周测卷(3) 指数函数、对数函数、幂函数-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(三)　指数函数、对数函数、幂函数 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若ln 2＝a，ln 3＝b，则log818＝　(　　) A． B． C． D． 2．已知f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(log312)的值为　(　　) A． B．12 C． D．－ 3．“ln a＜ln b”是“a＜b”的　(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知a＝log43，b＝log53，c＝log45，则　(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b 5．下列函数中，值域为[0，＋∞)且在定义域上为增函数的是　(　　) A．y＝ln(x2＋1) B．y＝lg(x0.5＋1) C．y＝ex＋e－x－2 D．以上都正确 6．函数f(x)＝(2x－2－x)ln的图象大致是　(　　) 7．已知实数a，b，c满足＝＝－＜0，则a，b，c的大小关系为　(　　) A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 8．已知函数f(x)＝loga(x2－ax＋a)(a＞0且a≠1)，若存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立，则实数a的取值范围是　(　　) A．(1，4) B．(0，1)∪(1，4) C．(0，1) D．[4，＋∞) 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．设函数f(x)＝2x，则对任意的x1，x2(x1≠x2)，以下结论正确的是　(　　) A．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) B．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) C．f(－x1)＝ D．＜0(x1≠0) 10．若a＞b＞1，0＜c＜1，则下列关系式中错误的是　(　　) A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 11．已知实数a，b满足a＝b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜a＜b D．1＜b＜a 12．若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0 C．1＜a＜b D．a＝b 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且当x＞y时，f(x)＞f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数f(x)＝________． 14．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________． 15．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是________． 16．设函数f(x)定义域为R，已知f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x＋1)是奇函数，则使得不等式f[log2(x－3)]＋f(log2x)＞0成立的实数x的取值范围为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知f(x)为二次函数，满足f(0)＝3，f(x＋1)－f(x)＝2x－1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)函数g(x)＝()x，求函数g(f(x))的值域． 18.(10分)已知幂函数f(x)＝(3m2－2m)x在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＝x2－4x＋t. (1)求实数m的值； (2)当x∈[1，9]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围． 19．(10分)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)在区间[2，4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值； (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，求实数k的取值范围． 20.(10分)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＋kf(x)＝0，其中k为整数，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”． (1)若f(x)＝log3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若f(x)＝x2＋4x＋t对任意的实数t∈(－∞，4]，f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(三)　指数函数、对数函数、幂函数 1．B　log818＝＝＝＝.故选B. 2．D　由题意，函数f(x)为R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，即f(x)＝－f(2－x)，且当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，又由f(log312)＝－f(2－log312)＝－f(1－log34)＝－f(log3)＝－3log3＝－.故选D. 3．A　由ln a＜ln b，可得0＜a＜b，则有a＜b，所以充分性成立；当a＜b时，可得a＜b，在a＜b＜0的情况下，ln a＜ln b不成立，所以必要性不成立．故“ln a＜ln b”是“a＜b”的充分不必要条件．故选A. 4．A　首先0＜a＜1，0＜b＜1，因为a＝，b＝，所以a－b＝－＝＞0，所以0＜b＜a＜1，因为c＝log45＞1，所以b＜a＜c.故选A. 5．B　对于A，y＝ln(x2＋1)的定义域为R，在(－∞，0)上，t＝x2＋1是减函数，y＝ln t是增函数，从而得出y＝ln(x2＋1)在(－∞，0)上是减函数，从而在定义域R上该函数不是增函数，故A错误；对于B，该函数的定义域为[0，＋∞)，y＝lg(x0.5＋1)≥lg 1＝0，∴该函数的值域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上，t＝x0.5＋1是增函数，y＝lg t是增函数，∴该函数在定义域上是增函数，故B正确；对于C，y′＝ex－e－x，当x∈(－∞，0)时，y′＜0；当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，∴y＝ex＋e－x－2在定义域R上不单调递增，故C错误；对于D，由A，C错误，得D错误．故选B. 6．C　由f(x)＝(2x－2－x)ln，所以f(x)的定义域是R，又f(－x)＝(2－x－2x)·ln＝－(2x－2－x)ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，且f(2)＝(4－)ln＞0.