周测卷(5) 导数的简单应用-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(五)　导数的简单应用 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋2，则f(2)＝(　　) A．－2 B． C．6 D．14 2．函数f(x)＝ex的图象在点(0，f(0))处的切线方程是(　　) A．y＝x B．y＝x－1 C．y＝x＋1 D．y＝2x 3．设函数f(x)＝xex＋1，则(　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 4．已知函数f(x)＝x3－3x－1在区间[－3，2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝(　　) A．20 B．18 C．3 D．0 5．已知定义在(a，b)上的函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)、g′(x)的图象如图所示，g′(x)的图象在x2处与f′(x)的图象相切，则关于函数h(x)＝f(x)－g(x)的判断正确的是(　　) A．在区间(x1，x2)上先增后减 B．x2为极小值点 C．在区间(x1，x3)上单调递减 D．有1个极大值点，1个极小值点 6．若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－8)∪(0，＋∞) C．[0，4] D．(－8，0) 7．若函数y＝cos x＋ax在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 8．已知a＝ln ＋，b＝ln ＋，c＝ln ＋，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知f(x)＝xex，x∈R，则(　　) A．f′(x)＝(x－1)ex B．曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线斜率为1 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为－ 10．(2024·永州适应性考试)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)有极大值，没有极小值 B．f(x)有极小值，没有极大值 C．函数f(x)与y＝－x＋2的图象有两个交点 D．函数g(x)＝f(x)－有两个零点 11．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0＜r＜2)，设圆台的体积为V，则下列说法中正确的是(　　) A．当r＝1时，V＝ B．V存在最大值 C．当r在区间(0，2)内变化时，V逐渐减小 D．当r在区间(0，2)内变化时，V先增大后减小 12．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是(　　) A．ln 2＜ B．ln 3＜ C．ln π＞ D．＞ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f(x)＝x2＋2x＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________． 14．已知函数f(x)＝x3－x的值域为，则f(x)的定义域可以是________．(写出一个符合条件的即可) 15．若x＝1是函数f(x)＝(x2＋ax－5)ex的极值点，则f(x)在[－2，2]上的最小值为________． 16．已知函数f(x)＝ln x－a，若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数f(x)＝x3－4x＋4. (1)求函数f(x)的极值； (2)求函数f(x)在区间[0，4]上的最大值和最小值． 18.(10分)已知函数f(x)＝mex－－－1. (1)当m＝0时，求f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈(0，＋∞)，均有f(x)≥0，求实数m的最小值． 19．(10分)已知函数f(x)＝xex－ax(a∈R)． (1)若x＝0是函数f(x)的极小值点，求实数a的值； (2)若y＝f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围． 20.(10分)(2024·辽宁省实验中学期中)已知函数f(x)＝ex－cos x－ax2. (1)若a＝－1，判断函数f(x)的零点个数，并证明； (2)若x＝0不是函数g(x)＝f(x)－x的极值点，求实数a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 周测卷（五）导数的简单应用 1.Cf(x)=3x2-2f(1)x,则f(1)=3-2f(1)片(1)=1，则x)=x3-x2 +2,2)=23-22+2=6.故选C. 2.C由fx)=e,得f(x)=e*,则f(0)=e0=1,又f0)=1,∴.函数fx) =c的图象在点(0，O)处的切线方程是y=x十1，故选C. 3.D由题意得，()=(x+1)e,令x)=0,得x=一1，当x∈(-∞， -1)时，f(x)<0,当x∈（一1，+∞）时，f(x)>0,则x)在（一∞，一1）上单调 递减，在（一1，十∞）上单调递增，所以x=一1为x)的极小值点，故选D 4.A由题意知：(x)=3(x一1)x十1)，x)在[一3，一1)上单调递增，在 [一1,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，x)摄大值=一1)=1，x)极小值=f (1)=-3.