周测卷(6) 导数的综合应用-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(六)　导数的综合应用 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex，则f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0 2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 　　 3．已知函数f(x)＝x3－ax2－bx(a＞0，b＞0)的一个极值点为1，则ab的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 4．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、恵更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数： f(x)＝c＋acosh＝c＋a·(e为自然对数的底数)．当c＝0，a＝1时，记p＝f(－1)，m＝f()，n＝f(2)，则p，m，n的大小关系为(　　) A．p＜m＜n B．n＜m＜p C．m＜p＜n D．m＜n＜p 5．已知函数f(x)＝＋ln x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0]∪{1} B．[0，1] C．(－∞，0]∪{2} D．[0，2] 6．已知f(x)是定义在R上的可导函数，若在R上有f(x)＞f′(x)恒成立，且f(1)＝e(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(0)＜1 C．f(2)＜e2 D．f(2)＞e2 7．设0＜x＜1，则a＝，b＝()2，c＝的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 8．已知函数y＝a－2ln x(≤x≤e)的图象上存在点M，函数y＝x2＋1的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是(　　) A．[1－e2，－2] B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知函数f(x)＝－x2ln x，则(　　) A．f(x)≤0恒成立 B．f(x)是(0，＋∞)上的减函数 C．f(x)在x＝e－处取得极大值 D．f(x)只有一个零点 10．(2024·邢台六校联考)已知函数f(x)及其导数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f(－2x)为偶函数，g(＋x)为奇函数，则(　　) A．f()＝0 B．g()＝0 C．g(1)＋g(2)＝0 D．g(－)＋g()＝0 11．下列不等关系中，正确的是(e是自然对数的底数)(　　) A．πe＜eπ B．2＜10 C．log20232022＜ D．3eln 2＜4 12．已知函数f(x)＝xln x，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是(　　) A．x2f(x1)＜x1f(x2) B．x1＋f(x1)＜x2＋f(x2) C.＜0 D．当ln x＞－1时，x1f(x1)＋x2f(x2)＞2x2f(x1) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2024·日照一中月考)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞2的解集为________． 14．已知函数f(x)＝3ln x－kx＋，若f(x)在定义域内为减函数，则实数k的最小值为________． 15．已知x＝x1，x＝x2分别是函数f(x)＝－x2＋aex(a∈R)的极小值点和极大值点，若x1≤，则a的取值范围为________． 16．已知函数f(x)＝aex－x＋2，g(x)＝x2＋2，对任意的x1∈[－1，2]，总存在至少两个不同的x2∈R使得g(x1)＝f(x2)，则a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f(x)＝ex－1－ax. (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)当x≥0时，f(x)≥x2，求实数a的取值范围． 18.(10分)已知关于x的函数f(x)＝ax－ln x－(1＋ln 2)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当n∈N*时，ln(1×2×3×…×n)＜n2－nln 2. 19．(10分)已知函数f(x)＝ax2＋2(1－a)x－2ln x(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程； (2)讨论函数y＝f(x)的单调性． 