精品解析：2024年浙江省宁波市镇海区尚志中学 九年级中考三模数学试题

2024年浙江省初中学业水平考试模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试题卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作签，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标公式：． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列各数中是负数的是（　　） A. B. ﹣3 C. D. 2. 我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2023年贵州某大学数学与统计学院研究生入学考试中，三名考生甲、乙、丙在笔试、面试中的成绩（百分制）如下表所示，你觉得被录取的考生是（　　） 考生 笔试（40%） 面试（60%） 甲 80 90 乙 90 80 丙 85 85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 4. 将正三角形、正方形、正六边形按如图方式摆放，正六边形和正方形的下底边共线，顶点在边上，顶点在边上，顶点在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 有甲、乙两种铺路沥青车，乙型沥青车比甲型沥青车每小时多铺沥青，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，两种型号沥青车每小时分别可以铺路多少平方米？若设甲型沥青车每小时铺路x平方米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 7. 如图，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ） A. －5 B. －2 C. D. －1 9. 如图，是的内接三角形，、弦，交的延长线于点．已知，，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题（本大题有6个小题、每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为______． 13. 一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有______个白球． 14. 如图，在中，，，是边上的高线，平分交于点，，则的长为______． 15. 在平面直角坐标系中，点坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有______个． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿对折，使得恰好落在对角线上，记点的对应点为，则______，将折起，使得点与重合，则折痕的长为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 19. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连结并延长，交于点，连结，作，垂足为． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 某校老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类的圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 21. 已知二次函数，其中． （1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值． （2）在（1）的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且．请直接写出当的值为多少时，为直角三角形． 22. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求的值． 23. 【背景介绍】 烽火台是古代军情报警一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为______， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 24. 如图，四边形内接于圆，连接并延长交于点，延长，交于点，连接，，交于点．已知，，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年浙江省初中学业水平考试模拟卷 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试题卷首页的指定位置写上姓名和座位号． 3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明． 4．如需画图作签，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交． 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标公式：． 试题卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列各数中是负数的是（　　） A. B. ﹣3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的定义可得B为答案． 【详解】解：A、因为﹣3的绝对值，故本选项不符合题意； B、因为，故本选项符合题意； C、因为，故本选项不符合题意； D、因为，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题运用了负数的定义来解决问题，关键是掌握负数的定义． 2. 我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：轴对称图形是: 故选：A． 3. 在2023年贵州某大学数学与统计学院的研究生入学考试中，三名考生甲、乙、丙在笔试、面试中的成绩（百分制）如下表所示，你觉得被录取的考生是（　　） 考生 笔试（40%） 面试（60%） 甲 80 90 乙 90 80 丙 85 85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算公式．根据题意先算出甲、乙、丙三人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲的成绩为：（分）， 乙的成绩为（分）， 丙的成绩为（分）， 被录取的考生是甲； 故选：A． 4. 将正三角形、正方形、正六边形按如图方式摆放，正六边形和正方形的下底边共线，顶点在边上，顶点在边上，顶点在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正三角形内角为，正方形为，正六边形内角为进行计算即可． 【详解】解：过点作底边， 由题意可知，， ， 正六边形内角为， ， ， ， ， 正三角形内角为， ， ， ， ． 故选D． 5. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 故选：C． 6. 有甲、乙两种铺路沥青车，乙型沥青车比甲型沥青车每小时多铺沥青，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，两种型号沥青车每小时分别可以铺路多少平方米？若设甲型沥青车每小时铺路x平方米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设甲型沥青车每小时铺路x平方米，则乙型沥青车每小时铺路平方米，铺120平方米的面积所用的时间甲型沥青车比乙型沥青车多用40分钟，据此列方程即可． 【详解】解：设甲型沥青车每小时铺路x平方米，则乙型沥青车每小时铺路平方米，由题意可得， 故选：D． 7. 如图，，，，与的面积分别是和，与的周长分别是和，则一定成立的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项D正确，选项C错误， ∵无法确定和的比的值，故选项A，B错误， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，当（其中为常数）时．函数的最小值为，则满足条件的的值为（ ） A. －5 B. －2 C. D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据函数解析式得到函数的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当时，则当时取得最小值，列方程并解方程即可. 【详解】解：∵ ∴函数的函数值随着x的增大而增大， 当时，则当时取得最小值， 即， 解得， 故选：A 9. 如图，是的内接三角形，、弦，交的延长线于点．已知，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点E，连接并延长交于D，连接，由垂径定理和三线合一定理可得，则C、O、E三点共线，利用勾股定理求出，则，进而求出，再证明，得到；设，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接并延长交于D，连接， ∵，点E为中点， ∴， ∴C、O、E三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三线合一定理，相似三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 10. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，当时，，求出，即可得到答案. 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，且，即，如图， ∴当时，， 解得， ∴， 故选：D 二、填空题（本大题有6个小题、每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 12. 神舟十八号载人飞船是中国载人航天工程发射的第十八艘载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量多吨，总高度近60米，于2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心发射，取得圆满成功．