故选C. 7．C　由＝＝－＜0，得0＜a＜1，0＜b＜1，c＞1，设f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，因为0＜a＜1，所以ea＞1＞a，所以＞，故＝＞，所以f(b)＞f(a)，则b＞a，即有0＜a＜b＜1＜c，故a＜b＜c.故选C. 8．A　根据题意，存在x0∈R，使得f(x)≥f(x0)恒成立等价于函数f(x)存在最小值．当a＞1时，若函数f(x)存在最小值，则t＝x2－ax＋a存在最小正值，所以Δ＝a2－4a＜0，可得1＜a＜4；当0＜a＜1时，若函数f(x)存在最小值，则t＝x2－ax＋a存在最大正值，与二次函数的性质相矛盾，舍去．综上可知，实数a的取值范围是(1，4)．故选A. 9．BC　对于A，f(x1·x2)＝2x1·x2＝(2x1)x2≠2x1＋2x2＝f(x1)＋f(x2)，A错误；对于B，f(x1＋x2)＝2x1＋x2＝2x1·2x2＝f(x1)·f(x2)，B正确；对于C，f(－x1)＝2－x1＝＝，C正确；对于D，当x1＞0时，f(x1)＞1，当x1＜0时，0＜f(x1)＜1，所以＞0，D错误．故选BC. 10．ABD　取a＝3，b＝2，c＝，可得3＞2，故A中关系式错误；3×2＞2×3，故B中关系式错误；log3＞log2，故D中关系式错误；对于C，alogbc－blogac＝lg c·(－)＝lg c·()，∵a＞b＞1，∴1＜bb＜ab＜aa，lg a＞0，lg b＞0，∴＞0，又0＜c＜1，∴lg c＜0，∴alogbc－bloga c＜0，∴alogb c＜bloga c，故C中关系式正确．故选ABD. 11．AC　由题可知，a，b∈[0，＋∞)，设a＝b＝m，则m≥0，画出y＝x与y＝x在[0，＋∞)上的图象如图．由图可知，当m＝0或m＝1时，a＝b；当0＜m＜1时，0＜b＜a＜1；当m＞1时，1＜a＜b.故选AC. 12.ABD　设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，易知f(x)，g(x)在定义域上均是增函数，画出f(x)，g(x)的大致图象如图．根据图象可知当a＝b＝0或a＝b＝1时，f(a)＝g(b)；当0＜a＜b＜1时，f(a)＝g(b)可能成立；当b＜a＜0时，f(a)＝g(b)可能成立．故选ABD. 13．解析：根据f(x＋y)＝f(x)f(y)，可考虑指数函数，由当x＞y时，f(x)＞f(y)，可知该函数是定义域上的增函数，所以函数f(x)＝2x符合题意． 答案：2x(答案不唯一) 14．解析：根据f(1＋x)＝f(1－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝1，则函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1. 答案：1 15．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点(如图)， ∴－lg a＝lg b．即ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，∴abc的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 16．解析：因为f(x＋1)是奇函数，故f(x)图象关于(1，0)对称， 由题设f(1－x)＋f(1＋x)＝0，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x1)＋f(x2)＞0等价于x1＋x2＜2， 因此不等式f[log2(x－3)]＋f(log2x)＞0等价于log2(x－3)＋log2x＜2， 即log2[x(x－3)]＜log24，即x2－3x＜4且x－3＞0， 解得实数x的取值范围为(3，4)． 答案：(3，4) 17．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3， 由f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3－ax2－bx－3＝2x－1，整理可得2ax＋a＋b＝2x－1，所以解得所以f(x)＝x2－2x＋3. (2)由g(x)＝()x，得g(f(x))＝()x－2x＋3，因为g(f(x))＝()x－2x＋3是由y＝()t和t＝x2－2x＋3复合而成，又t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，即t∈[2，＋∞)，y＝()t在R上单调递减，所以y＝()t≤()2＝，又y＝()t＞0，所以y＝()t∈，所以函数g(f(x))的值域为. 18．解：(1)∵f(x)＝(3m2－2m)x为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴解得m＝1. (2)由(1)可得f(x)＝x，当x∈[1，9]时，f(x)的值域为[1，3]，g(x)＝x2－4x＋t的值域为[t－4，t＋45]， ∴A＝[1，3]，B＝[t－4，t＋45]， ∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，且命题q是命题p的必要不充分条件，∴AB，∴，解得－42≤t≤5， 故实数t的取值范围为[－42，5]． 19．解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)， 则对称轴x＝－＝1， 故函数g(x)在[2，4]上为单调递增函数， 所以当x＝2时，g(x)min＝1， 当x＝4时，g(x)max＝9，∴解得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝＝x＋－2， 因为不等式f(3x)－k·3x≥0，在x∈[－1，1]上有解，所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1，1]上有解，设t＝，t∈，所以t2－2t＋1≥k在上有解， 即(t2－2t＋1)max≥k， 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈，对称轴t＝1， 则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]． 20．解：(1)对于函数f(x)＝log3(2x＋m)，x＞－， 由题意可知(－1，1)⊆(－，＋∞)， 则－≤－1，解得m≥2. 因为f(x)＝log3(2x＋m)是(－1，1)上的“1阶局部奇函数”， 等价于关于x的方程f(－x)＝－f(x)在(－1，1)有解， 即log3(－2x＋m)＋log3(2x＋m)＝0， 化简得：m2－4x2＝1，x∈(－1，1)， 所以m2＝1＋4x2∈[1，5)，又m≥2，所以m∈[2，)． 故实数m的取值范围是[2，)． (2)因为f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程f(－x)＋kf(x)＝0恒有解， 即x2－4x＋t＋kx2＋4kx＋tk＝0恒有解， 化简得：(k＋1)x2＋(4k－4)x＋t＋kt＝0， 当k＝－1时，解得x＝0，所以k＝－1满足题意； 当k≠－1时，Δ≥0，即16(k－1)2－4t(k＋1)2≥0对任意的实数t∈(－∞，4]恒成立， 即t(k＋1)2－4(k－1)2≤0对任意的实数t∈(－∞，4]成立，令g(t)＝t(k＋1)2－4(k－1)2， g(t)是关于t的一次函数且为(－∞，4]上的增函数，则g(t)max＝g(4)≤0，即16k≤0，解得k≤0且k≠－1， 综上所述，整数k的最大值为0. 学科网（北京）股份有限公司 $$