第二章：等式与不等式章末重点题型复习（14题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

第二章：等式与不等式章末重点题型复习 题型一 一元二次方程根与系数关系 1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的两根为和，则 【答案】14 【解析】方程的两根为和，则 ，，则. 故答案为：14. 2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 【答案】 【解析】因为一元二次方程的两个实根为，（）， 则或， 由韦达定理得， 而，解得， 综上，a的取值集合是 故答案为： 3．（23-24高一上·安徽铜陵·月考）（多选）已知二次函数有两个零点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】的两个零点，，且， 因此，由于，所以恒成立 故，对于A，，故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为， ，且因此两个根，，故D错误，故选：ABC 4．（22-23高一上·浙江台州·月考）已知一元二次方程的两根分别是，求下列各式的值. (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）方程的判别式， 则，，所以； （2） （3）由题意，，即， 由（2）得，则， 所以； （4）. 题型二 多元方程组的解集 1．（22-23高一上·辽宁沈阳·月考）方程组的解集为 . 【答案】 【解析】由 ①②，可得，解得， 所以不等式组的解集为. 故答案为： 2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【答案】2 【解析】由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 3．（23-24高一上·北京·月考）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得，即， 所以方程的解集为. （4）由不等式组， ①+②，可得，②-③，可得， 联立方程组，解得，代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （5）由方程组，整理得，解得或， 当时，可得；时，可得， 所以方程组的解集为. 4．求下列方程组的解集： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由第一个式子可得 代入第二个、第三个式子可得： ，两个式子作差可得 代入可得 故方程组的解集为 （2）由第一个式子可得 代入第二个式子可得解得 代入，可得 故方程组的解集为 （3）由第一个式子可得 代入第二个式子可得 即解得 代入可得 故方程组的解集为 题型三 不等式的性质及应用 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误.故选：B. 2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确； 对于B，令，满足，但是，故B错误； 对于C，令，满足，但是，故C错误； 对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误；故选：A. 3．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，若，则当时，有，故A错误； 对于B，因为，则，故，故B正确. 对于C，成立，但，故C错误. 对于D，由不等式的性质可得成立，故选：BD. 4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意.故选：ABC. 题型四 作差法与作商法比较大小 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】已知，且，，则， 所以， ， 因此，.故选：A. 3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】（1）， 故； （2）， 因为，，故，， 当时，，即； 当时，，即； 4．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1），， 因为， 所以， 即； （2） ． 因为，，所以，， 所以，即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以，所以． 方法二（作商法） 因为，所以，，， 所以， 所以． 题型五 利用不等式求取值范围 1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为， 所以.即的取值范围为.故选：A. 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得，而， 因此，所以的取值范围为.故选：B 3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 所以，解得，则， 因为，，所以.故选：D. 4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为24 【答案】AC 【解析】由题意可得，即A正确； 由，可得，又，则，即，B错误； 设，则，解得， 因为，所以C正确； 由以及，若的最大值为24， 则，此时，D错误，故选：AC 题型六 含绝对值不等式的解法 1．（23-24高一上·辽宁抚顺·月考）的解集为 【答案】 【解析】因为，所以， 故答案为： 2．（23-24高一上·上海虹口·月考）关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当，即时，原不等式等价于，解得，所以； 当，即时，原不等式等价于，解得，所以. 综上，原不等式的解集为. 3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 当时，，则不等式可化为，解得，故； 当时，，则不等式可化为，解得，故； 当时，，则不等式可化为，解得，故； 综上：或，即不等式的解集为或.故选：A. 4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】原不等式等价于，对于， 当时，，则此时不等式无解. 当时，. 则原不等式解集为：. 故答案为： 题型七 一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·贵州安顺·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，即，解得或， 所以不等式的解集为.故选：D 2．（23-24高一上·重庆·月考）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有个整数解， 此时，解集中的三个整数分别为、、，则需 综上：所以或，故选：A． 3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）设，解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【解析】由可得. （1）当时，原不等式即为，解得； （2）当时，解方程可得或. ①当时，，解原不等式可得或 ②当时，则，解原不等式可得； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，，即，解得， 故该不等式的解集为. （2）. ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型八 分式/高次不等式的解法 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由不等式，可化为，解得，即不等式的解集为.故选：B. 2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解析】由，得，即， 即，解得，D正确.故选：D 3．（22-23高一上·安徽安庆·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得：， 令，解得：，，，， 采用根轴法可得图象如下图所示， 由图象可得：的解集为. 故答案为：. 4．（22-23高一上·重庆九龙坡·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）已知，移项得， 通分化简得，等价于，即， 解得：，故不等式的解集为. （2）已知，等价于且， 即且， 根据穿根法，如图可知不等式的解集为或 题型九 三个“二次”的应用 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】关于的不等式的解集为或， 则和是方程的二根，且 则，解之得， 由，可得选项A判断正确； 选项B：不等式可化为， 解之得，则不等式解集为.判断正确； 选项C：.判断错误； 选项D：不等式可化为， 即，解之得或. 则不等式的解集为或.判断正确.故选：ABD 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【答案】ABC 【解析】因为关于x的不等式的解集是或， 所以有，因此选项A正确； ，因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确，故选：ABC 3．（23-24高一下·云南·月考）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】根据题意，关于的不等式的解集为， 所以的两根为， 则，解得， 所以，即A错误，B正确； 且为，解得或， 所以的解集为，C正确； ， 所以的最大值为，D错误.故选：BC 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.故选：AB. 题型十 一元二次不等式恒成立 1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，即时，恒成立， 当，即时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 2．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【解析】当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确. 故选：BCD 3．（23-24高一上·重庆·月考）（多选）若“”为假命题，则的值可能为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】BC 【解析】“”为假命题，则“”为真命题， 当时，，符合题意， 当时，，解得 ，故的值可能为，故选：BC. 4．