周测卷(4) 函数图象、函数与方程及其应用-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(四)　函数图象、函数与方程及其应用 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知定义域为[0，1]的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(－x＋1)的图象是(　　) 　　 2．在平面直角坐标系中，若直线y＝2a(a为常数)与函数y＝|x|－1的图象只有一个交点，则实数a的值为(　　) A．－1 B．－ C．0 D． 3．叶广泥是一种相对新兴的有多孔隙结构特点的除甲醛材料，它有微小的孔隙能够收纳甲醛、甲苯等有害气体分子，因此是除甲醛的一种新材料，用来除甲醛基本上立竿见影．经研究发现，叶广泥除甲醛的量Q与叶广泥的质量m的关系是Q＝2log2，当除甲醛的量为8个单位时，其质量m为多少个单位(　　) A．2 B．2log2 C．160 D．6 4．已知函数f(x)＝xsin x，则其大致图象是下列图中的(　　) 　　 5．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属．若当废水中该重金属含量低于最初的4%时，至少需要经过该装置的次数为(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 7．已知函数f(x)＝(x＋1)2－3，若函数g(x)＝仅有1个零点，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，1] C．(－∞，4] D．(－∞，e] 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图象为(　　) 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．函数f(x)＝|x|＋(a∈R)的图象可能是(　　) 10．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是(　　) A．x＝10时费用之和有最小值 B．x＝45时费用之和有最小值 C．最小值为850万元 D．最小值为360万元 11．已知函数f(x)＝2x－logx，且实数a，b，c(a＞b＞c)满足f(a)f(b)f(c)＜0，若x0是函数f(x)的一个零点，则下列不等式中可能成立的是(　　) A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜b D．x0＜c 12．已知函数f(x)＝(m∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．对任意m∈R，函数f(x)都有零点 B．当m≤－3时，对任意x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0成立 C．当m＝0时，方程f[f(x)]＝0有4个不同的实数根 D．当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0有2个不同的实数根 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]的所有零点之和为________． 14．据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成了重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4000亿只．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 15．设min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，则函数f(x)＝min的最大值为________． 16．已知函数f(x)＝若实数a，b，c，d互不相等，且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，则abcd的取值范围为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)设a∈R，已知函数f(x)＝ax＋. (1)若a＝1时，解不等式f(x)＋1＜f(x＋1)； (2)若f(x)在区间[1，2]上有零点，求实数a的取值范围． 18．(10分)某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本2万元，每加工x万千克该农产品，需另投入成本f(x)万元，且f(x)＝已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完． (1)求加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式； (2)求加工后的该农产品利润的最大值． 19.(10分)设函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，函数g(x)＝3ax－4x(x∈R)． (1)求g(x)的解析式； (2)若方程g(x)－b＝0在x∈[－2，2]上有两个不同的解，求实数b的取值范围． 20．(10分)a，b∈R，若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，反之，若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)＋f(2a－x)＝2b.