周测卷(2) 函数及其性质-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(二)　函数及其性质 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数f(x)＝若f(x)＝－，则x＝(　　) A．0 B．1 C． D．－2 2．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(8)的值为(　　) A．1 B．2 C．0 D．－1 3．若函数f(x)＝是奇函数，则f(a－1)＝(　　) A．－ B．－ C．－2 D．2 4．设函数f(x)＝则满足f(x－1)＜的x的取值范围为(　　) A．(－∞，) B．(－∞，－)∪(0，) C．(－∞，)∪(1，) D．(－∞，)∪(2，) 5．已知函数f(x)＝则f(f(x))＜2的解集为(　　) A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2) C．(1－ln 2，1) D．(1，1＋ln 2) 6．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1，0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b 7．已知定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，则关于x的不等式＞0的解集为(　　) A．(－5，－2)∪(0，＋∞) B．(－∞，－5)∪(0，1) C．(－3，0)∪(3，＋∞) D．(－5，0)∪(1，＋∞) 8．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　) A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．已知f(x)为R上的偶函数，且y＝f(x＋2)是奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(－2，0)对称 B．f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．f(x)的周期为4 D．f(x)的周期为8 10．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，则以下结论正确的是(　　) A．函数f(x)的周期为2 B．f(2021)＝f(2022)＝0 C．点(1，0)是函数f(x)图象的一个对称中心 D．f(x)在[－2，2]上有4个零点 11．函数f(x)为定义在R上的偶函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是周期为4的周期函数 B．f(x)在[－4，－2]上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝2对称 D．f(2024)＝0 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，且y＝f(x－)为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)是周期为3的周期函数 D．f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝－1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(开放题)定义在R上的函数f(x)满足以下两个性质： ①f(－x)＋f(x)＝0，②f(1＋x)＝f(2－x)，则满足①②的一个函数是________． 14．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，则不等式f(2x－1)－f(3－x)≥0的解集为________． 15．已知f(x)为定义在R上的函数，y＝f(x－2)为奇函数，y＝f(2x－1)为偶函数，则 f(i)＝________． 16．设函数f(x)＝若函数f(x)存在最小值，则a的最大值为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－sin x. (1)当x＜0时，求函数f(x)的解析式； (2)解关于m的不等式f(2m)＞f(m－1)． 18.(10分)函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－x2. (1)当x＜0时，求f(x)的解析式； (2)问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 19．(10分)定义在R上的单调增函数f(x)满足，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立． (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若f(1＋2x)＋f(t·3x)＞0对x∈(－∞，－1]恒成立，求实数t的取值范围． 20.(10分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周测卷(二)　函数及其性质 1．C　当0＜x≤2时，f(x)＝cos ＝－，而∈(0，π]，故＝，解得x＝；当－2＜x≤0时，f(x)＝|2x＋1|＝－，方程无解．故x＝.故选C. 2．C　根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，又由f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故T＝4.则f(8)＝f(0)＝0.故选C. 3．A　由f(－x)＝－f(x)，得2a(2x＋2－x)＝2x＋2－x，∴a＝0，f(x)＝，∴f(a－1)＝f(－1)＝－.故选A. 4．C　因为f(x)＝当x－1＞0，即x＞1时，不等式f(x－1)＜可化为(x－1)2＜，解得＜x＜，则1＜x＜；当x－1≤0，即x≤1时，不等式f(x－1)＜可化为x－1＋1＜，即x＜，则x＜；综上，满足f(x－1)＜的x的取值范围为(－∞，)∪(1，)．故选C. 5．B　根据题意，函数f(x)＝ 当x＜1时，f(x)＝2ex－1为增函数，且f(x)＜f(1)＝2， 当x≥1时，f(x)＝x3＋x为增函数，且f(x)≥f(1)＝2， 则函数f(x)在R上为增函数， 设t＝f(x)，若f(f(x))＜2，即f(t)＜2， 则有t＜1，即f(x)＜1，则有2ex－1＜1，解得x＜1－ln 2， 则f(f(x))＜2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 6．D　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2，∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)，∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1，0]上单调递减，∴a＞c＞b，故选D. 7．D　因为定义在R上的偶函数f(x)满足在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)满足在(－∞，0)上单调递减，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0.作出函数f(x)的草图如图，由＞0，得＞0，得＞0，所以或所以或解得x＞1或－5＜x＜0，即不等式＞0的解集为(－5，0)∪(1，＋∞)．故选D. 8．B　∵f(x)是R上的增函数，a＞1， ∴当x＞0时，x＜ax，有f(x)＜f(ax)，则g(x)＜0； 当x＝0时，g(x)＝0； 当x＜0时，x＞ax，有f(x)＞f(ax)，则g(x)＞0. ∴sgn[g(x)]＝∴sgn[g(x)]＝－sgn x．故选B. 9．AD　因为y＝f(x＋2)是奇函数，所以f(－x＋2)＋f(x＋2)＝0，即f(2－x)＋f(2＋x)＝0，故f(x)的图象关于点(2，0)对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称，故A正确，B错误．因为f(x)为R上的偶函数，且y＝f(x＋2)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f[(x＋4)＋4]＝－f(x＋4)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为8，故C错误，D正确．