知α是第三角限角，且cos α＝－. (1)求tan α的值； (2)化简并求的值． 19.(10分)已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值； (2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求证：[f(β)]2－2＝0. 20．(10分)已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f()的值； (2)若sin α＝，且α∈(，π)，求f(＋)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(七)　任意角的三角函数、基本关系式、 诱导公式及三角恒等变换 1．D　因为角α的终边经过点P(－，)，所以r＝1，由三角函数的定义可知，sin α＝，cos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－，cos(2α－)＝cos 2αcos ＋sin 2αsin ＝－×＋(－)×＝－.故选D. 2．C　设∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，∴l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，而＝2，∴＝2，即B是OA的中点，S1＝θ(r－r)＝θr，S2＝θr，∴＝3.故选C. 3．B　因为cos(α＋)＝，故sin(2α＋)＝－cos(＋2α＋)＝－cos 2(α＋)＝－2cos2(α＋)＋1＝－2×()2＋1＝.故选B. 4．D　因为sin α＝，且0<α<<β<π，所以0<β－α<π，因为cos(β－α)＝，所以0<β－α<，所以cos α＝＝，sin(β－α)＝＝，所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)·sin α＝×－×＝－，因为<β<π，所以β＝.故选D. 5．B　∵0<α<π，∴0<<， ∴ ＝ ＝ ＝cos2－sin2＝cos α，故选B. 6．D　∵时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤)，∴α＝×＋2×＝，∵扇形的圆心角为α，弧长l＝10，设其半径为r，∴10＝αr＝·r，∴r＝，∴该扇形的面积S＝lr＝×10×＝，故选D. 7．D　因为－tan ＝2sin θ，所以－＝2sin θ，所以cos2 －sin2 ＝sin2θ，所以cos θ＝sin2 θ，即cos θ＝1－cos2θ，可得cos θ＝.故选D. 8．C　sin(π－α)－cos(π＋α)＝sin α＋cos α＝，平方得(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－1＝－，∴(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2sin αcos α＝，∵<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝.故选C. 9．AD　∵tan(25°＋20°)＝＝1，∴tan 25°＋tan 20°＋tan 25°tan 20°＝1，故A正确；设S＝sin2 1°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝cos289°＋cos288°＋cos287°＋…＋cos21°，而sin2α＋cos2α＝1，故2S＝89即S＝，故B错误；cos4 －sin4 ＝(cos2 ＋sin2 )(cos2 －sin2 )＝cos2 －sin2 ＝cos ＝，故C错误；－＝＝＝＝＝4，故D正确，故选AD. 10．BD　对于A，cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝，故A错误；对于B，等式左边＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0，故B正确；对于C，等式左边＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝，故C错误；对于D，等式左边＝sin 29°cos 16°＋cos 29° sin 16°＝sin(29°＋16°)＝sin 45°＝，故D正确．故选BD. 11．ACD　因为tan α＝4，tan β＝－，所以tan(－α)tan β＝－tan αtan β＝1，故A正确；α不一定是锐角，故B不正确；tan(β＋)＝＝，故C正确；tan 2α＝＝＝－，tan 2β＝＝＝－，故D正确．故选ACD. 12．ABD　由sin(α＋β)＝sin αsin β，得sin αcos β＋cos αsin β＝sin αsin β，等号两边同时除以cos αcos β，得tan α＋tan β＝tan αtan β(*)，又α，β∈(0，)，所以tan α>0，tan β>0，所以tan αtan β＝tan α＋tan β≥2(当且仅当tan α＝tan β时等号成立)，即tan αtan β≥4，所以tan α＋tan β≥2≥4，故A，B正确；假设＋＝1，则＋＝1，即－1＋tan α＋tan β＝1，即tan αtan β＋＝2，所以tan αtan β＝1，与tan αtan β≥4矛盾，假设不成立，故C错误；tan(α＋β)＝＝＝，由tan αtan β≥4，得0<≤，所以－≤tan(α＋β)<－1，故D正确．故选ABD. 13．解析：由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＋cos2α＝1＝sin2α＋cos2α，则sin αcos α＝sin2α，tan α＝tan2α，所以tan α＝0或tan α＝1. 答案：0或1 14．解析：因为P(－2，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，所以＝－(y<0)，解得y＝4(舍去)，或y＝－4. 答案：－4 15．解析：∵sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝>0，∵α∈(0，)，∴sin α>0，cos α>0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，即sin α＋cos α＝， ∴＝ ＝－ ＝(cos α＋sin α)＝. 答案： 16．解析：设∠AOC＝α，0°≤α≤60°，扇形AOB的半径为1，圆心角为60°，所以CF＝OCsin α＝sin α，EF＝OF－OE＝cos α－＝cos α－，所以矩形CDEF的面积S＝sin α(cos α－)＝sin αcos α－sin2α＝sin 2α－×＝sin 2α＋cos 2α－＝(sin 2α＋cos 2α)－＝sin(2α＋30°)－.∵0°≤α≤60°，∴30°≤2α＋30°≤150°.∴当2α＋30°＝90°，即α＝30°，即C为AB弧的中点时，S取最大值－＝. 答案： 17．解：(1)由角α的终边过点P(－，－)， 得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的终边过点P(－，－)，得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 18．解：(1)∵α是第三角限角，cos α＝－， ∴sin α＝－＝－，∴tan α＝＝3. (2)原式＝＝＝， 由(1)知tan α＝3，∴原式＝＝. 19．解：(1)∵f(x)＝sin(x＋－2π)＋cos(x－－) ＝sin(x－)＋sin(x－)＝2sin(x－)， ∴T＝2π，f(x)的最小值为－2. (2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝， cos βcos α－sin βsin α＝－， 两式相加得2cos βcos α＝0. ∵0<α<β ≤，∴β＝， ∴[f(β)]2－2＝4sin2 －2＝0. 20．解：(1)f()＝cos2 ＋sin cos ＝()2＋×＝. (2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin(2x＋)， 所以f(＋)＝＋sin(α＋＋) ＝＋sin(α＋)＝＋(sin α＋cos α)． 又sin α＝，且α∈(，π)，所以cos α＝－， 所以f(＋)＝＋×(×－×) ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$