专题特训(四)等腰三角形中的分类讨论-【拔尖特训】2024-2025学年八年级上册数学（苏科版2012）

7. D [解析] ∵ 在△ABC 中,AD 和BE 是高,∴ ∠ADB=∠AEB= ∠CEB=90°.∵ F 是AB 的中点, ∴ FD = 12 AB ,FE = 12 AB. ∴ FD=FE.故①正确.∵ ∠CBE= ∠BAD,∠CBE + ∠ACB =90°, ∠BAD+∠ABC=90°,∴ ∠ABC= ∠ACB.∵ AD⊥BC,∴ 易得BC= 2CD,∠BAD = ∠CAD = ∠CBE. ∵ ∠ABE = 45°,∠AEB = 90°, ∴ △ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形. ∴ AE=BE.在 △AEH 和 △BEC 中, ∠AEH=∠BEC, AE=BE, ∠EAH=∠EBC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEH≌ △BEC.∴ AH=BC=2CD.故②正 确.∵ △AEH≌△BEC,∴ EH = EC.∵ ∠CEB=90°,∴ △CEH 是等 腰直角三角形.∴ ∠EHC=45°.故④ 正确.∵ F 是AB 的中点,BD=CD, ∴ S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.故③正 确.综上所述,正确的有4个. 8. 50° 9. 14 10. 4 11. (1) ∵ CF⊥AB,BE⊥AC, ∴ ∠CFB=∠CEB=90°. ∵ M 是BC的中点, ∴ BM=FM=12BC ,CM=EM= 1 2BC. ∴ FM=EM. ∵ N 是EF 的中点, ∴ MN⊥EF. (2) ∵ ∠A=80°, ∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 100°. ∵ BM=FM,CM=EM, ∴ ∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM. ∴ ∠BFM+∠CEM=100°. ∴ ∠FMB + ∠EMC = 360°- (∠ABC + ∠ACB + ∠BFM + ∠CEM)=160°. ∴ ∠EMF =180°- (∠FMB + ∠EMC)=20°. 12. (1) ∵ PM⊥OA, ∴ ∠OMP=90°. ∵ D 是OP 的中点, ∴ DM=12OP=DO. ∴ ∠DMO=∠DOM. ∴ ∠MDP=2∠MOP. 同理,可得∠NDP=2∠NOP. ∴ ∠MDN =∠MDP+∠NDP= 2(∠MOP+∠NOP)=2∠MON. (2) ∠MDN=2∠MON. 理由:∵ PM⊥OA, ∴ ∠OMP=90°. ∵ D 是OP 的中点, ∴ DM=12OP=DO. ∴ ∠DMO=∠DOM. ∴ ∠MDP=2∠MOP. 同理,可得∠NDP=2∠NOP. ∴ ∠MDN =∠NDP-∠MDP= 2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON. 13. 45° [解析] 如图,连接 CM. ∵ ∠ACB=90°,M 是AB 的中点, ∴ CM=12AB ,AM=BM=12AB. ∵ CE=CF=12AB ,∴ CE=CF= MC.∴ ∠1= ∠E,∠2= ∠F. ∵ ∠1+∠E=∠4,∠2+∠F=∠3, ∴ ∠1 = 12∠4 ,∠2 = 12∠3. ∴ ∠1+∠2=12 (∠4+∠3)=12× 90°=45°,即∠EMF=45°. (第13题) 14. (1) ∵ DE⊥AB, ∴ ∠DEB=90°. ∵ F 为BD 的中点, ∴ EF=12BD=5. (2) △DEF、△BEF、△DCF、△BCF、 △CEF 是等腰三角形. (3) ∠A=∠CEF. ∵ ∠DEB=90°,∠ACB=90°,F 为 BD 的中点, ∴ FE=FB=FC. ∴ ∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE, ∠FCB=∠FBC. ∴ ∠EFD =2∠EBF,∠CFD = 2∠FBC. ∴ ∠CEF=12× (180°-∠CFE)= 1 2× (180°-∠EFD-∠CFD)= 1 2× (180°-2∠EBF-2∠FBC)= 90°-∠EBF-∠FBC. ∵ ∠A =90°- ∠ABC =90°- ∠EBF-∠FBC, ∴ ∠A=∠CEF. 