20.(10分)已知函数f(x)＝＋bln x－a，g(x)＝aex－1＋ln x－a，h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若b＝1，且f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：h(x)有唯一零点(记为x0)，且x1＋x2＞2x0. 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXK.c0m● 您身边的互联网+敷辅专家 周测卷（六）导数的综合应用 L.D因为fx)=(x2+x+1)e,所以(x)=6x2+3x+2)e,0)=1,f(0) =2,则x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y一1=2(x一0)，即2x一y十1=0， 故选D. 2.D根据导函数(x)的图象，易知y=)的增区间为[一3，一1]，[0,1]， 减区间为（一1,0），(1,3]，观察选项可得D符合，故选D 3.D由题意，得f(x)=12x2-ax一b.因为1是函数x)的一个极值点，所 以P(1)=12-a-b=0,所以a十b=12,所以ab≤(a十b2y=116,当且仅当a =b=14时等号成立，所以ab的最大值为116，故选D 4.C由题意知，fx)=e-x十ex2,f(x)=-e-x+ex2=e2x-12ex,当x >0时，f(x)>0,即函数x)在区间(0，+∞)上单调递增，f一1)=e一1十e2=f (1),,0<12<1<2,12)<1)<2),即m<p<n,故选C. 5.A由函数)有且仅有一个零点，得方程x)=0在(0，十∞)上只有一个 解，即a=x-xlnx,x>0只有一个解，令g)=x一xnx,x>0,则g′()=一n x,当x∈(0,1)时，g'(x)>0,函数gx)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'(x) <0,函数g(x)单调递减，且g(1)=1,作出函数g(x)的图象如图所示，则当a≤0 或a=1时，x)=0在(0，十∞)上只有一个解，故远A 2 0 1245 -] -2 6.C设g(x)=f(x）ex,则g'(x)=f'(x)一f(x)ex,又x)>f(x)在 R上恒成立，所以g'()=f'(x)一f(x)ex<0在R上恒成立，所以函数gx) =f(x)ex在R上单调递减，则g(2)<g(1),即f(2)e2<f(1)e=1,所以f (2)<c2.故选C. 7.B设fx)=ex,则f(x)=ex(x-1)x2,当x∈(0,1)时，fx)<0, 则fx)在(0,1)上为减函数，，x2<2x,.er2<e2r,则ex2x2<e2x2=(exx)2,故b >c.又0<xr2<x<1,.x2>x),则2exx2>exx,故c>a,所以a<c<b,故选 B 8.A因为函数y=x2+1与函数y=一x2一1的图象关于x轴对称，所以根 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 据已知得函数y=a一2lnx(le≤x≤e)的图象与函数y=一x2一1的图象有交点，即 方程a一2lnx=-x2-1在f1e,e上有解，即a=2nx一x2-1在f1e,e上有解. 令g(x)=2lnx-x2-1,x∈le,e,则g'(x)=2x-2x=2-2x2x=2(1-x2)x, 所以g(x)在f1e),l)上单调递增，在[1，e]上单调递减，故当x=1时，gx)取得 最大值g(1)=-2.由于g(le)=-3-le2,g(e)=1-e2,且-3-le2>1-c2,所以 1-e2≤a≤-2.故选A 9.CDx)=一x21nx,.该函数的定义域为(0，+o),f(c)=一2xnx一x =一2h+1.当0<x<e2时，f>0,此时函数m单调递增，当x >心2孔时，/付<0，此时函数)单调递减，在区间(0，十)内)有唯一的极 大值也是最大值，r一e2引)=-。ne2)-2e,故B透项辑误，C选 项正确；当0<x<1时，lnx<0,此时x)=一x2nx>0,A选项错误；由) 一xnx=0,可得lnx=0,解得x=1,当x一0+时，x)→0，当x→+时，x) 一一∞，fx)hmx=12e>0,故D选项正确.故选CD 10.BCD.32-2x)为偶函数，∴.可得32-2x)=32+2x),32-x) =32+x),∴.(x)的图象关于直线x=32对称，设x)=sin(一元x)十1，则(32)=2 ≠0，故选项A错误：g(12十x)为奇函数，g(12-x)=一g(12十)，函数g (x)的图象关于点(12,0)对称，∴·g(12)=0,故选项B正确：x)的图象关于直线 x=32对称，32-x)=32+x),且一f(32-x)=f(32十x),∴.f(1)十f(2) =0,即g(1)+g(2)=0,故选项C正确：易知(-12)+f(72)=0,∴g(-12) +g(72)=0,故选项D正确.