（23-24高一上·河北·月考）若命题“”为假命题，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知命题“”是真命题． 因为，所以． 当时，函数的最大值为6， 则的最小值为，所以，即的最大值为．故选：A. 题型十一 一元二次方程根的分布 1．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 3．（22-23高一上·辽宁丹东·月考）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏南京·月考）已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根； (2)至少有一个正实数根. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与轴有2个大于1的不同实根， 可得，解得； （2）关于x的方程无实数根时，， 解得， 关于x的方程有两个负实数根时， ，解得， 所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时， 可得关于x的方程至少有一个正实数根，则. 题型十二 利用均值不等式求最值 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为.故选：C. 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是.故选：A. 3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即，时取等号，故B正确； 对于C，由，得， 所以， 当且仅当，即，即时取等号，故C错误； 对于D，有 而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误.故选：AB. 4．（23-24高一下·四川仁寿·期末）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为； （2）由，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型十三 均值不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·山东淄博·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，只需在时即可， 又，则，故， 当且仅当时等号成立，故， 所以，即.故选：A 2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，，， 当且仅当且时取等号，即，时取等号， 所以， 由恒成立可得， 即， 解得. 故实数的取值范围为.故选：C. 3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：C. 4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 题型十四 均值不等式的实际应用 1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（     ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【解析】设隔墙长度为，场地面积为， 则， ∴当且仅当时，有最大值18，故选：A. 2．（23-24高一上·山东菏泽·月考）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（    ） A．大于克 B．小于克 C．大于等于克 D．小于等于克 【答案】C 【解析】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，， 则由杠杆原理得：，于是， 故，当且仅当时取等号. 故选：C. 3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100；(2)存在， 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则, 整理得, 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得, 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40；(2)102万平方米，30欧元/平方米 【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时， 才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和， 此时的售价为欧元/平方米. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：等式与不等式章末重点题型复习 题型一 一元二次方程根与系数关系 1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的两根为和，则 2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 3．（23-24高一上·安徽铜陵·月考）（多选）已知二次函数有两个零点，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·浙江台州·月考）已知一元二次方程的两根分别是，求下列各式的值. (1)； (2)； (3) (4) 题型二 多元方程组的解集 1．（22-23高一上·辽宁沈阳·月考）方程组的解集为 . 2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 3．（23-24高一上·北京·月考）求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 4．求下列方程组的解集： （1）； （2）； （3）. 题型三 不等式的性质及应用 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 题型四 作差法与作商法比较大小 1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 4．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 题型五 利用不等式求取值范围 1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D．的最大值为24 题型六 含绝对值不等式的解法 1．（23-24高一上·辽宁抚顺·月考）的解集为 2．（23-24高一上·上海虹口·月考）关于x的不等式的解集为 . 3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（    ） A．或 B． C． D． 4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集为 ． 题型七 一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·贵州安顺·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·月考）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）设，解关于的不等式：． 4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）已知关于x的不等式. (1)若，求该不等式的解集； (2)若，求该不等式的解集. 题型八 分式/高次不等式的解法 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（22-23高一上·安徽安庆·月考）不等式的解集为 . 4．（22-23高一上·重庆九龙坡·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2)． 题型九 三个“二次”的应用 1．（23-24高一上·陕西西安·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 3．（23-24高一下·云南·月考）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的解集为 D．的最小值为 4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 题型十 一元二次不等式恒成立 1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 3．（23-24高一上·重庆·月考）（多选）若“”为假命题，则的值可能为（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．（23-24高一上·河北·月考）若命题“”为假命题，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 一元二次方程根的分布 1．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 3．（22-23高一上·辽宁丹东·月考）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·江苏南京·月考）已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围. (1)有两个大于1的不等实数根； (2)至少有一个正实数根. 题型十二 利用均值不等式求最值 1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值 4．（23-24高一下·四川仁寿·期末）（1）若，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 题型十三 均值不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·山东淄博·月考）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 题型十四 均值不等式的实际应用 1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（     ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 2．（23-24高一上·山东菏泽·月考）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（    ） A．大于克 B．小于克 C．大于等于克 D．小于等于克 3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$