专题特训（四）　等腰 三角形中的分类讨论 1. B 2. A [解 析] ∵ AB =AC, ∴ ∠B= ∠C=40°.∴ ∠BAC= 180°-∠B-∠C=100°.∵ ∠BAD= 20°,∴ ∠CAD=∠BAC-∠BAD= 80°.分三种情况讨论:① 当AD=AE 时, ∴ ∠ADE = ∠AED = 180°-∠CAD 2 =50°.∴ ∠EDC = ∠AED-∠C=10°.② 当AD=DE 时,∴ ∠DAE = ∠DEA =80°. ∴ ∠EDC= ∠AED - ∠C=40°. ③ 当 AE =DE 时,∴ ∠EAD = ∠ADE=80°.∴ ∠AED=180°- ∠EAD-∠ADE=20°.∵ ∠C= 40°,∴ ∠AED<∠C,不成立.综上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 所述,当△ADE 是等腰三角形时, ∠EDC的度数为10°或40°. 3. 12或8 [解析] ① 当底边长是 3时,若两腰长的和是3的三倍,即为 9,满 足 三 角 形 三 边 关 系 定 理,则 △ABC 的周长是9+3=12;若一腰 长与底边长的和是另一腰长的三倍, 易得腰长是1.5,不满足三角形的三 边关系定理.② 当腰长是3时,若两 腰长的和是底边长的三倍,则底边长 是2,满足三角形的三边关系定理, △ABC的周长是3+3+2=8;若一 腰长与底边长的和是另一腰长的三 倍,易得底边长是6,不满足三角形的 三边关系定理.综上所述,△ABC 的 周长为12或8. 4. D 5. 分两种情况讨论: ① 当底角和顶角的度数之比为1∶ 4时,设底角的度数为x,则顶角的度 数为4x. 根据题意,得x+x+4x=180°,解得 x=30°. ∴ 4x=4×30°=120°. ∴ 这个三角形三个内角的度数分别 为120°、30°、30°. ② 当顶角和底角的度数之比为1∶ 4时,设顶角的度数为y,则底角的度 数为4y. 根据题意,得y+4y+4y=180°,解得 y=20°. ∴ 4y=4×20°=80°. ∴ 这个三角形三个内角的度数分别 为20°、80°、80°. 综上所述,这个三角形三个内角的度 数分别为120°、30°、30°或20°、80°、80°. 6. 75°或15° [解析] 在等腰三角形 ABC中,AB=AC,BD 为腰AC 上的 高,∠ABD=60°.当△ABC 为锐角三 角形,BD 在△ABC 的 内 部 时,如 图①.∵ BD 为 腰 AC 上 的 高, ∴ ∠ADB=90°.∴ ∠BAD=90°- 60°=30°.∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB=12× (180°-30°)=75°.当 △ABC为钝角三角形,BD 在△ABC 的外部时,如图②.∵ BD 为腰AC 上 的高,∴ ∠ADB=90°.∴ ∠BAD= 90°-60°=30°.∵ AB = AC, ∴ ∠ABC=∠ACB=12∠BAD= 15°.当△ABC为直角三角形时,不符 合题意.综上所述,等腰三角形的底角 度数为75°或15°. (第6题) 7. ① 如图①,若△ABC 为锐角三 角形, ∵ AD⊥BC,BE⊥AC, ∴ ∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°. ∴ ∠C + ∠CBE =90°,∠C + ∠CAD=90°. ∴ ∠CBE=∠CAD. 在△BDF 和△ADC中, ∠DBF=∠DAC, ∠BDF=∠ADC, BF=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDF≌△ADC. ∴ BD=AD. ∴ ∠ABD=45°,即∠ABC=45°. ② 如图②,若△ABC 为钝角三角形, 当∠ABC 为 钝 角 时,同 理,可 证 △BDF≌△ADC. ∴ BD=AD. ∴ ∠ABD=45°. ∴ ∠ABC=135°. 