专题03 整式与因式分解（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（陕西专用）

专题03 整式与因式分解 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1幂的运算 （5年1考） 2021·陕西：幂的乘方与负整数指数幂 2020·陕西：幂的乘方与积的乘方 近五年中考代数式与整式命题侧重考查整式的乘法：幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式与完全平方公式，多以选择、填空为主，也考查了一次因式分解（整式乘法的逆向运算）。这部分内容属于基础送分题，在备考中，同学们需重视基础计算。此外因式分解也是解一元二次方程的基础。 考点2整式乘法 （5年3考） 2024·陕西：单项式乘多项式 2023·陕西：单项式乘单项式 2022·陕西：单项式乘单项式 考点3平方差公式与完全平方公式 （5年2考） 2024·陕西：完全平方公式 2020·陕西：平方差公式 考点4 因式分解 （5年1考） 2021·陕西：利用提公因式和完全平方公式进行因式分解 考点1 幂的运算 1．（2021·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 2．（2020·陕西·中考真题）计算：（﹣x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4 【答案】C 【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【详解】解：（﹣x2y）3＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 考点2整式乘法 3．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2022·陕西·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 考点3 平方差公式与完全平方公式 5．（2020·陕西·中考真题）计算：（2+）（2﹣）＝ ． 【答案】1． 【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算． 【详解】解：原式＝22﹣ ＝4﹣3 ＝1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 6．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 考点4因式分解 7．（2021·陕西·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键． 一、单选题 1．（2024·陕西西安·二模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算．先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则进行运算即可． 本题主要考查了积的乘方：，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·陕西商洛·三模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方等知识，根据相应运算法则即可得出答案，牢记积的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：A． 5．（2024·陕西咸阳·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查幂的运算和合并同类项，分别依据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方法则逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 6．（2024·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方运算，根据积的乘方的运算法则进行计算，即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 7．（2024·陕西咸阳·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方与幂的乘方，平方差公式，运用相关知识计算出各选项的结果后再进行判断即可 【详解】解：A.，原选项计算错误，故不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，原选项计算错误，故不符合题意； D.，原选项计算错误，故不符合题意； 故选：B 8．（2024·陕西西安·三模）下列运算，与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂相乘除、幂的乘方等幂的有关运算及合并同类项．根据同底数幂相乘除、幂的乘方等幂的有关运算及合并同类项分别计算各式子，即可解答． 【详解】解：， A选项：与不是同类项，无法合并，故计算结果与不相同； B选项：，故计算结果与不相同； C选项：，故计算结果与不相同； D选项：故计算结果与相同． 故选：D 9．（2024·陕西西安·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 10．（2024·陕西宝鸡·二模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式与单项式的乘法运算，正确掌握单项式与单项式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选B． 11．（2024·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握．利用积的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：B 12．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，负整数指数幂，按照相关计算法则计算即可，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方运算法则． 【详解】解：， 故选：C． 13．（2024·陕西宝鸡·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、单项式除单项式法则、平方差公式分别计算各项即可得到答案． 本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、单项式除单项式、平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 14．（2024·陕西渭南·一模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选：C． 15．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式 故选． 二、填空题 16．（2024·陕西榆林·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式．熟练掌握单项式乘以单项式是解题的关键． 根据单项式乘以单项式求解作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（2024·陕西西安·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时，因式分解要彻底，直到不能再分解为止．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．（2024·陕西安康·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用公式法进行因式分解．熟练掌握完全平方公式分解因式是解决问题的关键． 根据完全平方公式进行分解即可求得答案．完全平方公式：． 【详解】． 故答案为：． 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（2024·陕西西安·三模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了（n为非负整数）展开式各项的系数规律，称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图，两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数1记为，第2个数2记为，第3个数6记为，……，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查数字类规律探究，根据题干叙述的构造法则再多写出几行即可求解． 【详解】解：根据题意，如图， ∴， 故答案为：28． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，请写出十烷的化学式： ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律题．根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十烷的化学式为， 故答案为：． 三、解答题 22．（2024·陕西渭南·一模）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；先将原式变形为，再提取公因式3，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： 23．