故选AD. 10．ABC　因为定义在R上的奇函数f(x)的图象连续不断，且满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，故A正确；由f(x＋2)＝f(x)，得f(－1＋2)＝f(－1)，即f(1)＝f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝f(－1)＝0，所以f(2021)＝f(1)＝0，f(2022)＝f(0)＝0，故B正确；由f(x＋2)＝f(x)＝－f(－x)，得f(x＋2)＋f(－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；由以上分析可知f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，则f(x)在[－2，2]上至少有5个零点，故D不正确．故选ABC. 11．ACD　因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是周期为4的周期函数，故A，C正确；因为当x∈[0，2]时，f(x)＝3x＋2x－1，所以f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)在[－4，－2]上也单调递增，故B错误；f(2024)＝f(0)＝30＋2×0－1＝0，故D正确．故选ACD. 12．BCD　对于A，函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不是奇函数，故A错误；对于B，定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋)，即f(x－)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－)，又y＝f(x－)为奇函数，所以f(－x－)＝－f(x－)， 所以f ＝－f ，即f(－x)＝－f(x－)，故f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，故B正确；对于C，因为f(x)＝－f(x＋)，所以f(x＋3)＝－f(x＋)＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，故C正确；对于D，由题可得f(0)＝－2，f(1)＝f(－1)＝1，f(2)＝f(－1)＝1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＝0，故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝[f(0)＋f(1)＋f(2)]×674＋f(0)＋f(1)＝－1.故D正确．故选BCD. 13．解析：由①知f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，由②知f(x)＝f(3－x)，即f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)是周期为6的周期函数，因此f(x)是定义在R上周期为6的奇函数，取f(x)＝sin x符合要求． 答案：f(x)＝sin x(答案不唯一) 14．解析：因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为对任意x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，由对称性可知f(x)在(－∞，1]上单调递减．由f(2x－1)－f(3－x)≥0，得f(2x－1)≥f(3－x)，所以|2x－1－1|≥|3－x－1|，即|2x－2|≥|2－x|，解得x≥或x≤0，故不等式的解集为(－∞，0]∪. 答案：(－∞，0]∪ 15．解析：因为y＝f(2x－1)为偶函数，所以f(2x－1)＝f(－2x－1)，所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又y＝f(x－2)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称，所以函数f(x)的周期为4，且f(x)的图象关于点(0，0)对称，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，f(1)＋f(3)＝f(1)＋f(－1)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故(i)＝f(0)＋4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0. 答案：0 16．解析：当x＜a时，函数f(x)＝|x－3－a|＋3a单调递减，所以有f(x)＞f(a)＝|a－3－a|＋3a＝3＋3a，当a≥0时，函数y＝x2－1在[a，＋∞)上单调递增，此时y≥a2－1，因为f(x)存在最小值，所以有3＋3a≥a2－1⇒－1≤a≤4，而a≥0，所以0≤a≤4；当a＜0时，函数y＝x2－1在[a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，此时当x＝0时，函数y＝x2－1有最小值为02－1＝－1，因为f(x)存在最小值，所以有3＋3a≥－1⇒a≥－，而a＜0，所以－≤a＜0，综上所述，－≤a≤4，所以a的最大值为4. 答案：4 17．解：(1)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)－sin(－x)＝－x＋sin x，又f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－x＋sin x(x＜0)． (2)当x≥0时，f′(x)＝(x－sin x)′＝1－cos x≥0， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数， ∴f(2m)＞f(m－1)等价于f(|2m|)＞f(|m－1|)， 即|2m|＞|m－1|，两边平方，整理得(3m－1)(m＋1)＞0， 解得m＜－1或m＞， 故m∈(－∞，－1)∪(，＋∞)． 18．解：(1)当x＜0时，－x＞0， 于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2， 因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2， 即f(x)＝2x＋x2(x＜0)． (2)假设存在正实数a，b，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为， 根据题意，f(x)＝－x2＋2x(x＞0)， 因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 则0＜≤1，得a≥1， 又函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，所以由此得到a，b(1≤a＜b)是方程－x2＋2x＝的两个根， 即(x－1)(x2－x－1)＝0，解方程求得x＝1，x＝， 所以存在正实数a＝1，b＝，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为. 19．解：(1)由题意，函数f(x)满足，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立， 令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0. (2)证明：由题意，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令y＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (3)因为f(1＋2x)＋f(t·3x)＞0对x∈(－∞，－1]恒成立， 即f(t·3x)＞－f(1＋2x)对x∈(－∞，－1]恒成立， 即f(t·3x)＞f(－1－2x)对x∈(－∞，－1]恒成立， 因为f(x)是R上的单调递增函数，所以t·3x＞－1－2x， 即t＞－()x－()x对x∈(－∞，－1]恒成立， 因为函数g(x)＝－()x－()x为单调递增函数， 所以g(x)≤g(－1)＝－， 即实数t的取值范围是(－，＋∞)． 20．解：(1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)＜2等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17)． 学科网（北京）股份有限公司 $$