又-3)=-19,2)=1，∴.M=1,N=-19,∴.M-N=1-(-19)=20, 故选A. 5.D因为h'(x)=f(x)一g'(x令h'(x)=0,解得x=x1,x=x2,x=x3, 由图象可知：h(x)在(1，x2)上单调递增，在(x2,)上单调递增，则x2非极值点， hx)在(，)上单调递增，x)的极大值点为3，极小值点为1，故选D. 6.A由题意知a=一x3十3x2有且只有一个根，即函数y=a与g(x)=一x3 +3x2的图象有且只有一个交点，g'()=-3x2+6x=一3xx一2)，.g(x)在( ,0)和(2，+∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数，又g(0)=0,g(2)=4,所以 a>4或a<0,故选A 7.D由已知得y'=一sinx十a≥0，即a≥sinx,对于一fπr2)上恒成立， ∴a≥1，故选D 8.A构造函数x)=lnx十1一x,f(x)=1x一1=1一xx,当0<x<1时，f '()>0,x)单调递增，所以12020>12021)>12022)，即a>b>c.故选A. 9.BCD对于选项A,因为x)=xe*,所以子(x)=(x十1)e,故A不正确： 对于选项B,曲线y=x)在点(0,0)处的切线斜率为f(0)=1ש=1，故B正确： 对于选项C,令(x)=(x+1)e>0,解得x>一1，所以fx)的单调递增区间为 (一1，十∞)，所以x)在(0，十∞)上单调递增，故C正确：对于选项D,因为f (x)在（一∞，一1）上单调递减，在（一1，十∞）上单调递增，所以x)的最小值为f (-l)=-le,故D正确.故选BCD. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■b2XXK.com● 您身边的互联网+教辅专家 10.ADfx)=x+lex,则f(x)=ex-exr(x+1)(ex)2=-xex,所以当x >0时，f(x)<0,x)单调递减，当x<0时，(x)>0,x)单调递增，所以 (x)在x=0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误，根据x)的单调性，画 出函数x)与y=一x十2的图象如图所示， x)=+1 e -1/0 =-x+2 由图可知，函数)与y=一x十2的图象只有一个交点，故C错误.画出函 数x)与y=12023的图象如图所示， t)=x+l )-2025 -170 由图可知，函数x)与y=12023的图象有两个交点，则函数g(x)=x)一12023 有两个零点，故D正确.故选AD 11.ABD设圆台的上底面的圆心为O1,下底面的圆心为O,点A为上底 面圆周上任意一点，圆台的高为h,连接OO1,OA,OA,则h=OO1=OA2一O1A2 =4-r2,所以V=13(4元+4n·πr2+元2)4-r2=T3(2+2r+4)4-r2 (0<<2).当r=1时，=r3×(1十2+4)X3=3)3玩，故A正确：V=π3· -3r3-4r2+4r+814-r2),设)=-3r3-42+4r+8,则()=-92-8r+ 4,由()=0可得92+8r-4=0,解得n=13)9,2=13)9,易知n2∈(0,2)， 且当r∈(0,2)时，(r)>0,当r∈(2,2)时，f)<0,所以r)在(0，)上单 调递增，在(2,2)上单调递减，又0)=8,1)=5,2)=一24，所以存在%∈(1， 2),使得%)=0，当r∈(0,0)时，r)>0,即>0，当r∈(o,2)时，f ()<0,即V'<0,所以V=π32+2+4)4一r2在(0,0)上单调递增，在(o, 2)上单调递减，故B,D正确，C错误.故选ABD. 12.ABD令x)=lnx-xe,则f()=lx-le,当0<x<e时，(x) >0,当x>e时，(x)<0,所以x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o)上单调递 减，故x)=fe)=lne-ee=0.由2)=ln2-2e<0,得ln2<2e,故A正确：f (3)=ln3一3e<0,得ln3<3e,故B正确：π)=ln元-re<0,得lnπ<re,故 C错误；对于D,令g(x)=ln,则g'(x)=1一lnxx2,当0<x<e时，g'(x) ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 ■:ZXXK.c0m 您身边的互联网+教辅专家 >0,当x>e时，g'(x)<0,所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调 递减，由e<3<π，得g(3)>g(π)，即1n33>ln,化为ln3nn>3r,故D 正确，故选ABD 13.解析：由x)=x2+2x+lnx,得f()=2x+2+lx,所以切线的斜率为 (1)=2+2+1=5,又1)=12+2+n1=3,所以切线方程为y-3=5(x一1)， 即5x-y-2=0. 答案：5x一y-2=0 14.解析：(x)=x2-1,令(x)=0可得x=一1或1，所以当x<-1或x >1时，f(x)>0,当一1<x<1时，(x)<0,故x)在(-∞，一1)和(1，+∞) 上单调递增，在（一1,1）上单调递减，且-1)=23,1)=一23，由此可知定义 域可以是[一1,1]（答案不唯一）. 答案：[一1,1]（答案不唯一） 15.解析：f(x)=(2x+aex+(2+ax-5)e*=e'[x2+(a+2)x+a-5],则f (1)=c(2a-2)=0,解得a=1,所以fx)=(x2+x-5)e,则f(x)=c'(x2+3x一4) =ex+4)x-1).令(x)>0,得x<-4或x>1;令f(x)<0,得-4<x<1 所以fx)在[一2,1)上单调递减；在(1,2]上单调递增.所以fxm=1)=-3e. 答案：-3e 16.