专题03 与代数式相关的五种排列规律-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

专题03 与代数式相关的五种排列规律 题型一：数字与数式的排列规律 题型二：数表的排列规律 题型三：数阵的排列规律 题型四：图阵中点的排列规律 题型五：图形的排列规律 题型一：数字与数式的排列规律 观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一．单选题（共2小题） 1．观察等式：，，，…．若用含x的式子表示；，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类．根据题中的等式，找到规律，再根据幂的运算法则求解． 【详解】解：∵， ， ． …． ∴， ∴ ， 故选：C． 2．观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律； 【详解】解：①， ②， ③…… …… 第n（n为正整数）个等式为， 故选：D． 二．解答题（共3小题） 3.观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． 4．观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【答案】(1) (2)2870 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算： （1）根据上述等式写出第5个等式即可； （2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算的值． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， ∴ ． 5．观察下列算式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)请写出第5个等式：__________； (2)写出第个（为正整数）等式； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)286 【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用表示出第个等式是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）由题知，因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …， 所以第个等式为：； 当时，； 故答案为：． （2）由（1）知， 第个等式为：（为正整数）． （3）原式 ． 题型二：数表的排列规律 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… (2)若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； (3)利用（2）中的等式，计算： 【答案】(1) (2) (3)2100 【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空； （2）结合（1）即可得第n个等式； （3）结合（2）的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：④， 故答案为：； （2）解：∵； ； ； ； ；… ∴ 故答案为：； （3）解： ． 一．单选题（共2小题） 1.如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c． 【详解】解：观察网格图中的数字可以发现： ， ， ， 故选：D． 2．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 【答案】D 【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案． 【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年， 天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期， ，， 那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8 2024年对应的天干为甲，地支为辰， 故2024年为甲辰年， 故选：D． 2、 解答题（共2小题） 3.将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 【答案】(1)8 (2)见详解 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据题意列出代数式． （1）根据平均数的定义进行计算即可； （2）用含a的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题． 【详解】（1）解：， 方框中的四个数的平均数为8； （2）解：方框中的四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 为整数 这个和能被4整除． 4．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)81 (2) (3) 【分析】 此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点． （1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方； （2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可； （3）利用以上已知条件得出，求出即可． 【详解】（1）解：由已知得出：， ， ， ， 依此类推：第n个所代表的算式为：； 故当，即时，， 故答案为：81； （2）解：由（1）可得， 故答案为：； （3）解： ． 题型三：数阵的排列规律 如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题： (1)第10行的最后一个数是______； (2)第20行共有______个数； (3)数字2023排在第_____行，从右往左数是第_____个数． 【答案】(1) (2)39 (3)45；3 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知第n行最后一个数为，据此规律求解即可； （2）先求出第19行和第20行最后一个数，用第20行最后一个数减去第19行最后一个数即可得到答案； （3）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为 第3行最后一个数为 第4行最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n行最后一个数为， ∴第10行最后一个数为， 故答案为：； （2）解：由（1）得第20行最后一个数为，第19行最后一个数为， ∴第20行共有个数， 故答案为：39； （3）解：∵， ∴数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数， 故答案为：45；3． 一．单选题（共2小题） 1．已知一列数：1、、3、、5、、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（　　） A． B． C．37 D．45 【答案】A 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为． 故选A． 【详解】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数， 所以前9行的数的个数为， 而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数， 所以第10行数的第1个数为． 故选：A． 2．杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，1，2，3，4，5，…）的计算结果中的各项系数： 则各项系数的和为（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】此题主要考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出此题的数字规律是正确解题的关键．根据杨辉三角数表规律解答即可． 【详解】解：当时，各项系数的和为， 当时，各项系数的和为， 当时，各项系数的和为， 当时，各项系数的和为， …… 发现规律∶各项系数的和为， 当时， 各项系数的和为， 故选：C． 二．解答题（共4小题） 3.