专题2.4 等边三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题2.4 等边三角形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形． 2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．　　 3．等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形． · 典例分析 【典例1】为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点的运动轨迹，找到何时线段最短，然后构造三角形，确定何时的值最小．以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可． 【解题过程】 （1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 故 ， （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 （前面已证）， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段上一点，分别以为边在同侧作等边和等边，连交于点F，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有（    ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为 ．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． （1）当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； （2）如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段的中点，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，且点M沿着线段从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度． 13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． （1）如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． （2）如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． （3）如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边中，点D、E分别是边、上的点，且，、交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点B作于点G，过点C作交延长线于点H，若F为中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下K为延长线上一点，且，的面积为6，求的面积． 16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：是等边三角形，是等腰三角形，其中，过点作，分别交于，交于，连接． （1）若，求证： 是等边三角形； ． （2）若，即、分别是线段、上任意一点，还会成立吗？请说明理由． 18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）是等边三角形，点D、E分别在边上，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为的平分线，点H在的延长线上，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点K，点G在线段上，，连接交于点M，，，求的长． 19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． （1）方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； （2）拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 20．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 等边三角形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形． 2．等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°．　　 3．等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形． · 典例分析 【典例1】为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点的运动轨迹，找到何时线段最短，然后构造三角形，确定何时的值最小．以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可． 【解题过程】 （1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 故 ， （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 （前面已证）， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． · 学霸必刷 1．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接分别交，于点F，G，过点A作分别交，于点P，H，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④；⑤． A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【思路点拨】 由等边三角形和等腰三角形的性质可得是等腰三角形且顶角，根据三角形内角和定理先求得、的度数，再证明，根据全等三角形的性质和直角三角形的性质逐一进行判断即可． 【解题过程】 解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故⑤不正确， 综上所述：结论正确的是①②④， 故选：C． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图、已知是等边三角形，在外有一点D，，且，点E为上一点，点F为上一点，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，平行线的判定，线段的垂直平分线的判定和性质，延长到T，使得，连接，构造半角模型，证明②；利用线段垂直平分线的判定和性质，可证③；无法证明 ，也就无法证明，从判断①④错误，解答即可． 【解题过程】 解：延长到T，使得，连接 ∵是等边三角形， ∴， ， ∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故②正确． 连接，交于点Q， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 无法证明，也就无法证明，从判断①④错误， 故选C． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，点C是线段上一点，分别以为边在同侧作等边和等边，连交于点F，若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【思路点拨】 本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，先证明，得到，，然后过点作，于点M，N，则有，然后在上截取，连接，即可得到是等边三角形和，进而求出，同理可得即可解题． 【解题过程】 解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 过点作，于点M，N， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 4．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有（    ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【思路点拨】 此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 由等边三角形的性质可得，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由可得，结合可得到，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到，结合可知为等边三角形，因此，结合平行线的判定可判断②的正误；根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；根据结合三角形外角的性质，据此可判断⑤的正误． 【解题过程】 解：∵和是等边三角形， ， ， 即． 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，故③正确，符合题意； ， ∴是等边三角形， ， ， ，故②正确，符合题意； 过点作于于， ， ， ， ， 平分，而不是平分，故④错误，不符合题意； ， ， ， ∴故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故选：B． 5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【解题过程】 解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 6．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则 ． 【思路点拨】 过点作于点，设，则，求出，利用直角三角形的性质得，则，同理得，则，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，则，由此解出即可得的长． 【解题过程】 解：过点作于点，如图所示： 设， ， ， ， 在中，，则， ， ， ， ， 在中，，则， ， ， ，， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， ，解得， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为 ．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 【思路点拨】 以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，先证明，得到，当点三点共线时，有最小值，此时，即，则，由角所对的直角边等于斜边的一半，得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果． 【解题过程】 解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P， ∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 如图，当点三点共线时，有最小值， 此时，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：7． 8．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【思路点拨】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【解题过程】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·天津西青·期末）如图，点是等边中边的中点，点，分别在，边上，且，若，，则的周长为 ．    【思路点拨】 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强．作,垂足分别为M、N，先证明，得到，，再证明，，设，得到，解得，即可得到，， ，即可得到的周长为30． 【解题过程】 解：如图，作,垂足分别为M、N．    ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为30． 故答案为：30． 10．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，在中，，点在上，．点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动，运动速度均为，两点同时出发，到达终点后停止运动． （1）当运动秒时，的度数为______． （2）开始运动几秒时，是直角三角形？ （3）若点和点在到达终点后不停止运动，而是沿着的三边顺时针继续运动，直到回到出发点后停止，直接写出：线段与的某一边平行时的时间． 【思路点拨】 （1）计算出运动秒时、、的长，再证明，得，则即可求得； （2）设运动的时间为秒，分两种情况，一是，则，可列方程；二是，则，可列方程，解方程求出相应的值即可； （3）分三种情况，一是点在边上，则，可列方程；二是点在边上，则，可列方程；三是点在边上，则，可列方程，解方程求出相应的值即可． 