3.2.2 基本不等式的应用 课件-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

苏教版 数学 必修第一册 第3章 不等式 3.2.2 基本不等式的应用 【课标要求】 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.能利用基本不等式求函数和代数式的最大值或最小值. 3.能够运用基本不等式求实际问题中的最大（小）值. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点. 用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值 已知 ， 都是正数，如果和 等于定值 ，那么 当 时，积 有最大值 两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值 已知 ， 都是正数，如果积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值 名师点睛 （1）口诀：和定积最大，积定和最小. （2）应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等. 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】积定求和或和定求积的最值 例1（1） 若 ， ，且 ，则 的最大值为( ) D A.5 B.6 C.8 D.9 [解析] 因为 ， ，且 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最大值为9.故选D. 6 （2）若 ，则当 取最大值时， 的值是( ) B A. B. C. D.10 [解析] ，则 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以当 取最大值时， 的 值是 ，故选B. 7 题后反思 应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数. 8 跟踪训练1 已知 ， 都是正数， （1）如果 ，则 的最小值是_ _____； <m></m> [解析] 因为 ， 都是正数，所以 ，当且仅当 时 等号成立，即 的最小值是 . （2）如果 ，则 的最大值是_ ___. <m></m> [解析] 因为 ， 都是正数，所以 ，当且仅当 时，等号成立，即 的最大值是 . 9 【题型二】常数代换法 例2 设 ， ，若 ，则 的最小值为( ) D A. B.4 C.9 D. [解析] 因为 , , ,所以 ， 当且仅当 ,即 时，等号成立.故选D. 10 规律方法 常数代换（“1”的代换）法求最值的步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值. 11 跟踪训练2 已知 , ，若 ，则 的最小值为( ) B A.10 B.9 C.8 D.7 [解析] 因为 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立.故选B. 12 【题型三】恒成立问题求最值 例3（1） 已知正实数 ， 满足 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 由正实数 ， ， ，得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，则 ，故选A. 13 （2）对任意的 ， 恒成立，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. [解析] 因为对任意的 ， 恒成立， 即 对任意的 恒成立， 即 对任意的 恒成立. 因为 ，则 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时，取等号，所以 .故选C. 14 题后反思 恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若 恒成立，则 ；若 恒成立，则 .将问题转化为求 的最值问题，可能会用到基本不等式. 15 跟踪训练3 若正数 , 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的最大值为( ) D A. B. C. D. 16 [解析] 因为 ， ， ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立. 因为不等式 恒成立， 所以 ，即 ， 所以，实数 的最大值为 .故选D. 17 【题型四】基本不等式的实际应用 例4 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成. （1）现有可围 长网的材料，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎 笼的面积最大？ （2）要使每间虎笼面积为 ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四 间虎笼的钢筋网总长最小？ 18 解 设每间虎笼长 ，宽 ，则由条件知， ，即 . 设每间虎笼的面积为 ，则 . （1）（方法一）因为 ， 所以 ，得 ， 即 ，当且仅当 ，即 , 时，等号成立. 故每间虎笼长 ，宽 时，可使面积最大. 19 （方法二）由 ，得 . 因为 ，所以 ， 所以 ， . 因为 ，所以 ， 所以 , 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 . 故每间虎笼长 ，宽 时，可使面积最大. 20 （2）由条件知 . 设钢筋网总长为 ，则 . （方法一）因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 , 时，等号成立. 故每间虎笼长 ，宽 时，可使钢筋网总长最小. 21 （方法二）由 ，得 . 所以 , 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 . 故每间虎笼长 ，宽 时，可使钢筋网总长最小. 