专题01 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例3．（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 变式1．（2023·湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 变式3.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2022·江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 例3．（2022春·福建泉州·七年级校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系； （3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（2023·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 例2．（2023·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 例3．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．         (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ．(2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行．当时（如下图），则 ． 当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 变式1．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024.山东七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 3．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 6．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为 ．    8．（2023·山东八年级课时练习）如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 9．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形． 求证：． 10．（2023春·河南新乡·七年级期中）发现与探究 【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴________________________________， 同理，是的外角， ∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 11．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 12．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 13.（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 15．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置． (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 16．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索： (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 24 模型3.角内（外）翻模型 36 48 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1 图2 图3 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务： (1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 例3．（2023·江苏南京·七年级校联考期末）互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点是三角形内一点，连接，，试探究与，，之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决．小丽：用外角的相关结论也能解决． （1）请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（______） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（______） （2）请你按照小丽的思路完成探究过程；（3）利用探究的结果，解决下列问题： ①如图①，在凹四边形中，，，求______； ②如图②，在凹四边形中，与的角平分线交于点，，，则______；③如图③，，的十等分线相交于点、、、…、，若，，则的度数为______； ④如图④，，的角平分线交于点，则，与之间的数量关系是______； ⑤如图⑤，，的角平分线交于点，，，求的度数． 【答案】（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤ 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断； （2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长交于，然后根据外角的性质确定，，即可判断与，，之间的关系； （3）①连接BC，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；②连接BC，然后根据（1）中结论，求得的和，进而得到的和，然后根据角平分线求得的和，进而求得，然后利用三角形内角和定理，即可求解； ③连接BC，首先求得，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到，然后得到的和，最后根据（1）中结论即可求解； ④设与的交点为点，首先利用根据外角的性质将用两种形式表示出来，然后得到，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断； ⑤根据（1）问结论，得到的和，然后根据角平分线的性质得到的和，然后利用三角形内角和性质即可求解． 【详解】（1）∵，（三角形内角和180°） ∴，（等式性质） ∵， ∴， ∴．（等量代换） 故答案为：三角形内角和180°；等量代换． （2）如图，延长交于， ， ， 由三角形外角性质可知，，，∴． （3）①如图①所示，连接BC，根据（1）中结论，得， ∴，∴； ②如图②所示，连接BC， 根据（1）中结论，得，∴， ∵与的角平分线交于点，∴，, ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴； ③如图③所示，连接BC， ， 根据（1）中结论，得， ∵，，∴， ∵与的十等分线交于点，∴，, ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴； ④如图④所示，设与的交点为点， ∵平分，平分，∴，， ∵，，∴, ∴, ∴，即； ⑤∵，的角平分线交于点，∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解． 变式1．（2023·湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，根据平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，根据平角性质得到∠1+∠2+∠ACB=180°，推出∠A+∠B+∠ACB=180°，得到∠A＋∠B＋∠C＝180°； （2）连接BC，在△DBC和△ABC中，根据（1）中结论得到∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，根据∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB，推出∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB，得到∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，得到∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【详解】（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，则∠1=∠A，∠2=∠B， ∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°； （2）连接BC，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB， ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB， ∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，即∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【点睛】本题主要考查了平行线，三角形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握平行线性质，三角形内角和定理的证明方法，三角形内角和定理的运用． 变式2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于，若，，则 ． 【答案】 【分析】首先连接BC，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数. 【详解】如下图所示，连接BC， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用，熟练掌握相关角度的和差计算是解决本题的关键. 变式3.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. 【详解】（1）∵，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴ （2）过点作，交、于、，则， 由（1）知 ∵， ∴ 即 （几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 模型2.风筝（鹰爪）模型 图1 图2 1）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据多边形（三角形）的外角和为即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键． 例2．（2022·江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 【答案】(1)(2)；(3)； ；证明见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和平角的定义可得结论； （2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和列式可得结论； ②根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和与三角形内角和定理列式可得结论； （3）①连接AP，根据三角形内角和定理的推论可得等式，将两个等式相加可得结论； ②设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由①得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，即可得到结论；③延长BP交CN于点Q，构建三角形PQC，由①的结论得：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，根据角平分线的定义，证明∠MBP＝∠PQC，可得结论． 