故选BCD. 11.ABD设x)=lnxx,f(x)=1一lnx2,当x∈(0，e)时，f(x)>0,当 x∈(e,十∞)时，f(x)<0,所以x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o)上单调递 减.对于A,πe<e-ln元e<lne-eln元<lne中lmrr<lnee,由x)在(e,十 ∞)上单调递减，可得元)<e),故A正确：对于B,210<10÷ln210<n10 ÷10ln2<ln10en2<1n10r10)1m22<1210e2n24<f12l0÷1m44<,由f (x)在(e,+∞)上单调递减，可得4)<10)，故B正确；对于C,log2232022 <20222023÷ln2022n2023<20222023÷lm20222022<1n20232023,由fx)在(e, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联隔+敷辅专家 +∞)上单调递减，可得f2022)>f2023),故C错误；对于D,3ln2 <42台3n24r2)<1ealn84r(2)<lnee-2))24r(2)<lnee台<lnee台<lnee,由 x)在(e,十o)上单调递减，可得22)<e),故D正确.故选ABD 12.AD设g(x)=f(x)x,则g(x)=nx,函数g(x)单调递增，故g (x2)>gx1),即f(x2)x2>f(xl)x1,∴x2)>x),A正确；设hx)=x)十 x,则h(x)=lnx十2，不是恒大于零，B错误；，)=xnx,f(w)=lnx+1, 不是恒小于零，C错误：当nx>一1时，f(x)=nx十1>0，函数x)单调递增， 故(x2一x)x2)-x)]=)+xx2)-xx)-xx2)>0,即xx)十xf (x3)>xfx)+xx2),又f(x2）x2=lnx2>f(xl）xl=ln1,∴.xx2)>x), ∴)十xx2)>2x1),D正确.故选AD 13.解析：令gx)=)-1=e-ex-2x,定义域为R,且g(-x)=ex-e +2x=一g(x),所以g(x)=x)一1=e-ex-2x为奇函数，f2x一3)十x)>2变形 为2x-3)-1>1-fx),即g2x-3)>-g(x)=g(-x).因为g'(x)=e+ex-2 ≥2ex·e一x-2=0,当且仅当c'=e一*，即x=0时，等号成立，所以g(x)=f (x)一1=e-ex-2x在R上单调递增，所以2x一3>一x,解得x>1,所以不等 式的解集为(1，十∞). 答案：(1，十∞) 14.解析：由题意知x)=3lnx一kx+(x>0),则f(x)=3x一k一kx2,x) 在定义域内为减函数，则当x>0时，f(x)≤0恒成立，可得k≥(31x)ax,因为x >0,所以x十1x≥2，当且仅当x=1时等号成立，则31x≤32，故k≥32，即实数 k的最小值为32. 答案：32 15.解析：.x)=-12x2+ae(aR),∴.(x)=-x十ae*,由(c)=0, 得a=xex,令gx)=xex,则g'()=1-xex,当x=1时，g'()=0,当x∈（一 ∞，1)时，g'(x)>0,当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0,∴.gx)max=g(1)=le, 当0<a<1e时，(x)=0有两个不等实根1，x2(0<x<1<x2),.当m=x22时， aex1=x1,aex2=x2,)得a=ln22,若x1≤x22,则0<a≤ln22. 答案：as4 alcol0,flm22) 16.解析：因为g(x)=x2+2,x1∈[一1,2]，所以g()∈[2,6]，令x)=t, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则a=x十t-2ex,令hx)=x十t-2ex,则h'(x)=3-t-xex,得hx)在(-o,3-t) 上单调递增，在(3一t,十∞)上单调递减，又x→一∞时，h(x)→一∞，又x一十∞ 时，(x)→0，h(3一0=1e3-1,因为对任意的x1∈[一1,2]，总存在至少两个不同 的x∈R使得g(x)=fx2),所以当t=g(x)∈2,6时，0<a<1e3-t恒成立，故 0<a<le. 答案：(0，le) 17.解：(1)证明：当a=1时，x)=e-1一x,定义域为R, 则'(x)=ex一1， 由()>0，得x>0,由(x)<0,得x<0, 所以w)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以0是x)的极小值点，也是x)的最小值点，即x)mm=O)=0,所以f (x)≥0 (2)由fx)≥x2x≥0)，得ax≤e-1-x2, 当x=0时，上述不等式恒成立， 当x>0时，a≤ex-1-x2x,令gx)=ex-1-x2ax(x>0), 则g'(x)=(ex-2x)x-(ex-1-x2)x2=(x-1）(ex-x-1)x2, 由(1)可知，当x>0时，er-x-1>0, 所以由g'(x)<0,得0<x<1,由g'(x)>0,得x>1, 所以gx)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以1是g(x)的极小值点，也是g()的最小值点， 即g(x)mm=g(1)=e-2,所以a≤e-2, 所以实数a的取值范围为（一∞，c一2]. 