解析：若fx)<x2在(1，十∞)上恒成立，则1nx一a<x2在(1，十∞)上恒 成立，即lnx一x2<a在(1，+∞)上恒成立，设h(x)=nx一x2,则h'()=1x-2x =1一2x2x,当x>1时，h'(x)<0,所以(x)在(1，+∞)上单调递减，则h (x)<(1)=n1一1=一1，则a≥-1，即实数a的取值范围为[-1，+∞). 答案：[一1，十∞) 17.解：'()=x2-4,令()=0，解得x=-2或x=2. (1)当x变化时，x),()的变化如下表： (-∞，-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f() 0 0 Ax) 283 -43 故x=一2时，函数取得极大值283，x=2时，函数取得极小值一43. (2)当x在[0,4上变化时，)，(x)的变化如下表： ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网±教辅专家 0 (0,2) 2 (2,4) 4 田) 0 Ax) 4 -43 283 故x=4时，函数取得最大值283， x=2时，函数取得最小值一43 18.解：(1x)的定义域为(0，十∞)，当m=0时，x)=一lnxx一1x一1，则 ()=lnxx2,当x∈(0,1)时，(x)<0,x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1， 十∞)时，f(x)>0,w)在(1，十∞)上单调递增，所以x)的单调递减区间为0， 1),单调递增区间为(1，+∞). (2)因为对任意的x∈(0，十∞)，x)≥0恒成立， 即m≥x十lnx+lxex恒成立， 令g(r)=x十lnx+lxex,则g'()=-(x+l)(x十lmx)x2ex, 令hx)=x十lnx,则h(x)在(0，十o∞)上单调递增， 因为h1e)=1e-1<0,h1)=1>0, 所以存在xo∈(le,I),使得hxo)=xo十lnxo=0 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,g'(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(xo,+∞)时，h)>0,g'(x)<0,g(x)单调递减， 由xo十lnxo=0,得xo=-lnxo,则exo=e一nxo=lx0 所以g(xnmx=go)=x0+lnx0+lx0ex0=1, 所以m≥1，故m的最小值为1. 19.解：(I)由x)=xe-ax,得(x)=(1十x)ex-a, x=0是函数x)的极小值点， f(0)=1一a=0,解得a=1. 当a=1时，fx)=xex一x,(x)=(1+x)e-1,令h(x)=f(x),则h'(x)= (x十2)，由h'(x)>0,得x>一2，则fx)在（一2，+∞）上单调递增，而(0) =0. ∴.当x∈(-2,0)时，(x)<0, 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0, x)在（一2,0）上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敷辅专家 ∴x=0是函数x)的极小值点，满足题意，∴a=1. (2),y=x在R上是增函数， (x)≥0在R上恒成立， ∴.a≤(1十x)er在R上恒成立. 令gx)=(1十x)e,则g'(x)=(x+2)e, 当x∈（一∞，一2）时，g'()<0,g(x)单调递减， 当x∈(-2，十∞)时，g'(x)>0,gx)单调递增， ∴gr)有极小值也是最小值，为g(一2)=一le2, 故a≤一le2,即实数a的取值范围是avs4 alcol(一∞，一/1e2) 20.解：(1)(x)有两个零点，证明如下： 当a=-1时，fx)=er-cosx十x2, f(x)=ex+sin x+2x, 令x)=子(x),则h'(x)=e+cosx十2>0， 所以(x)在R上单调递增， 又f(0)=1>0,f(-1)=e-1-sim1-2<0, 所以存在x∈（一1,0），使得f(xo)=0, 所以x)在（一°，x0)上单调递减， 在(xo,十∞)上单调递增. 因为0)=0，o)≤0)=0， -1)=e1一cos1+1>0,所以fx)有两个零点 (2)因为g(x)=fx)一x,所以g(x)=ex-cosx一ar2-x, 所以g'(x)=er+sinx-2ax-1,g'(0)=0 令m(x)=g'(x),则m′(x)=ex+cosx-2a 令c)=m'(x),则n'(x)=e一sinx, 当x∈(-x2,0)时，cr>0>sinx, 当x∈(0，x2)时，e>1>sinx,又n'(0)=1>0, 所以当x∈(-2，r2)时，n'(x)>0, 即m'(x)在（一卫2，n2)上单调递增. 若m'(0)=0,则a=1,所以当x∈（一π2,0）时，m'(x)<0,当x∈(0，π2) ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 时，m'x)>0,所以g'(x)在（一n2,0)上单调递减，在(0，n2)上单调递增， 所以当x∈(-π2，π2)时，g'(x)≥g'(0)=0, 所以gx)在（一r2,π2）上单调递增， 所以x=0不是函数g(x)的极值点。 若a>1,则m'(0)<0,此时若m'(2)>0, 则存在∈(0，”2)，使得m’(心)=0， 若m′（π2）≤0，取=r2, 则当x∈(-2，)时，m'(x)<0, 所以g'(x)在（一x2,x)上单调递减， g'()与g(x)随x的变化情况如下表： (-r2,0) 0 (0,) g'(x) 十 0 g(x) 单调递增 极大值 单调递减 故x=0是函数g(x)的极大值点，不符合题意， 若a<1,同理可得x=0是函数g(x)的极小值点，不符合题意. 综上，a的值为1. ◆独家授权侵权必究·