观察下列正整数的排列顺序： 解答以下问题： (1)35排在第几行第几列？ (2)第10行第10列的数是多少？第行列的数呢？（用含的代数式表示） (3)2023排在第几行第几列？ 【答案】(1)第6行第2列 (2)91， (3)数2023在第3行第45列． 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第列第行为，第1行第列的数为是解题的关键． （1）根据表格中数字的排列得出结论即可； （2）根据第1列第1行到第5列第5行的数字规律得出第行第列的代数式即可； （3）根据数字变化规律得出第1行第列的数为，即第1行第45列的数为2025，推出2023的位置即可． 【详解】（1）解：由题意知，35排在第6行第2列； （2）解：∵第1列第1行为， 第2列第2行为， 第3列第3行为， 第4列第4行为， 第5列第5行为， ， 第10列第10行为， ∴第列第行为； （3）解：由规律可知，第1行第列的数为， ∴第1行第45列的数为2025， ∴数2023在第3行第45列． 4．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 【答案】(1)64，8，15 (2)，， (3)14859 【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可； （3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可． 【详解】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 故答案为：64，8，15； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是，第1行共有个数； 第2行的第一个数是，最后一个数是，第2行共有个数； 第3行的第一个数是，最后一个数是，第3行共有个数； 第4行的第一个数是，最后一个数是，第4行共有个数； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是，第n行共有个数； 故答案为：，，； （3）∵第20行第1个数为，最后一个数为，共有个数 ∴第20行所有数字之和 ． 5．观察下面三行数： ，，，，，， ① 4，，10，，34， ② 1，，4，，16， ③ (1)第①行的第8个数为______，第②行的第8个数为______，第③行的第8个数为______． (2)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力． （1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第偶数个数的系数为负数，即可得出答案；再根据第②行都比第①行对应数字大2进行解答，第③行是第①行的对应数字的进行解答即可 （2）先分别表示每一行的第10个数，再求和即可 【详解】（1）解：∵，，，，，， ① ∴，，，，… ∴第①行第8个数为：； ∵4，，10，，34， ②，都比第①行对应数字大2， ∴第②行第8个数为：； ∵1，，4，，16， ③， ∴第③行是第①行的， ∴第③行第8个数为：， （2）∵第①行第10个数为：； ∴第②行第10个数为：； 第③行第10个数为：， ∴ . 6.材料一：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数） 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：． (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，，…记，，，…则；（用表示）；． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用k表示）． 【答案】(1)：，，； (2)36，，； (3)． 【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （）总结规律得多项式展开式共有项，各项系数和为，令中，，由展开式得，从而即可得解； （）总结规律得，，从而代入求解即可； （）总结规律得，再由，，得 ，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 多项式展开式共有项，各项系数和为； 令中，，由展开式得 ， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， … ∴； ， 故答案为：，，； （3）解：∵，，，，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ∴． 题型四：图阵中点的排列规律 如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，我们将前n行的点数和记为，如，，则不可能是（    ） A．20 B．15 C．28 D．36 【答案】A 【分析】题目主要考查规律探索问题，根据题意得出的两倍等于相邻两个正整数的积，结合题意即可判断． 【详解】解：由题意，可知， ∴，即的两倍等于相邻两个正整数的积． ∵，，，， ∴不存在两个相邻正整数的积等于20的两倍， 故选A． 一．解答题（共4小题） 1．有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推． (1)填写下表中的空格： 层数 1 2 3 4 5 6 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 (2)根据上表中的数据，试推断： ①第层（）的点数为________（用的代数式表示）； ②层六边形点阵的总点数为_______（用的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． （1）观察点阵可以写出答案； （2）①观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点； ②将每一层的点数相加后即可得到答案． 【详解】（1）解：如表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 19 37 （2）解：①第一层上的点数为1； 第二层上的点数为； 第三层上的点数为； 第四层上的点数为； ； 第层上的点数为． ②第二层开始，每增加一层就增加六个点，即层六边形点阵的总点数为， ， ， ， ． 第层六边形的点阵的总点数为：． 故答案为：； 2．如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，，依此规律，请解答下列问题． (1)图中共有______个黑点；（用含的式子表示） (2)若图中共有个黑点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据所给的图形进行类比得到公式即可； （）利用公式得到方程解题即可； 本题考查了图形的变化规律和解一元一次方程，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解． 【详解】（1）解：图1中共有个黑点， 图中共有个黑点， 图中共有个黑点， 图中共有个黑点， ， 图中共有个黑点， 故答案为：； （2）当时，． 3.用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去． (1)第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______； (2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值． 【答案】(1)14，； (2)27 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的个数依次增加2是解题的关键． （1）依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图形所用棋子的个数为：； 第2个图形所用棋子的个数为：； 第3个图形所用棋子的个数为：； 第4个图形所用棋子的个数为：； ， 所以第个图形所用棋子的个数为个， 当时， （个， 即第5个图形所用棋子的个数为14个． 故答案为：14，． （2）解：由（1）知，，解得， 又m是正整数，所以m的最小值为27． 4.化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【答案】(1) (2) (3)不属于，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， 故答案为： （2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是， 故答案为： （3）解：令，则， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 题型五：图形的排列规律 【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 一．