周测卷(1) 集合与常用逻辑用语、不等式-【高考领航】2025年高考数学总复习四测通关卷

周测卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 (时间：90分钟　满分：120分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|ln(x－2)＜0}，B＝{y∈Z|y＝3sin x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．∅ 2．下列4个命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈(0，＋∞)，()x＜()x B．∀x∈(0，)，()x＜logx C．∀x∈(0，＋∞)，()x＞logx D．∃x∈(1，＋∞)，logx＞logx 3．设全集U＝R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}． 如图所示，则阴影部分所表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤3} C．{x|x≤2或x＞3} D．{x|－2≤x≤2} 4．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A．0＜a＜1 B．0＜a＜2 C．0＜a＜ D．a＞1 5．已知直线m，n，平面α，β，若m⊂α，n⊂α，则“m∥β且n∥β”是“α∥β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a－b的取值范围是(　　) A．[－，] B．[－8，1] C．[－1，8] D．[1，8] 7．(2024·河北邢台六校联考)设a＝，b＝，则下列说法中正确的是(　　) A．＞ B．a2＋b2≥2 C．a－＞b－ D．＞ 8．(2024·山西晋中模拟)已知a，b，c∈R且a＋b＋c＝0，a＞b＞c，则的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，－2] C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分． 9．若{1，3}B⊆{1，3，5，7}，则B可能为(　　) A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，7} D．{1，3，5，7} 10．(2024·哈尔滨三中月考)下列命题为真命题的是(　　) A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＞b，则a3＞b3 D．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd 11．命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．(－3，0) B．(－3，0] C．(－3，－1) D．(－3，＋∞) 12．已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18＜0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27＜0}，则下列命题中正确的是(　　) A．若A＝B，则a＝－3 B．若A⊆B，则a＝－3 C．若B＝∅，则a≤－6或a≥6 D．若BA，则－6＜a≤－3或a≥6 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．集合{x|－1＜x＜3且x∈N}的所有非空真子集的个数为________． 14．已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＜0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________条件．(在充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选一个正确的填入) 15．若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为________． 16．已知正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________． 四、解答题：本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2023·江苏连云港检测)已知集合A＝{x|(x－2)(x－3a－1)＜0}，函数y＝lg的定义域为B. (1)若a＝2，求集合B； (2)若A＝B，求实数a的值． 18.(10分)(2024·湖北部分学校联考)设函数f(x)＝2x2－ax＋4(a∈R)． (1)当a＝9时，求不等式f(x)＜0的解集； (2)若不等式f(x)≥0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围． 19．(10分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围． 20.(10分)(2023·邢台六校联考)(1)设y＝2x2＋4x＋7的最小值为a，求不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0(a∈R)的解集； (2)求关于x的不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0(a∈R)的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案与精析 周测卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式 1．D　由A＝{x|2＜x＜3}，B＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，所以A∩B＝∅.故选D. 2．B　因为∀x∈(0，＋∞)，()x＜()x，故A为假命题； ∀x∈(0，)，()x＜()0＝1，logx＞log＝1，即()x＜logx，故B为真命题； 取x＝，则log＝1，()＜()0＝1， 所以()＜log，故C为假命题； ∀x∈(1，＋∞)，log4x＞log5x＞0，所以－log4x＜－ log5x＜0，即logx＜logx，故D为假命题．故选B. 3．A　由图中阴影部分表示的集合中的元素在集合∁UN中，又在集合∁UM中，即(∁UM)∩(∁UN)，又由M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}，所以图中阴影部分表示的集合为(∁UM)∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}，故选A. 4．B　由“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”，可得(－2a)2－4a＜0，解得0＜a＜1.故选B. 5．B　由m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，m∥β，n∥β，可得α∥β，所以“m∥β且n∥β”推不出“α∥β”，但“α∥β”可以推得“m∥β且n∥β”，所以“m∥β且n∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B. 6．C　设3a－b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，则解得∴3a－b＝(a＋b)＋2(a－b)．∵－1≤a－b≤2，1≤a＋b≤4，∴3a－b＝(a＋b)＋2(a－b)∈[－1，8]．故选C. 7．C　令f(x)＝＝＝＋，因为y＝2x＋1＋1在R上单调递增，且2x＋1＋1＞0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以f(2022)＞f(2023)＞0，即a＞b＞0.对于A，因为a＞b＞0，所以－＝＜0，即＜，故A错误；对于B，因为0＜a＝＜1，0＜b＝＜1，所以a2＋b2＜2，故B错误；对于C，因为a＞b＞0，所以a－－(b－)＝(a－b)(1＋)＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为a＞b＞0，所以－＝＜0，所以＜，故D错误．故选C. 8．C　由a＋b＋c＝0，a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，b＝－a－c，则a＞－a－c＞c，则－2＜＜－，令t＝，则－2＜t＜－，故＝＋＝t＋(－2＜t＜－)，又f(t)＝t＋在(－2，－1)上单调递增，在(－1，－)上单调递减，f(－2)＝－2＋＝－，f(－1)＝－1＋＝－2，f(－)＝－＋＝－，所以－＜f(t)≤－2，即－＜≤－2，故选C. 9．BCD　∵{1，3}B⊆{1，3，5，7}，∴B可能为{1，3，5}，{1，3，7}，{1，3，5，7}，故选BCD. 10．AC　对于A选项，由a ＜b＜0，得a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2，故A中命题为真命题；对于B选项，当c＝0时，由a＞b，得ac2＝bc2，故B中命题为假命题；对于C选项，因为函数y＝x3在R上为增函数，a＞b，所以a3＞b3，故C中命题为真命题；取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，故D中命题为假命题．故选AC. 11．AC　因为∀x∈R，2kx2＋kx－＜0为真命题，所以k＝0或⇔－3＜k≤0，所以(－3，0)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充分不必要条件，A对；(－3，0]是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充要条件，B错；(－3，－1)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的充分不必要条件，C对；(－3，＋∞)是命题“∀x∈R，2kx2＋kx－＜0”为真命题的必要不充分条件，D错．故选AC. 12．ABC　结合题意得，A＝{x∈R|－3＜x＜6}．若A＝B，则a＝－3且a2－27＝－18，故a＝－3，故A正确；a＝－3时，A＝B，故D不正确；若A⊆B，则(－3)2＋a·(－3)＋a2－27≤0，且62＋6a＋a2－27≤0，解得a＝－3，故B正确；若B＝∅，则a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，故C正确，故选ABC. 13．解析：因为{x|－1＜x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，所以该集合的所有非空真子集的个数为23－2＝6. 答案：6 14．解析：綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0，当a＝0时，2x＋1≥0，解集为，当a≠0时，由Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.综上，綈p：a≥1.因为(1，＋∞)[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分条件． 答案：必要不充分 15．解析：原不等式在[1，2]上有解，它的否定是不等式x2＋mx－2＞0在[1，2]上无解，则解得m≤－1，因此当不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解时，m＞－1. 答案：(－1，＋∞) 16．解析：由题设知a＝1－b，则＋＝＋＝＋－2，∵(a＋b＋1)(＋)≥(·＋·)2＝9，∴＋≥，当且仅当a＝时等号成立，∴＋≥－2＝，当且仅当a＝＝时等号成立，∴＋的最小值为. 答案： 17．解：(1)由＞0，得4＜x＜5，故集合B＝{x|4＜x＜5}． (2)由题可知，B＝(2a，a2＋1)． ①当2＜3a＋1，即a＞时，A＝(2，3a＋1)， 又A＝B，所以方程组无解； ②当2＝3a＋1时，显然不合题意； ③当2＞3a＋1, 即a＜时，A＝(3a＋1，2)， 又A＝B，所以解得a＝－1. 综上所述，a＝－1. 18．解：(1)当a＝9时，f(x)＜0，即2x2－9x＋4＜0，整理得(2x－1)(x－4)＜0，解得＜x＜4，故所求不等式的解集为(，4)． (2)f(x)≥0对∀x∈(0，＋∞)恒成立，即2x2－ax＋4≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤2x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤(2x＋)min.又2x＋≥2 ＝4(当且仅当2x＝，即x＝时取等号)，所以a≤4，故实数a的取值范围为. 19．解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4. 因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2. 所以当x＝1时，y＝取得最小值，最小值为－2. (2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可． 所以即解得a≥. 所以实数a的取值范围为. 20．解：(1)因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3≥3，所以y＝2x2＋4x＋7的最小值为8.原不等式为8x2＋15x－2＜0，解得－2＜x＜，故原不等式的解集为(－2，)． (2)对于不等式ax2＋(2a－1)x－2＜0， 当a＝0时，不等式为－x－2＜0，解集为(－2，＋∞)． 当a≠0时，不等式分解因式可得(ax－1)(x＋2)＜0. 当a＞0时，不等式为(x－)(x＋2)＜0，此时解集为(－2，)； 当a＝－时，不等式为(－x－1)(x＋2)＜0，故此时解集为{x|x≠－2}； 当a＜－时，(ax－1)(x＋2)＜0，可化为(x－)(x＋2)＞0，又＞－2， 所以不等式的解集为(－∞，－2)∪(，＋∞)； 当－＜a＜0时，(ax－1)(x＋2)＜0可化为(x－)(x＋2)＞0， 又＜－2，所以不等式的解集为(－∞，)∪(－2，＋∞)． 综上所述，当a＝0时，解集为(－2，＋∞)； 当a＞0时，解集为(－2，)； 当a＝－时，解集为{x|x≠－2}； 当a＜－时，解集为(－∞，－2)∪(，＋∞)； 当－＜a＜0时，解集为(－∞，)∪(－2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$