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，运用完全平方公式以及平方差公式的运算，然后合并即可解题． 【详解】解： ． 24．（2024·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，把两式相减得，把右式移项到左边，利用平方差公式和提公因式法对等式的左式因式分解，根据两式相乘积为，必有一个因式为即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴两式相减得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（2024·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行完全平方公式和平方差公式的计算，再合并同类项，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 26．（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 【答案】水稻种植面积更大 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，熟练根据题意列出代数式以及掌握相关运算法则是解本题的关键． 先根据题意用含a的式子分别表示出水稻种植面积和玉米种植面积，并进行作差比较即可解答． 【详解】解：由题意得，水稻种植面积为，玉米种植面积为． ． ， ，即． 水稻种植面积更大． 27．（2024·陕西西安·三模）如图，已知甲是长为，宽为的矩形，乙是长为，宽为的矩形，设矩形甲的面积为，矩形乙的面积为，式猜想哪个矩形的面积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】矩形乙的面积更大，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握利用差比较大小． 先根据矩形的面积公式，求出甲和乙的面积，再求出它们的面积差，然后进行判断即可． 【详解】解：矩形乙的面积更大． 由题意可得 ， ， ， 矩形乙的面积更大． 28．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查以弦图为背景的计算，正确识图是解题的关键． （1）根据图2中小正方形的边长直角三角形较长边长减去较短边长即可求解； （2）根据正方形面积公式知小正方形的面积，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解： 直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， 小正方形的边长． （2）解：小正方形的面积， 当时，面积． 29．（2024·陕西汉中·二模）观察下列各个式子的规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 请用上述等式反应出的规律解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式_________； (2)智慧小组的同学猜想第n个等式是：，请你验证智慧小组同学的猜想是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现规律是解答本题的关键． （1）根据规律，写出第四个等式即可； （2）证明左侧等于右侧即可． 【详解】（1）解：； （2）观察智慧小组的同学猜想的等式符合所给的三个等式， 左边，右边， 左边=右边， ∴智慧小组的同学猜想正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 整式与因式分解 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1幂的运算 （5年1考） 2021·陕西：幂的乘方与负整数指数幂 2020·陕西：幂的乘方与积的乘方 近五年中考代数式与整式命题侧重考查整式的乘法：幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、平方差公式与完全平方公式，多以选择、填空为主，也考查了一次因式分解（整式乘法的逆向运算）。这部分内容属于基础送分题，在备考中，同学们需重视基础计算。此外因式分解也是解一元二次方程的基础。 考点2整式乘法 （5年3考） 2024·陕西：单项式乘多项式 2023·陕西：单项式乘单项式 2022·陕西：单项式乘单项式 考点3平方差公式与完全平方公式 （5年2考） 2024·陕西：完全平方公式 2020·陕西：平方差公式 考点4 因式分解 （5年1考） 2021·陕西：利用提公因式和完全平方公式进行因式分解 考点1 幂的运算 1．（2021·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（2020·陕西·中考真题）计算：（﹣x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4 考点2整式乘法 3．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 4．（2022·陕西·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． 考点3 平方差公式与完全平方公式 5．（2020·陕西·中考真题）计算：（2+）（2﹣）＝ ． 6．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 考点4因式分解 7．（2021·陕西·中考真题）分解因式： ． 一、单选题 1．（2024·陕西西安·二模）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·陕西商洛·三模）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西咸阳·三模）计算：（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西咸阳·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·三模）下列运算，与计算结果相同的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·二模）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西宝鸡·二模）计算：（    ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024·陕西宝鸡·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·陕西渭南·一模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 15．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2024·陕西榆林·三模）计算： ． 17．（2024·陕西西安·三模）分解因式： ． 18．（2024·陕西安康·二模）分解因式： ． 19．（2024·陕西咸阳·模拟预测）分解因式： ． 20．（2024·陕西西安·三模）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了（n为非负整数）展开式各项的系数规律，称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图，两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数1记为，第2个数2记为，第3个数6记为，……，则 ． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，请写出十烷的化学式： ． 三、解答题 22．（2024·陕西渭南·一模）分解因式：． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：． 24．（2024·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 25．（2024·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中． 26．（2024·陕西商洛·三模）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 27．（2024·陕西西安·三模）如图，已知甲是长为，宽为的矩形，乙是长为，宽为的矩形，设矩形甲的面积为，矩形乙的面积为，式猜想哪个矩形的面积更大，并通过计算证明自己的猜想． 28．（2024·陕西宝鸡·三模）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形，中间阴影部分是一个小正方形． (1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长； (2)当时，该阴影小正方形的面积是多少？ 29．（2024·陕西汉中·二模）观察下列各个式子的规律： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 请用上述等式反应出的规律解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式_________； (2)智慧小组的同学猜想第n个等式是：，请你验证智慧小组同学的猜想是否正确． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$