22 规律方法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 （1）先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. （2）建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. （3）在定义域内求出函数的最大值或最小值. （4）正确写出答案. 23 跟踪训练4 如图，某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬 菜温室，温室内沿左右两侧与后侧内墙各保留 宽的通道，沿 前侧内墙保留 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬 菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 24 解 设矩形温室的左侧边长为 ，与其对应的种植蔬菜的区域的一边长为 ， 则矩形温室的前侧边长为 ， 与其对应的种植蔬菜的区域的另一边长为 . 由 得 ， 所以其面积 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此当矩形温室的左侧边长为 ,前侧边长为 时，蔬菜的种植面积最大，最大 种植面积是 . 25 成果验收•课堂达标检测 26 A层 基础达标练 1.设 ， 为正数，且 ，则下列各式正确的是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ,当且仅当 时等号成立.故选B. 27 2.若 ， ，且 ，则 有( ) D A.最大值64 B.最小值 C.最小值 D.最小值64 [解析] 由题意得 ，所以 ， 当且仅当 , 时等号成立.故选D. 28 3.若正实数 , 满足 ,则 的最小值为( ) A A. B.2 C. D.1 [解析] 由题意可知 , ,则 当且仅当 ,即 时等号成立 ,所以 ,即 的最小值为 .故选A. 29 4.（多选题）已知 , ,且 ,则( ) AD A. B. C. D. [解析] 当且仅当 时等号成立 . 因为 , ,所以 ,故A正确，B,C错误； 当且仅当 ,即 时等号成立 ,故D正确.故选 . 30 5.已知 , ,且 ,则 的最大值为_ __. <m></m> [解析] ,当且仅当 时等号成立.故 的最大 值为 . 31 6.一批救灾物资随51辆汽车从某市以 的速度匀速直达灾区.已知两地公路线长 ,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 ,那么这批物资全部到达灾区最 少需要____ . 10 [解析] 当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶 .最后一辆车驶完全程共需 要 ,所以一共需要 ,由基本不等式,得 ,当且 仅当 时等式成立，故最少需要 . 32 7.运货卡车以每小时 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制 （单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油 升，司机 的工资是每小时14元. （1）求这次行车总费用 （单位：元）关于 的关系式； 解 由题意知，所用时间为 小时， 故 , . 所以这次行车总费用 关于 的关系式是 , . 33 （2）当 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用. 解 , 当且仅当 ，即 时等号成立. 所以当 时，这次行车的总费用最低，最低费用为 元. 34 B层 能力提升练 8.若 ，则 ( ) D A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值 D.有最大值 [解析] .因为 ，所以 .故 ,当且仅当 ，即 时 等号成立.故选D. 35 9.已知 ， ，且 ，则 的最大值为( ) B A.16 B.25 C.9 D.36 [解析] , ,且 , .当且仅当 时等号成立.故选B. 36 10.若当 时,代数式 取得最小值 ,则 ( ) C A. B.2 C.3 D.8 [解析] 由 ,得 , ,所以由基本不等式得 ,当且仅当 ,即 时等号成立.所以 , ,故 .故选C. 37 11.某工厂生产某种产品，第一年产量为 ，第二年的增长率为 ，第三年的增长率为 ，这两年的平均增长率为 ， ， 均大于零 ，则( ) B A. B. C. D. [解析] 由题意得， ，则 .因为 （当且仅当 时,等号成立），所以 ，所以 .故选B. 38 12.（多选题）若正实数 ， 满足 ，则下列说法错误的是 ( ) ABD A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值1 D. 有最小值 39 [解析] 因为 ， ，且 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立.所以 ，故A错误. ，当且仅当 时等 号成立.所以 ，故B错误 ，当且仅当 时等号成立.所以 有最小值1，故C正确. ,当且仅当 时等号成立. 所以 的最小值是 ，不是 ，故D错误.故选 . 40 13.（多选题）若 , ， ，且 ，则下列不等式成立的是 ( ) BD A. B. C. D. [解析] 由基本不等式可得 ， ， ，上述三 个不等式累加得 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立，故D正确. ，所以 或 ，当且仅当 时等号成立，故B正确，A错误.若 ，则 ，故C错误.故选 . 41 14.已知 , 都是正数,满足 ,则 的最小值为___. 3 [解析] 因为 , 都是正数,满足 , 所以 ,当且仅当 且 ,即 时等号成立.故 的最小值为3. 42 15.若实数 , ,且满足 . （1）求 的最大值； 解 因为 , ,所以 ,即 . 整理得 ,解得 （当且仅当 时等号成立）.故 的最大值为4. 43 （2）求 的最小值. 解 （方法一）因为 , 所以 , 解得 （当且仅当 时等号成立）. 故 的最小值为4. （方法二）由（1）可得 （当且仅当 时等号成 立）,即 的最小值为4. 44 C层 拓展探究练 16.已知实数 , 满足 , ,则 的最大值是_________. <m></m> [解析] 由 ,得 .由 ,得 ,解得 .所以 ,当且仅当 且 ,即 时等号成立.故 的最大值为 . 45 $$