【详解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°， ∴∠ACD＝∠A+∠B，故答案为：∠A+∠B； （2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°， ∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°，故答案为：70； ②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°， ∵∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝260°，故答案为：260； （3）①连接AP，如图， ∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝230°，故答案为：230； ②设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y， 则：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P． ∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案为：∠P＝∠A+100°； ③证明：延长BP交CN于点Q，如图： ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP， ∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，又∠A＝∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP． ∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质的推理及运用，角平分线的定义，平行线的判定．根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 例3．（2022春·福建泉州·七年级校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)．理由见解析(3)．理由见解析 【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可． ②利用①中结论解决问题．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． (1)①如图1中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α， ∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°． ②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，故答案为130，70°+∠α． (2)结论：∠1＝70°+∠2+∠α． 理由：如图2中，∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝70°+∠2+∠α． (3)结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．理由：如图3中， ∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α， ∴∠1+∠2＝430°﹣∠α． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 变式1．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点 A落在的内部的点 M处，当，时，求的度数； （2）如图，将沿 折叠，使点 A 落在的外部的点 M 处．求图中，，之间的数量关系； （3）如图 ，将、一起沿折叠，使点 A、点B的对应点 M、N 分别落在射线 的左右两侧，，，、的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，，， ∴，整理得，， ∵，，∴，即； （2）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即；故答案为：； （3）如图，，，，， ∵翻折，∴，， ∵，∴， 整理得，，即． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键． 模型3.角内（外）翻模型 图3 图4 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 例1．（2023·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数. 【详解】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴故选C 【点睛】本题考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 例2．（2023·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，再根据外角的性质即可求出结果． 【详解】解：将沿直线m翻折，交于点E、F，如图所示： 由折叠的性质可知：，根据外角的性质可知：，， ，，故选：C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题的关键． 例3．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1，中，，，．点是边上的定点，点在边上运动，沿折叠，折叠后点落在点处．下面我们来研究折叠后的有一边与原三角形的一边平行时的值．    (1)首先我们来研究边．因为和的、相交，所以只有一种可能的情况（如图2），，此时 ． (2)其次，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时（如下图），则 ．           当时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边．因为点在上，所以可能与的边、边分别平行． 当时， ．当时， ． 【答案】(1)(2)或；(3)或； 【分析】（1）根据折叠的性质得出，再根据外角的性质得出计算得出结论即可；（2）当时，分情况求出的度数，当时，根据平行线的性质直接得出的度数即可；（3）当时，分情况求出的度数，当时，根据平行线的性质直接得出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，故答案为：； （2）解：当（1）时（如图3），      ∵，，∴， ∴； 当（2）时，∵， ∴，故答案为：或； 当时，，故答案为：； （3）解：当时，或，故答案为：或； 当时，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是等知识是解题的关键． 变式1．（2023春·江苏·七年级期中）如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得到，，结合，得到，再根据，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】．根据折叠的性质，得到，， 因为，所以， 因为，所以．故选C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠性质是解题的关键． 变式2．（2023·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理求出，根据对顶角相等得出，根据三角形内角和定理可得结果． 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，故B正确．故选：B．    【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，解题的关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 1．（2024.山东七年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【答案】B 【分析】本题问的是关于角的问题，当然与折叠中的角是有关系的，∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案． 【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°， ∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)， ∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) 则2∠A=∠1+∠2，故选择B项. 【点睛】本题考查折叠和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握折叠的性质. 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 【答案】C 【分析】由得，再根据翻折知，，即可求出的值． 【详解】解：，，翻折，，， ，，故选：C． 【点睛】本题考查了翻折的性质以及三角形内角和定理，熟练运用翻折的性质是解题的关键． 3．（2023·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果． 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 4．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．，， ，， ，，， ，，，故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 【答案】/度 【分析】根据折叠性质，，根据三角形内角和定理，得到，根据平角计算即可． 【详解】根据折叠性质，得，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角，熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 6．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 【答案】126° 【分析】利用平行线的性质求出∠DEN＝27°，再利用翻折不变性得到∠AED＝∠DEN＝27°，再根据平角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°． 【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为 ．    【答案】/49度 【分析】利用三角形内角和求出，结合已知得到，可求得，再根据折叠的性质，可得，，进一步求出，再利用三角形内角和求出结果． 【详解】解：∵是边上的高，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，由折叠可得：，， ∴，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角之间的关系，根据折叠得到相等的角． 8．（2023·山东八年级课时练习）如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 【答案】见解析 【分析】解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质证明∠B+∠BDF=90°即可得到答案； 解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F，根据三角形内角和定理和平行线的性质证明∠ADF+∠EDA=90°，即可得到答案． 