已知函数g(x)＝. (1)证明：函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称； (2)已知函数h(x)的图象关于点(1，2)对称，当x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1.若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(四)　函数图象、函数与方程及其应用 1．B　因为f(－x＋1)＝f[－(x－1)]，先将f(x)的图象沿y轴对折得到f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(－x＋1)的图象，只有选项B符合．故选B. 2.B　如图所示，当2a＝－1，即a＝－时，直线y＝2a与函数y＝|x|－1的图象只有一个交点．故选B. 3．C　由题意有：8＝2log2，所以log2＝4，所以24＝，所以m＝24×10＝160.故选C. 4．C　因为f(x)＝xsin x定义域为R，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x), 所以函数f(x)是偶函数，故排除A，D；结合选项B，C，只需求解函数f(x)与直线y＝x在x＞0时交点的横坐标，令xsin x＝x，x≠0，解得sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)与直线y＝x在x＞0时的第一个交点的横坐标为，结合函数图象可知，选项C符合题意．故选C. 5．D　当x＞0时，f(x)＝0⇒ln x＝x2－2x，则函数f(x)的零点个数为函数y＝ln x与函数y＝x2－2x，x∈(0，＋∞)的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知，当x＞0时，函数f(x)的零点有两个，当x≤0时，f(x)＝x2－2x－3＝0⇒x＝－1，即当x≤0时，函数f(x)的零点有一个．综上，函数f(x)的零点有三个．故选D. 6．D　设废水中最初该重金属的含量为 a，则经过x次该装置过滤后，该重金属含量为a×(1－20%)x＝a()x， 由题意知，a()x＜0.04a，所以()x＜0.04，两边取对数，得x＞＝≈14.4，所以x取最小整数为15.故选D. 7．A　令h(x)＝故g(x)＝0即h(x)＝kx，作出函数h(x)的大致图象如图所示， 观察可知，临界状态为直线y＝kx与曲线y＝h(x)在(0，h(0))处的切线，当x≥0时，h(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，则h′(x)＝2x＋2，所以h′(0)＝2，所以曲线y＝h(x)在x＝0处的切线的斜率为k＝2，所以k≤2.故选A. 8．A　根据题意，当0≤t≤1，△AMN的面积为f(t)＝·2t·t＝t2.当1＜t≤2，△AMN的面积为f(t)＝×2×[t－(2t－2)]＝2－t；当2＜t≤3，△AMN的面积为f(t)＝×2×[(2t－4)－(t－2)]＝t－2；当3＜t≤4，△AMN的面积为f(t)＝×[2－(2t－6)][2－(t－2)]＝(4－t)2.所以f(t)＝所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图象为选项A.故选A. 9．ABD　根据题意，当a＝0时，f(x)＝|x|，其图象与选项A对应；当a＞0时，f(x)＝在区间(0，＋∞)上，f(x)＝x＋，其图象在第一象限先减后增，在区间(－∞，0)上f(x)为减函数，其图象与选项B对应；当a＜0时，f(x)＝在区间(0，＋∞)上f(x)为增函数，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x＋＝(－x)＋，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项D对应．故选ABD. 10．BD　一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，因为运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为×9＋4x≥2 ＝2×180＝360，当且仅当＝4x，即x＝45时，等号成立，所以当x＝45时，一年的总运费与总储存费用之和最小，为360万元，故选BD. 11.ABC　函数f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上单调递增，其大致图象如图所示．因为实数a，b，c(a＞b＞c)满足f(a)f(b)f(c)＜0，所以f(a)，f(b)，f(c)都小于0，或有一个小于0，另外两个大于0，故c＜b＜a＜x0或c＜x0＜b＜a，则A，B，C中不等式可能成立，D中不等式不可能成立．故选ABC. 12．AC　对于A，作出函数y＝ex－1和y＝－(x＋2)2的图象如图①所示，当m＞0时，函数f(x)只有1个零点，当－2＜m≤0时，函数f(x)有2个零点，当m≤－2时，函数f(x)只有1个零点，故A正确；对于B，由图①可知，当m≤－3时，函数f(x)单调递增，即对任意x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0成立，故B错误；对于C，当m＝0时，令f(t)＝0得t1＝－2，t2＝0，当f(x)＝t1＝－2时，方程有两个解，当f(x)＝t2＝0时，方程有两个解，所以方程f[f(x)]＝0有4个不同的实数根，故C正确；对于D，当m＝0时，方程f(x)＋f(－x)＝0的根等价于f(x)＝－f(－x)的根，令h(x)＝－f(－x)，作出f(x)的图象如图②中实线所示，作出h(x)的图象如图②中虚线所示，由图可得函数f(x)的图象与h(x)的图象有三个交点，其中包括点(0，0)，即方程f(x)＋f(－x)＝0有3个不同的根，故D错误．