当∠BAC 或∠ACB 为钝角时,同理, 可得∠ABC=45°. ③ 若△ABC 为 直 角 三 角 形,当 ∠ACB 或∠BAC 为 直 角 时,易 得 ∠ABC=45°. 综上 所 述,∠ABC 的 度 数 为 45° 或135°. (第7题) 8. 分两种情况讨论: ① 如图①,边AB 的垂直平分线与边 AC 交 于 点 D,∠ADE =40°,则 ∠A=50°. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=(180°-50°)÷2=65°. ② 如图②,边AB 的垂直平分线与 CA 的延长线交于点D,∠ADE= 40°,则∠DAE=50°. ∴ ∠BAC=130°. ∵ AB=AC, ∴ ∠B=(180°-130°)÷2=25°. 综上所述,∠B 的度数为65°或25°. (第8题) 9. ∵ BD 为边AC上的中线, ∴ AD=CD. ① 当(AB+AD)-(BC+CD)= 3cm,即AB-BC=3cm时, ∵ BC=5cm, ∴ AB=5+3=8(cm). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 此时△ABC 的三边长分别为8cm、 8cm、5cm,符合三角形的三边关系. ② 当(BC+CD)-(AB+AD)= 3cm,即BC-AB=3cm时, ∵ BC=5cm, ∴ AB=5-3=2(cm). 此时△ABC 的三边长分别为2cm、 2cm、5cm,不符合三角形的三边关系. 综上所述,腰长为8cm. 10. B 11. 20°或40°或70°或100° [解析] 如图①,当 AD=AB 时, ∠ADB=∠ABC=40°.如图②,当 AD=BD 时,∠DAB=∠DBA= 40°,∴ ∠ADB=180°-2×40°= 100°.如图③,当BD=AB,且△ABD 是锐角三角形时,∠ADB=∠BAD= 1 2 (180°-∠ABC)=70°.如图④,当 AB=BD,且△ABD 是钝角三角形 时,∠BAD=∠ADB=12∠ABC= 20°.综上所述,∠ADB 的度数为20° 或40°或70°或100°. (第11题) 12. (1) 画法不唯一,如图①,线段 BD 即为所求作. (2) 画法不唯一,如图②,线段BE、 EF 即为所求作. (3) 设∠B=x. ① 如图③,当DE=AD 时,∠AED= ∠DAE. ∵ AD=CD, ∴ ∠CAD=∠C=24°. ∵ BE=DE, ∴ ∠B=∠EDB=x. ∴ ∠AED=∠DAE=2x. ∴ 在△ABC 中,24°×2+2x+x= 180°. ∴ x=44°. ∴ ∠B=44°. ② 如图④,当AE=AD 时,∠AED= ∠ADE. ∵ AD=CD, ∴ ∠CAD=∠C=24°. ∴ ∠ADB=48°. ∵ BE=DE, ∴ ∠B=∠EDB=x. ∴ ∠AED=∠ADE=2x. ∴ ∠ADB=2x+x=48°. ∴ x=16°. ∴ ∠B=16°. ③ 当EA=DE时,∠DAE=∠ADE. 同理,可得∠AED=2x,∠CAD= 24°. ∴ ∠DAE=∠ADE= 12 (180°- ∠AED)=90°-x. 此时∠CAB+∠C+∠B=90°-x+ 24°+24°+x≠180°,不合题意,舍去. 综上所述,∠B 的度数为44°或16°. (第12题) 专题特训（五）　等腰 三角形的“三线合一” 1. D [解析] 如图,过点C 作CD⊥ AB,垂足为D,延长BO 交CD 于点 P,连 接 AP.∵ ∠OBC =18°, ∠CBA=48°,∴ ∠ABP=∠CBA- ∠OBC=30°.∵ ∠CAB=∠CBA= 48°,∴ CA =CB.∵ CD ⊥AB, ∴ AD=BD.∴ CD 是AB 的垂直平 分线.∴ PA =PB.∴ ∠PAB = ∠PBA=30°.∴ ∠CAP=∠CAB- ∠PAB=18°.∵ ∠AOP 是△AOB 的一个外角,∴ ∠AOP=∠OAB+ ∠OBA=42°.∵ CD⊥AB,∴ ∠CDA= 90°.∴ ∠ACD=90°-∠CAD=42°. ∴ ∠AOP=∠ACD.∵ ∠PAB= 30°,∠OAB =12°,∴ ∠PAO = ∠PAB-∠OAB=18°.