精品解析：云南省昆明市第八中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试卷

2023-2024学年云南省昆明八中高一（下）月考数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中错误是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为2 C. 当时， D. 当时， 5. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（ ） A. B. 18 C. D. 12 6. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 7. 围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 8. 若，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称 C. 是一个周期函数 D. 在区间内有且只有一个零点 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数=______. 13. 无字证明（proof without words）是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，那么该图证明的三角恒等式为__________． 14. 已知有限集合，定义如下操作过程：从中任取两个元素、，由中除了、以外元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集合为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求与夹角的余弦值； （2）求； （3）在中，若，，求的面积． 16. 已知函数． （1）用“五点法”作出它在一个周期内的图象； （2）已知函数（）. （i）若函数的最小正周期为，求的单调递增区间； （ii）在（i）条件下求函数在范围内的最大值与最小值． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线长. 18. 已知定义域为的函数是奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明； （3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. （1）求角A的值； （2）若点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年云南省昆明八中高一（下）月考数学试卷（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，列方程可求出的值. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：B. 2. 若，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将看作，利用和差公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 3. 在 中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先判断如果 能不能推出 是钝角三角形， 再判断如果 是钝角三角形，是否一定有即可. 【详解】如果，由于B是三角形的内角，并且, 则， ，是钝角三角形， 所以是充分条件； 如果 是钝角三角形，不妨设 ，则 ， 所以不是必要条件； 故选：A. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值为2 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C；利用基本不等式可判断选项D． 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，正确； 对于B，当时，，错误； 对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，正确； 对于D，当时，，，当且仅当时取等号，正确； 故选：B 5. 冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则F对冰球所做的功为（ ） A B. 18 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以，又， 故力对冰球所做功为. 故选：D. 6. 若非零向量与满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得的角平分线与BC垂直，可分析出是等腰三角形，根据数量积公式可求角A，即可判断. 【详解】因为分别为与同向的单位向量， 因为，可知的角平分线与BC垂直，则， 又因为，即， 且，则，所以是等边三角形. 故选：D. 7. 围棋起源于中国，已有四千多年的历史，“琴棋书画”之“棋”指的就是围棋．围棋棋盘有个交叉点，从上往下、从左往右数，第m行第n列的交叉点记为，例如，第3行第2列的交叉点记为．在所有的中，不同数值的个数为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】将围棋放在平面直角坐标系中，并使最下一行恰好在直线上，最左一列恰好在直线上.结合对应关系得出点的坐标对应坐标系中的点.然后用坐标表示出向量，即可根据数量积的坐标运算，得出答案. 【详解】如图，以围棋棋盘所在的平面建立平面直角坐标系，并使最下一行恰好在直线上，最左一列恰好在直线上. 则的坐标对应坐标系中的点，的坐标对应坐标系中的点，点的坐标对应坐标系中的点. 所以，， 所以，. 因为，且， 所以有19个不同数值，也有19个不同数值， 所以，也有19个不同数值. 故选：C. 8. 若，，则（ ） A B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定等式，构造函数并探讨函数性质推理计算即得. 详解】由，得，令函数， 由，得，令函数， 在函数图象上任取点，该点关于直线对称点， 显然，而， 即点在函数的图象上，因此函数图象与函数的图象关于直线对称， 而点在函数的图象上，点在函数的图象上， 又函数在R上单调递减，函数在R上单调递增，所以的值唯一， 于是点与点关于直线对称，所以. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为R，则函数与的图象关于直线对称. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知为坐标原点，向量是线段的三等分点，则的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称 C. 