【详解】解：ED⊥BC，证明如下： 解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F， ∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵∠ADE=∠BDF，∴∠E=∠BDF， ∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180° ∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°， ∴∠B+∠BDF=90°，∴ED⊥BC； 解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F， ∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵DF∥BC，∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD∴∠AFD=∠ADF， ∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°， ∴2∠ADF+2∠EDA=180°，∴∠ADF+∠EDA=90°， ∴∠EDF=90°，∴ED⊥DF，∴ED⊥BC． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，垂直的判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 9．（2023·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形． 求证：． 【详解】作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N 由三角形的三边关系可得 ①+②+③得 ∴，即． 10．（2023春·河南新乡·七年级期中）发现与探究 【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴________________________________， 同理，是的外角， ∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 【答案】发现：，；验证：不符合规格，理由见解析；探究：增加，5 【分析】（1）发现：延长交于点，根据三角形的外角定理得出，，即可得出结论；（2）验证：由“发现”中的结论可得，则，求出符合规格的零件，即可得出结论； （3）探究：根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出，再根据“发现”中的结论得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）发现：解：， 理由：延长交于点，∵是的外角， ∴，同理，是的外角， ∴，∴（等量代换）． 故答案为：，； （2）验证：由“发现”可知：，∴， ∵符合标准的零件，， ∴符合标准的零件， ∵，∴该零件不符合规格； （3）探究：∵，∴， ∴， ∵，保持不变， ∴应增加故答案为：增加，5． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形那个的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 11．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据对顶角相等以及四边形的内角和进行判断即可； （2）法一：根据以及和分别平分和，算出和,从而算出； 法二：根据三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解； （3）法一：连接AC，根据三角形的内角和与角平分线的性质分别求出，，故可求解；法二：连接BD并延长到G根据三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解． 【详解】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为 ∴又∵∴ ∵在四边形中，内角和为∴． （2）法一：∵和分别平分和∴ 又∵∴ ∴ ∴． 法二：连接BD，∵B、P、D三点共线∴BD、AF、CE交于P点 ∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB ∵和分别平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB， ∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°， ∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°． （3）法一：如图：连接AC ∵， ∴ ∴ 又∵和分别平分和∴ ∴ ∴． 法二：如图，连接BD并延长到G， ∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30° 同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°． 【点睛】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12．（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3)；理由见解析 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、，∴，即， ∵，，，∴，故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． （3）解：；理由如下：如图3， 由（1）知，∵平分，∴， ∵平分，∴，∵，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 13.（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】 已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系． 【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是． 【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________； 【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P． ①若，，则________°；②若且，则________°； ③直接写出与、之间的数量关系； （2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）． 【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2） 【分析】[问题再探]（1）如图2中，结论：．连接，延长到．利用三角形的外角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理解决问题即可． [拓展延伸]（1）①求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题． ②根据，可得结论． ③根据，可得结论． （2）结论：．设，．构建方程组求解即可． 【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：． 理由：连接，延长到． ，， ． （2）如图3中，结论：． 理由：连接．，， ，． [拓展延伸]①如图4中，，，， 、的外角平分线相交于点，， ，故答案为：25． ②，，，，故答案为：20． ③，． （2）如图5中，结论：． 理由：设，． 则有．②①可得，， 即，故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 14．（2023·河北·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角，∴． ∵是的外角，∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角，∴． 由（1）的结论可知，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 15．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置． (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)，互余(2)(3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可；（2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可；（3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，∴， 由折叠得：. ∴， ∵，∴与的数量关系是互余． （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴，∴的度数为； （3）解：如图： ∵，∴， 由折叠得：， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 16．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索： (1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？ (2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）连接，由外角的性质得到，做差即可得到答案； （2）由图形折叠的性质可知，两式相加变形后即可得到答案． 【详解】（1）连接， ∵，，∴； （2）由图形折叠的性质可知， 两式相加得，，即， ∴，即：． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． 17．（2024·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②见解析；（5） 【分析】（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可； （2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°´，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）两次运用镖形中的角的关系可得； （4）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角； ②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．（5）由，知，代入得，据此得出，代入可得答案． 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下： 如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α； （4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ； ②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM． 令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β． ∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ， ∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM； （5）如图，由题意知，， ，， ， ， 则，代入得： ， 解得：， ，，． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$