∴ ∠CAP= ∠OAP.∵ AP=AP,∴ △ACP≌ △AOP.∴ AC=AO.∵ ∠CAO= ∠CAP+∠OAP=36°,∴ ∠ACO= ∠AOC=72°.∵ ∠AOB =180°- ∠OAB-∠OBA=138°,∴ ∠ACO+ ∠AOB=210°. (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 44 　　　专题特训（四）　等腰三角形中的分类讨论 ▶ “答案与解析”见P23 类型一 当底和腰不确定时,分类讨论 1. 若等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个 等腰三角形的周长是 ( ) A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 17和22 2. 在△ABC 中,AB=AC,点D、E 分别在边 BC、AC 上,连接AD、DE,使得△ADE 是等 腰 三角形.若∠B=40°,∠BAD=20°,则 ∠EDC 的度数为 ( ) A. 10°或40° B. 10°或20° C. 20°或40° D. 10°或20°或40° 3. 定义:若三角形满足其中两边之和等于第三 边的三倍,则称该三角形为“三倍三角形”.若 等腰三角形ABC 是“三倍三角形”,且其中一 边长为3,则△ABC 的周长为 . 类型二 当顶角和底角不确定时,分类讨论 4. 若等腰三角形有一个内角的度数是40°,则它 的顶角度数是 ( ) A. 40° B. 70° C. 100° D. 40°或100° 5. 如果某个等腰三角形的两个内角的度数之比 为1∶4,那么这个三角形三个内角的度数分 别为多少? 类型三 当三角形的形状不确定时,分类讨论 6. 等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角 为60°,则等腰三角形的底角度数为 . 7. 已知△ABC 的高AD、BE 所在的直线交于 点F,若BF=AC,求∠ABC 的度数. 类型四 由腰的垂直平分线引起的分类讨论 8. 在△ABC 中,AB=AC,边AB 的垂直平分 线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°, 求∠B 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级上 45 类型五 由腰上的中线引起的分类讨论 9. 等腰三角形ABC 的底边BC 的长为5cm,边 AC 上的中线BD 把其分为周长差为3cm的 两部分,求腰长. 类型六 由点的位置不确定引起的分类讨论 10. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB= 2BC,在直线BC 或AC 上取一点P,使得 △PAB 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有 ( ) A. 7个 B. 6个 C. 5个 D. 4个 (第10题) (第11题) 11. 如图,在△ABC 中,∠ABC=40°.若动点D 在直线BC 上,则当△ABD 为等腰三角形 时,∠ADB 的度数为 . 类型七 “新定义”中的分类讨论 答案讲解 12. 如果一条线段将一个三角形分成两 个等腰三角形,那么这条线段被称 为这个三角形的“好线”;如果两条 线段将一个三角形分成三个等腰三角形,那 么这两条线段被称为这个三角形的“好好线”. (1) 如图①,在△ABC 中,∠A=36°,∠C= 72°,请你在这个三角形中画出它的一条“好 线”,并标出所分得的等腰三角形顶角的度数. (2) 如图②,在△ABC 中,AC=BC 且 ∠C=45°,请你在这个三角形中画出它的 “好好线”(只需画出一种),并标出所分得的 等腰三角形底角的度数. (3) 在△ABC 中,∠C=24°,AD 和DE 为 △ABC的“好好线”,点D 在边BC 上,点E 在边AB 上,且AD=CD,BE=DE,请你根 据题意画出示意图,并求∠B的度数. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第2章　轴对称图形