18.解：(1)/x)定义域为(0，+∞)， 且由x)=ax-lnx-(1+ln2),得f(x)=a-1x, 当a≤0时)<0，∴x)在(0，十∞)上单调递减， 当a>0时，fx)=ca-1x=1ax, .当x>la时，(x)>0,即x)在(la,十o)上单调递增： 当0<x<la时，f(x)<0,即x)在(0,1a)上单调递减. (2)证明：由(1)知，当a=2时，x)在(0，I2)上单调递减，在(12，+∞)上单 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 调递增， 故x)≥12)=0，即有nx≤2x-1-ln2, ∴.ln1<2-1-ln2=1-n2, ln2<4-1-n2=3-n2, ln3<6-1-ln2=5-n2, In n<2n-1-In 2, 以上各式相加得ln1+ln2+n3+…+lnn<[1十3+5+…+(2n-1)】一nln2, 即ln(1X2×3×…×n)<n2-ln2.(n∈N 19.解：(1)由a=0,得fx)=2x-2lnx,此时e)=2e-2,f(x)=2-2x, 则f(e)=2-2e,故所求切线方程为y-(2e-2)=(2-2e)x-e),即y=(2-2e) 次 (2)由fx)=a2+2(1-a)r-2nx, 得f(x)=2ax+2(1-a)-2x=(x-1)(2ax+2)x, ①当a=0时，f(x)=2x-2x,令f(x)<0,解得x∈(0,1)，令(x) >0,解得x∈(1，+∞)，则x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+ ) ②当a>0时，令(x)=0,解得x=1或x=一1a(舍去)， 当x∈(0,1)时f(x)<0,当x∈(1，+∞)时，(x)>0, 则x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)： ③当a<-1时，令x)=0,解得x=1或x=一la, 当x∈(0，-la)U(1,+∞)时，f(x)<0, 当x∈(-1a,1)时，f(x)>0, 则x)的单调递减区间为(0，一la)和(1，+∞)，单调递增区间为（一1a,1): ④当a=-1时，(x)=-2(x-1)2x, 则x)的单调递减区间为(0，十∞)： ⑤当-1<a<0时，令(w)=0,解得x=1或x=一la, 当x∈(0,1)U(-1a,+∞)时，f(c)<0, 当x∈(1，-1a)时，f(x)>0, ·独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 则x)的单调递减区间为(0,1)和（一1a,+o),单调递增区间为(1，一1a. 综上，当a≥0时，单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，十∞)： 当a<一1时，单调递减区间为(0，一la)和(1，十o),单调递增区间为（一1a, 1): 当a=一1时，单调递减区间为(0，十∞)： 当-1<a<0时，单调递减区间为(0,1)和（一1a,十∞），单调递增区间为(1， -1a). 20.解：(1)x)的定义域为(0，十∞)，f(x)=-1x2+bx=一1+bx2. ①若b≤0，则f(w)<0,x)的单调递减区间为(0，+∞)，无单调递增区间. ②若b>0,由()<0，得0<x<1b,由()>0，得x>1b,故x)的单 调递减区间为(0,1b),单调递增区间为(1b,十∞). (2)证明：由b=1,结合(1)知x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递 增， ,)有两个不同的零点1，x2,不妨设x<x2, .0<x<1<x2,且1)=1-a<0,即a>1, '.'h(x)=Ix-aex-1, 在(0，+∞)上h'(x)=-1x2-aex-1<0, :在(0，十)上是减函数且图象连续不断，又M1a)=a-ae-1=a a-e->0,h1)=1-a<0, .x)有唯一零点x0且la<xo<1,则2xo<2, 要证明灯十2>2xo,只需证明灼十2>2，只需证明2>2-M,w在(1， 十∞)上单调递增，x2,2一x∈(1，+∞)，∴.只需证明x2)>2-),,x)=f (x2)=0,∴.只需证明)>2一x),只需证明1)一f2一)>0，令p(x)=)一/ (2一x),只需证明p(x)>0=p(1),只需证明px)在(0,1)上单调递减， f(x)=x-1x2,∴.当0<x<1时，p'x)=f(x)+f(2-x)=-4(x-1) 2x2(x一2)2<0，即(x)在(0,1)上单调递减， .十x2>2x0 ·独家授权侵权必究·