截至目前，有关神舟十八号的相关浏览次数已高达次，将精确到万位并用科学记数法表示的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法表示后，再利用四舍五入即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有______个白球． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算．当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．先计算出到白球的频率为，利用频率估计概率，则摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可． 【详解】解：根据题意，摸到白球的频率为， 估计摸到白球的概率约为， 所以口袋中白球的个数为（个）， 即袋子里有7个白球的可能性最大． 故答案为：7 14. 如图，在中，，，是边上的高线，平分交于点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，过点E作于F，用角平分线性质得到，证明是等腰直角三角形，求出，由得到，则，根据即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作于F， ∵是边上的高， ∴， ∵平分交于点， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有______个． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，．求得直线的解析式为，设直线上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵， 当有最小值，当有最大值， ∴，即， ∴线段上任意点的对应方程都没有实数根， 故答案为：0 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，将沿对折，使得恰好落在对角线上，记点的对应点为，则______，将折起，使得点与重合，则折痕的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查的是矩形的折叠、勾股定理、解直角三角形等知识．由矩形的性质和勾股定理可求得的长，根据折叠可知，设，则，在中，根据勾股定理求得的长，即可求出．将折起，使得点与重合，折痕为，点M在上，点N在上，过点 作于点G，点 作于点F，设则，由锐角三角函数求出，则，得到，在中，，即，解得，，同理可求得，根据勾股定理即可求出折痕的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴，， 设，则， 在中，， 即 解得：， 即 ∴， 将折起，使得点与重合，折痕为，点M在上，点N在上，过点 作于点G，点 作于点F， 设则， ∵， ∴， ∴ ∴ 在中，， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴ ∴ 在中，， 即， 解得，， ∴， 即折痕长为， 故答案为：， 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 化简：． 小明的解答如下： 解：原式． 小明的解答正确吗?如果不正确，请写出正确的解答． 【答案】不正确，，正确解答见解析 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，根据乘法公式展开，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：不正确， 正确解答： ． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 19. 如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连结并延长，交于点，连结，作，垂足为． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据圆周角定理得，即可证明结论； （2）利用相似三角形的性质求出，再根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 证明：是直径， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 在中，． 20. 某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 【答案】（1）人 （2）15，60， （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：全班学生总人数为：（人）； 小问2详解】 解：∵B类百分比为， ∴； ∵C类人数为：（人）， ∴C类百分比为， ∴； ∴C类的圆心角为， 故答案为：15，60，； 【小问3详解】 解：列表如下： A B B C A / BA BA CA B AB / BB CB B AB BB / CB C AC BC BC / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， ∴P(全是B类学生)＝． 21. 已知二次函数，其中． （1）若该二次函数的图象与轴仅有一个公共点，求实数的值． （2）在（1）的条件下，若直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且．请直接写出当的值为多少时，为直角三角形． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质等知识， 分类讨论和数形结合是解题的关键． （1）由题意可得，即可求出答案； （2）求出点A的坐标是，根二次函数图象可知，点B为，根据图象或，分两种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴仅有一个公共点 ∴， 解 【小问2详解】 当时，， 当时，解得， ∴点A的坐标是， ∵直线的图象与二次函数的图象交于两点，，且过都过定点，且．则根二次函数图象可知，点B为， ∵，， ∴ ∵为直角三角形， ∴或， ①当时， 过点作轴于点D，则， ∴, ∴， 设点的坐标为，则，, ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴点的坐标为，即， 把点代入得，，解得，， ②当时， 过点作轴于点E，则， ∴, ∴， 设点的坐标为，则，, ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴点的坐标为，即， 把点代入得，，解得，， 综上可知，当或时，为直角三角形． 22. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，为的中点．连结，，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，又由即可证明； （2）根据等腰直角三角形性质，延长构造中位线即可解题． 【小问1详解】 证明：延长，交于点Q， ∵ ∴ 在中，点M为中点 ∴ ∵在中，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形 【小问2详解】 延长，交于点Q， 由（1）得 ∵M是中点，点Q是的中点， ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线、中位线、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角函数、平行四边形的判定知识， 解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线、中位线的性质． 23. 【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为______， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）士兵射出的箭没有掉进圣火台里． （4）射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键． （1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图： 【小问3详解】 解：设二次函数的解析式为：， 当时，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时， 解得：， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里． 【小问4详解】 解：由（3）可知：二次函数的解析式为， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为， 设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形右上角的点时， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 24. 如图，四边形内接于圆，连接并延长交于点，延长，交于点，连接，，交于点．已知，，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，得到，结合可得，由可推出，由可得，可推出，即可证明； （2）延长交圆于点，连接，由，，可得，得到，由可设，则，得到，，在中，根据勾股定理列方程求出，进而可求出，再根据等面积法求出，利用勾股定理和三角函数求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据勾股定理、三角函数和相似三角形的性质求出、的值，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； 【小问2详解】 如图，延长交圆于点，连接， ，， ， 由（1）知， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 由（2）知，， 设，则，， 在中，， ， ，， ，， ， ，即， ，， ，， ，， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $