第11讲导数的概念与切线方程（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第11讲导数的概念与切线方程 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数 2.能掌握导数的几何意义与切线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。 知识讲解 知识点一.导数的定义 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即 2.函数的导数： , 3.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量： ②求平均变化率： ③取极限得导数： 知识点二.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点三.导数的运算 1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 导函数 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axlna 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ 2.导数的运算法则 （1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）； （2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）； 3.复合函数的导数 复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法链接 考点一、导数的定义 1.（2025高三·全国·专题练习）设函数可导，则 ． 【答案】 【分析】运用导数的极限定义计算即得. 【详解】 故答案为：． 2.（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则 . 【答案】 【分析】借助导数公式与导数定义计算即可得. 【详解】，则. 故答案为：. 1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】求出导数，由导数的定义知求即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D 2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得. 【详解】由点在直线上，得，又曲线在点处的切线方程为， 则，而，所以. 故答案为： 3.（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 【答案】 【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由极限的定义知：①；②， 因为，，可得， 则； 又因为，令，可得， 所以. 故答案为：；. 4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是. 考点二、导数的运算与求值 1.（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2.（2020·全国·高考真题）设函数．若，则a= ． 【答案】1 【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值 【详解】由函数的解析式可得：， 则：，据此可得：， 整理可得：，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数（是的导函数），则 【答案】/ 【分析】对求导，代入，解得，回代入函数解析式，即可求得. 【详解】由求导，， 代入，可得，解得，， 则有，，故. 故答案为：. 2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】求出导函数，利用列式求解即可. 【详解】由得，因为，所以. 故答案为： 3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,则，可得，而 ，利用等比数列的项的性质即可求得. 【详解】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且，， 于是， 故 ， 所以，. 故选：A. 4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用三次函数的对称中心公式求解. 【详解】解：由题意得，， 令，则， 令，解得，又， 故的对称中心为. 故当时，. 故答案为： 考点三、在一点处的切线方程 1.（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 2.（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导，可得，再求解，结合直线方程的点斜式即得解. 【详解】由题意， 故，且， 故切线方程为：，即. 故选：D 2．（21-22高三上·天津·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】设，则，则，， 因此，曲线在点处的切线方程为. 故选：D. 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知在处的切线与圆相切，则 ． 【答案】或 【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则且， 所以函数在处的切线方程为，即， 又由圆，可得圆心，半径为， 因为与圆相切，可得，解得. 故答案为：. 4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数的导数为 ，曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】设，， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：；. 考点四、过一点的切线方程 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)4047； (2)； (3)或 【分析】（1）由平均变化率的公式即可求解； （2）依次求出的值，利用导数的几何意义即可求切线方程； （3）首先设出切点坐标，利用可求出切点坐标，可得切线方程． 【详解】（1）在区间上的平均变化率为 ． （2）由，有，从而，， 则切点坐标为，切线斜率为4， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （3）易知直线与曲线不相切， 故设切点为， 则由，可得，即，解得或， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，显然它过点， 当时，切点为，， 此时满足题意的切线方程为，即，显然它过点， 综上所述，满足题意的切线方程为或． 2.（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 1.（2025·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点，根据切线经过点，得到，令，转化为与有两个不同的交点求解. 【详解】设切点， 因为，所以， 所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点， 所以，即， 令， 则与有两个不同的交点， ， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即， 故选：B 2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 故选：D. 3.（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用切线方程过定点来求切点的横坐标，从而得到一元二次方程根与系数关系求解. 【详解】因为，所以，设切点坐标为， 所以，所以切线方程为， 由切线方程过点，则，即， 依题意得：关于的方程有两个不同的解， 即关于的一元二次方程有两个不同的解， 所以. 故选：D. 考点五、切线的倾斜角与斜率 1.（全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求解即可． 【详解】∵， ∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为， 故选：B． 2.（重庆·高考真题）曲线与在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答） 【答案】 【分析】联立曲线方程求出交点坐标，利用导数分别求出两切线斜率，再由夹角公式求解即可. 【详解】由消元可得，，解得， 所以两曲线只有一个交点, 由可得，所以， 由可得，所以， 由直线的夹角公式可得， 由知，. 故答案为： 1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】 利用导数的运算法则，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】 因为， 所以，则， 解得． 所以的图象在点处的切线的斜率为1. 故答案为：1 2.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ． 【答案】/ 【分析】先求导数，从而求得切线斜率，即可求得的值，进而弦化切代入计算即可． 【详解】由，则， 所以， 所以 故答案为：． 3.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 【答案】0 【分析】令，其中，，，互不相等，对求导，由导数的几何意义求解即可. 【详解】令，其中，，，互不相等. 则. . 故答案为：0. 4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】设以点为切点的切线的倾斜角为， 因为函数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求点的横坐标，再利用导数求和，最后根据的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】由题意可得，得，，得， ，， 则，， 所以， 设，， ，， 当，，则在单调递增， 当，，则在单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解导数的几何意义，并正确求解点的坐标，即可求得的值. 考点六、公切线 1.（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 2.（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； （2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 【答案】 【详解】设公共点为 ，即可得到，再由导数的几何意义得到，从而求出，即可求出切点坐标，从而求出，再求出切线方程. 【分析】设公共点为 ，则，即， 所以，所以， 由，，所以，， 又在公共点处有相同的切线，所以，即， 所以，则，所以， 所以公共点坐标为. 故答案为：. 2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】设直线的方程为，先根据直线和圆相切算出，在根据导数的几何意义算. 【详解】依题意得，设直线的方程为， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， 设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得， 即和相切，此时将直线和曲线同时向右平移两个单位， 和仍会保持相切状态，即时，， 综上所述，或. 故选：A 3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，函数．若过点的直线l与曲线相切于点P，与曲线相切于点，当P、Q两点不重合时，线段PQ的长为 ． 【答案】/ 【分析】设点 ，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与也相切，利用判别式即可求出，根据确定点，即可求. 【详解】因为， 设点 ，则 可知，解得， 可得切点，切线斜率， 所以方程，即， 联立， 由，可得或1； 当时，，此时，重合，舍去； 当时，，此时； 此时. 故答案为：. 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（22-23高三上·天津·期中）若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，再解不等式即可. 【详解】由得，， 令且， 解得 即的解集为 故选：C. 2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在和上的单调性，画出的图象，分别求得当与相切时，当和相切时，切点的坐标，求得对应的值，结合函数图象即可求得范围. 【详解】|恒成立可以转化为函数的图象不在图象的下方， ∵当时，，∴， ∴在上单调递减，且， 又∵当时，， ∴在上单调递增，且， 画出函数图象如下图所示，， 当和相切时，设切点的横坐标为， ∴，即，解得，∴切点坐标为， ∴此时，结合图象可知， 当和相切时，设切点的横坐标为， ∴，即，解得，∴切点坐标为， ∴此时，结合图象可知， 则实数的取值范围为， 故选：. 3．（22-23高三上·天津·期中）函数的导数为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的求导公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 4．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于 . 【答案】 【分析】求导，令，可解得，进而可得. 【详解】由，得， 令，得，解得， 所以， 故答案为：. 5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线在点处的切线方程为，则 . 【答案】4 【解析】先对函数求导，再由题意可知在处的导数值为3，从而可求得的值 【详解】解：由，得， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，解得， 故答案为：4 6．（22-23高三上·天津河北·期末）函数，，若时，直线是曲线的一条切线，则b的值为 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切点在切线上求解即可； 【详解】当时，，设切点为， 因为是的一条切线， 所以，解得， 所以， 又切点在切线上， 所以，得． 故答案为： 7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数，则在处的导数 【答案】 【解析】求导后代入即可得到结果. 【详解】，，. 故答案为：. 1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义有，且，即可求出参数a. 【详解】由题设，则，又， 所以，故. 故选：B 2．（2021·天津宁河·一模）设曲线在点处的切线方程为，则 . 【答案】 【分析】求导，根据导数几何意义求出函数在处的导函数值为切线的斜率. 【详解】 所以函数在处的导函数值为，根据导数几何意义可得 故答案为： 3．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，的值为 . 【答案】 【分析】首先通过切线方程将，算出，再求出，将代入计算即可. 【详解】将代入切线方程，得，故 ，由切线方程斜率可知，， 故答案为: 4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 根据导数的几何意义可知，函数的图象在处切线的斜率为. 故答案为： 5．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线在处的切线方程为 ；若该切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 2 【分析】求出函数在处的导数，再用导数的几何意义即可求解；设该切线与曲线相切的切点坐标，求导即可计算作答. 【详解】由求导得：，则曲线在处的切线斜率为，而切点为， 所以所求切线方程为； 设直线与曲线相切的切点为，由求导得：， 于是得，，显然有，即，，解得， 所以. 故答案为：；2 6．（2020·天津·一模）设函数，则在动点处的切线斜率的最小值为 【答案】 【分析】由导数的几何意义、导数的运算可得在点处的切线斜率，再由基本不等式即可得解. 【详解】因为函数，所以， 所以在点处的切线斜率， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立. 所以在动点处的切线斜率的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题. 7．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据已知求出，再利用基本不等式求解. 【详解】设切点为，由 所以，且过切点的直线为， 所以有：， 因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 故答案为：. 1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上． 则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 2.（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 3.（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程． 【详解】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 【点睛】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)； ②求切线的斜率f′(x0)； ③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 4.（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 5.（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 6.（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 7.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 8.（2020·全国·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 9.（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲导数的概念与切线方程 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数 2.能掌握导数的几何意义与切线的性质 3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。 知识讲解 知识点一.导数的定义 1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即 2.函数的导数： , 3.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量： ②求平均变化率： ③取极限得导数： 知识点二.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点三.导数的运算 1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 导函数 函数 导函数 y＝c(c是常数) y′＝0 y＝sin x y′＝cos_x y＝xα(α为实数) y′＝αxα－1 y＝cos x y′＝－sin_x y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axlna 特别地(ex)′＝ex y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ln x)′＝ 2.导数的运算法则 （1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）； （2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）； 3.复合函数的导数 复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法链接 考点一、导数的定义 1.（2025高三·全国·专题练习）设函数可导，则 ． 2.（2024·湖北黄石·三模）已知函数，则 . 1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 . 3.（2024·全国·模拟预测）已知符号“”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①；②，则依据两个公式，类比求 ； . 4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； ② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； ④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同. 其中所有正确结论的序号是 ． 考点二、导数的运算与求值 1.（2022·全国·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2.（2020·全国·高考真题）设函数．若，则a= ． 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数（是的导函数），则 2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数，若，则 . 3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列中，，若函数，则（   ） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数，若，则 . 考点三、在一点处的切线方程 1.（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2.（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·天津·期中）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知在处的切线与圆相切，则 ． 4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数的导数为 ，曲线在处的切线方程为 ． 考点四、过一点的切线方程 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求在区间上的平均变化率； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求曲线过点的切线方程． 2.（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 1.（2025·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 3.（2024高三·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（   ） A． B． C． D．3 考点五、切线的倾斜角与斜率 1.（全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.（重庆·高考真题）曲线与在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答） 1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为 ． 2.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则 ． 3.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 . 4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线与函数，的图象分别相交于A，B两点.设为曲线在点A处切线的斜率，为曲线在点处切线的斜率，则最大值为（   ） A．1 B． C． D． 考点六、公切线 1.（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 2.（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 . 2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，函数．若过点的直线l与曲线相切于点P，与曲线相切于点，当P、Q两点不重合时，线段PQ的长为 ． 4.（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·天津·期中）若，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·天津·期中）函数的导数为 . 4．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数的导函数，满足，则等于 . 5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线在点处的切线方程为，则 . 6．（22-23高三上·天津河北·期末）函数，，若时，直线是曲线的一条切线，则b的值为 7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数，则在处的导数 1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021·天津宁河·一模）设曲线在点处的切线方程为，则 . 3．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，的值为 . 4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数的图象在处切线的斜率为 . 5．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线在处的切线方程为 ；若该切线也是曲线的切线，则 . 6．（2020·天津·一模）设函数，则在动点处的切线斜率的最小值为 7．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是 . 1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为 A． B． C． D． 2.（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 3.（2019·天津·高考真题） 曲线在点处的切线方程为 . 4.（2019·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 5.（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 6.（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 7.（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 8.（2020·全国·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 9.（2021·全国·高考真题）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$