【解题过程】 （1）解：如图1， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 运动秒时，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：设运动的时间为秒， 如图， 当时，则 ∴， ， 解得， 如图3， 当时，则 ， ， 解得 综上所述，运动秒或秒，是一个直角三角形． （3）解：如图， 当时， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图4， 当时，则'， ∴是等边三角形， ∴， ∴，解得； 如图5， 当时，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得 综_上所述，的值是秒或秒或秒时，线段与的某一边平行． 11．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在等边中，点E为边上任意一点，点D在边的延长线上，且． （1）当点E为的中点时（如图1），则有__________（填“>”“<”或“=”）； （2）如图2，若点E为上任意一点，猜想与的数量关系，并证明你的猜想． （3）在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，直接写出的长． 【思路点拨】 （1）根据三线合一定理和三角形外角的性质证明即可得到答案； （2）过作交于，先证明是等边三角形，再证明即可得到答案； （3）分在的延长线和在的延长线上两种情况讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵三角形是等边三角形，点是的中点， ∴平分，， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ， ∴， 即． ∴是等边三角形． ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：∵三角形是等边三角形， ， 如图所示：当在的延长线上时，过点作交直线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在的延长线上时，如图，过点作交延长线于， 同理可以求得， ， ， 故的长为2或6． 12．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图1图2，点O是线段的中点，． （1）如图1，若，求的长； （2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线上，点D在点C右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点P，求的长度； （3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段上，是等边三角形，且点M沿着线段从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度． 【思路点拨】 （1）利用垂直平分线的性质可得，再得，即可证明是等边三角形； （2）证明，得出，继而得到，即可求得的长度； （3）取的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ， 是线段中点，， ， 是等边三角形； ∴； （2）∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （3）取的中点H，连接，连接， 分两种情况讨论： 当M在线段上时，如图2， ∵H是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， 点从起点到做直线运动， ∵当点M在点B时，， ∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9； 当点M在线段上时，如图3， ∵H是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， 点从到终点做直线运动， ∵当点M在点C时，， ∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9； 综上所述，的路径长度为：． 13．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：． （2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点． （3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值． 【思路点拨】 （1）证出，根据证明； （2）在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论； （3）作， 使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点在线段上时，的值最小，由直角三角形的性质可得出答案． 【解题过程】 （1）证明:∵和都是等边三角形， ∴，, ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2）证明: 在上取点，使得，连接， ∵和都是等边三角形. ∴，，， ∴是等边三角形, ∴，， ∵是等边三角形, ∴，， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点, 点为的中点, ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴点为的中点； （3）作，使，连接， ∵是等边三角形, ∴ ，， ∴， ， ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时， 的值最小， ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为 14．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，． （1）如图（1），当点为的中点时，确定线段与的大小关系；______（填“”“”或“”）． （2）如图（），当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，并说明理由． （3）如图（3）在等边三角形中，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为，，求的长． 【思路点拨】 （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：如图， ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作 交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等边中，点D、E分别是边、上的点，且，、交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点B作于点G，过点C作交延长线于点H，若F为中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下K为延长线上一点，且，的面积为6，求的面积． 【思路点拨】 （1）利用等边三角形的性质，证明，得到，进而得到，即可； （2）含30度的直角三角形的性质，得到，证明，得到，，推出是等边三角形，得到，即可； （3）等角对等边证明，垂直平分，得到，证明 为等边三角形，作于M，于N，于P，角平分线的性质，推出，作，证明为等边三角形，再证明，得到，即可． 【解题过程】 （1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴在中，， ∴， 连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴BG垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴平分， 作于M，于N，于P， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过K作的平行线交的延长线于R， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 16．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 【思路点拨】 （1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论； （2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题； （3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题． 【解题过程】 （1）证明：如图1，设与交于点，    ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，    是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，    和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ①； ②， ， ， ． 综上所述：①，②都是定值． 17．（2023七年级下·全国·专题练习）已知：是等边三角形，是等腰三角形，其中，过点作，分别交于，交于，连接． （1）若，求证： 是等边三角形； ． （2）若，即、分别是线段、上任意一点，还会成立吗？请说明理由． 【思路点拨】 （1）延长到，使，连接，通过证明，得到，得出是等边三角形，通过证明，得到，，求出，通过证明，得到，即可得到答案； （2）延长到，使，连接，通过证明，得到，，求出，通过证明，得到，即可得到答案． 【解题过程】 （1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， 是等腰三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 即是等边三角形，； （2）解：还成立，理由是： 延长到，使，连接， 是等边三角形， ， 是等腰三角形，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中 ， ， ， 即． 18．（22-23八年级上·重庆·阶段练习）是等边三角形，点D、E分别在边上，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为的平分线，点H在的延长线上，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交的延长线于点K，点G在线段上，，连接交于点M，，，求的长． 【思路点拨】 （1）通过证明，得到，再根据三角形的外角定理，即可得到，即可求证； （2）过点H作于点G，作，交延长线于点K，证明和即可求证； （3）作于点J，于点T，于点I，通过证明， ，从而得到，即可进行解答． 【解题过程】 （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点H作于点G，作，交延长线于点K， 由（1）可得：， ∴， ∵为的平分线，，， ∴，， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）作于点J，于点T，于点I， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知，如图1，在等边中，与的角平分线交于点，点、分别在边上，且，猜想、、三者之间的数量关系． （1）方法探索： 小敏的思路是：如图3，在上取一点，使，连接．先证明______，从而______；继而证明______，从而______；因此可判断、、三者之间的数量关系是______； （2）拓展运用： 如图2，点在边上，点在的延长线上，其它条件不变，猜想、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等角对等边等知识点： （1）如图3，在上取一点，使，连接，先证明得到，；继而证明得到从而，进一步可证明； （2）如图所示，在延长线上截取，连接，先证明，得到，，继而证明，得到，进一步可证明． 【解题过程】 （1）解：如图3，在上取一点，使，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）解：猜想，理由如下： 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵在等边中，与的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． （1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； （2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； （3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点B为顶点，作，且，连接，证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【解题过程】 （1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， F为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点B为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 ， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$