故选AC. 　 ①　　　　　　　　　② 13．解析：当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝； 当x＞0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2； ∴函数y＝f[f(x)]的所有零点为－2，，0，2，∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝. 答案： 14．解析：由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍， 设每天的增长率为a，则有(1＋a)15＝10，解得a＝－1，设经过x天后，蝗虫数量会达到4000亿只， 则有1×(1＋a)x＝4000，所以10＝4000，两边同取以10为底的对数lg 10 ＝lg 4000， 故＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，所以x＝54，故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只． 答案：54 15．解析：将两个函数图象画在同一坐标系中，由题意，可得f(x)图象如图所示： 当x＝时，f(x)max＝1. 答案：1 16．解析：由题意，实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，设|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝m， 可得|f(x)|＝m有四个不同的根a，b，c，d，不妨设a＜b＜c＜d，作出函数y＝m与函数y＝|f(x)|的大致图象，如图所示，则有a和b为y＝m与|f(x)|＝|x＋4|交点的横坐标， c和d为y＝m与|f(x)|＝|ln x|交点的横坐标， 可得－(a＋4)＝b＋4，即a＋b＝－8，又由－ln c＝ln d， 即ln cd＝0，可得cd＝1，由图象可知，－4＜b＜0， 所以abcd＝(－b－8)b＝－b2－8b＝－(b＋4)2＋16∈(0，16)． 答案：(0，16) 17．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x＋， 不等式f(x)＋1＜f(x＋1)， 即为x＋＋1＜x＋1＋， 即＜，故＜0， 得－2＜x＜－1，所以不等式的解集为(－2，－1)． (2)由题意，令f(x)＝0，即方程ax＋＝0在区间[1，2]上有实数解． 整理得a＝－，x∈[1，2]． 由1≤x≤2，得－6≤－x(x＋1)≤－2， －≤－≤－. 所以，实数a的取值范围为. 18．解：(1)当0＜x＜6时， y＝6x－(x2＋x)－2＝－x2＋5x－2. 当x≥6时，y＝6x－(7x＋－27)－2＝－x－＋25. 故加工后该农产品的利润y(万元)与加工量x(万千克)的函数关系式为y＝ (2)当0＜x＜6时， y＝－x2＋5x－2＝－(x－5)2＋， 当x＝5时，y取得最大值； 当x≥6时， 因为x＋≥2＝14，当且仅当x＝7时，等号成立， 所以当x＝7时，y取得最大值11. 因为＜11， 所以该农产品利润的最大值为11万元． 19．解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18， ∴3a＋2＝18⇒3a＝2.∵g(x)＝3ax－4x， ∴g(x)＝2x－4x. (2)由(1)可知方程 g(x)－b＝0即为2x－4x－b＝0，令t＝2x，x∈[－2，2]，则≤t≤4，且方程t－t2－b＝0在上有两个不同的解． 设y＝t－t2＝－(t－)2＋，y＝b，则两函数图象在内有两个交点．画出y＝t－t2，t∈的大致图象，如图所示．由图知当b∈时，方程有两个不同的解． 综上，实数b的取值范围为. 20．解：(1)证明：∵g(x)＝，∴g(－2－x)＝， ∴g(x)＋g(－2－x)＝＋＝8. 即对任意的x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 都有g(x)＋g(－2－x)＝8成立， ∴函数g(x)的图象关于点(－1，4)对称． (2)若对任意的x1∈[0，2]，总存在x2∈[2，4]，使得h(x1)≤g(x2)成立，则h(x)max≤g(x)max. ∵g(x)＝＝4－，易知g(x)在[2，4]上单调递增， ∴g(x)max＝g(4)＝3. ∵x∈[0，1]时，h(x)＝x2－mx＋m＋1，∴h(1)＝2， 即函数h(x)的图象过对称中心(1，2)． 当≤0，即m≤0时，函数h(x)在[0，1]上单调递增． 由对称性知，h(x)在[1，2]上单调递增． ∴函数h(x)在[0，2]上单调递增， ∴h(x)max＝h(2)＝4－h(0)＝3－m≤3，∴m≥0，即m＝0； 当0＜＜1，即0＜m＜2时， 函数h(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增． 由对称性，知h(x)在[1，2－]上单调递增，在[2－，2]上单调递减． ∴h(x)max＝h(0)或h(2－)． ∵0＜m＜2，∴h(0)＝m＋1＜3， 易知h(2－)＝4－h()＝－m＋3＜3， 即0＜m＜2时符合条件； 当≥1，即m≥2时，函数h(x)在[0，1]上单调递减． 由对称性，知h(x)在[1，2]上单调递减． ∴函数h(x)在[0，2]上单调递减， ∴h(x)max＝h(0)＝m＋1≤3，∴m≤2，即m＝2. 综上，实数m的取值范围为[0，2]． 学科网（北京）股份有限公司 $$