是一个周期函数 D. 在区间内有且只有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、周期性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】AB选项，的定义域为，， 所以关于点中心对称，A选项错误，B选项正确. C选项，， 所以是周期函数，C选项正确. D选项，令得， 所以，在区间上，解得， 所以在区间内有且只有一个零点，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】变形给定不等式，构造函数并确定函数单调性，求出的大小关系，再逐项判断即可. 【详解】由，得， 令函数，函数在上分别递增、递减， 因此函数在上递增，而不等式， 则，即有，，A错误，B正确； 显然，因此，，CD正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是变形不等式，构造函数求出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数=______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理，利用向量相等的概念列出方程组，即可求出λ的值. 【详解】解：因为向量与共线，所以， 即， 化简得， 因为向量，是两个不共线的向量， 所以，解得， 所以. 故答案为： 13. 无字证明（proof without words）是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，那么该图证明的三角恒等式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积关系以及三角形的面积公式列式可得结果. 【详解】如图，左边的三角形的面积为， 中间三角形的面积为，右边三角形的面积为， ，， 即． 故答案为：． 14. 已知有限集合，定义如下操作过程：从中任取两个元素、，由中除了、以外的元素构成的集合记为；①若，则令；②若，则；这样得到新集合，例如集合经过一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可继续对取定的实施操作过程，得到的新集合记作，……，如此经过次操作后得到的新集合记作，设，对于，反复进行上述操作过程，当所得集合只有一个元素时，则所有可能的集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义用运算律证明实施的具体操作过程无关，再根据结果逆推求解. 【详解】解：由题可知中仅有一项，令 对于满足的实数定义运算：, 下面证明这种运算满足交换律和结合律. 因为,且,所以,即该运算满足交换律; 因为 且, 所以,即该运算满足结合律; 所以中的项与实施的具体操作过程无关; 选择如下操作过程求：由题可知; 易知; 所以： 易知经过3次操作后剩下一项为, 故答案为. 【点睛】本题是一道综合性很强的集合运算题,解题时要认真审题,理解定义,并会用新定义来解题,仔细解答,避免错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求； （3）在中，若，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解； （2）根据平面向量数量积的性质及定义即可求解； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 ∵， ∴＝＝0， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（1）知， ∴， ∴的面积为． 16. 已知函数． （1）用“五点法”作出它在一个周期内的图象； （2）已知函数（）. （i）若函数的最小正周期为，求的单调递增区间； （ii）在（i）条件下求函数在范围内的最大值与最小值． 【答案】（1）图象见解析 （2）（i）．（ii）最大值为，最小值为0. 【解析】 【分析】（1）由题意利用辅助角公式求出，再根据五个关键点，列表、作图即可； （2）（i）首先求出的解析式，根据正弦函数的单调性可得的单调递增区间；（ii）根据的范围求出，然后根据正弦函数的值域可得函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 由五个关键点列表如下： x 0 1 1 1 函数图象如下： 【小问2详解】 函数， （i）若函数的最小正周期为， 则，所以， 所以， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. （ii）因为，所以， 所以， 所以， 所以的最大值为，最小值为0. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若的面积为，求边上的中线长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得. （2）根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长. 【小问1详解】 由正弦定理可得，所以， 即，又， 所以， 整理得，解得； 【小问2详解】 依题意，，解得， 又， 所以为钝角，所以由, 解得， 由正弦定理可得，又， 所以， 设的中点为，则， 所以， 所以边上的中线长为. 18. 已知定义域为的函数是奇函数，且. （1）求实数a，b的值； （2）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明； （3）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数以及求解问题； （2）利用作差的方法判断出函数的单调性； （3）根据函数的单调性以及恒成立问题的求解方法求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以，则①， 又因为，则②， 联立①②解得，故， 因为，且定义域为，关于原点对称， 故此时为奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： ， 设，， 因为，所以， 所以，， 故，即， 则在上单调递增. 【小问3详解】 因为奇函数在上单调递增， 不等式即为， 所以，不等式在时恒成立， 则，， 令，，则，， 原不等式转化为在时恒成立. 则，故， 又在上单调递增，故当时，取得最小值为－1. 所以，即，故实数m的取值范围是. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且. （1）求角A的值； （2）若点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）知，故由点为的费马点得， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$