解答题（共4小题） 1．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片； ； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)观察可得：______（用含n的代数式表示）； (2)根据你的发现计算：． 【答案】(1) (2)37890 【分析】此题考查了数字类计算规律的应用，能根据题中所给已知条件找到计算的规律并应用解决问题是解题的关键． （1）根据已知条件直接列式计算即可； （2）将原式变形为，根据得到的公式计算即可． 【详解】（1）解：∵第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片； ∴第个图形中有张正方形纸片； ∴ ， 故答案为：； （2） ． 2.由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②块 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【详解】（1）解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 （2）解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 3.【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】本题考查了图形类规律探究； （1）根据题意有四个值，根据阶方形可得，，，，分别画出图形，即可求解； （2）先计算，前五个正方形边长都为，后四个正方形边长都为，所以矩形是8阶方形． 【详解】解：（1）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： 有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； （2），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为8阶方形． 故答案为：8． 4．在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放． (1)这个鲜花图案有层，则这层共摆放了 盆花（用含的代数式表示）； (2)如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 ，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的． 【答案】(1) (2)红色； 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第层有盆花，层共有盆花． （1）从图形可得：第1层花的盆数是6，第2层花的盆数是，第3层的花的盆数是，，则第层花的盆数是，从而可求层共有花的盆数； （2）根据（1）所得的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：第1层花的盆数是6， 第2层花的盆数是， 第3层的花的盆数是， ， 第层花的盆数是， 层共有花的盆数是： ； （2）解：由题意得：， 解得， 即第16层共有96盆花， ， 第16层花的颜色是红色， 共有花的盆数是：（盆． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 与代数式相关的五种排列规律 题型一：数字与数式的排列规律 题型二：数表的排列规律 题型三：数阵的排列规律 题型四：图阵中点的排列规律 题型五：图形的排列规律 题型一：数字与数式的排列规律 观察下列等式： 第1个等式： ； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式： ． (2)用含有n的代数式表示第n个等式： （n为正整数）； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式； （2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答； （3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算和，两者相减即可得到． 【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …， ∴第n个等式： 故答案为：； （3）解：∵ 又∵ ∴ 一．单选题（共2小题） 1．观察等式：，，，…．若用含x的式子表示；，结果是（　　） A． B． C． D． 2．观察下列等式： ①        ②        ③…… 那么第n（n为正整数）个等式为（    ） A． B． C． D． 二．解答题（共3小题） 3.观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： × ； × ． (2)用你发现的规律计算： 4．观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 5．观察下列算式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)请写出第5个等式：__________； (2)写出第个（为正整数）等式； (3)计算：的值． 题型二：数表的排列规律 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④________；⑤；… (2)若n表示任意一个整数，则2n可以表示任意一个偶数，请你写出第n个等式； (3)利用（2）中的等式，计算： 【答案】(1) (2) (3)2100 【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空； （2）结合（1）即可得第n个等式； （3）结合（2）的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：④， 故答案为：； （2）解：∵； ； ； ； ；… ∴ 故答案为：； （3）解： ． 一．单选题（共2小题） 1.如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 2．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下． 十天干 甲 乙 丙 丁 戊 已 庚 辛 壬 癸 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（    ） A．庚子 B．丁酉 C．壬卯 D．甲辰 2、 解答题（共2小题） 3.将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵． (1)如图2，求方框中四个数的平均数； (2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a．求方框中四个数的和（用含a的代数式表示），并说明这个和能被4整除． 4．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想 ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算： 题型三：数阵的排列规律 如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题： (1)第10行的最后一个数是______； (2)第20行共有______个数； (3)数字2023排在第_____行，从右往左数是第_____个数． 【答案】(1) (2)39 (3)45；3 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察可知第n行最后一个数为，据此规律求解即可； （2）先求出第19行和第20行最后一个数，用第20行最后一个数减去第19行最后一个数即可得到答案； （3）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为 第3行最后一个数为 第4行最后一个数为， ……， 以此类推，可知第n行最后一个数为， ∴第10行最后一个数为， 故答案为：； （2）解：由（1）得第20行最后一个数为，第19行最后一个数为， ∴第20行共有个数， 故答案为：39； （3）解：∵， ∴数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数， 故答案为：45；3． 一．单选题（共2小题） 1．已知一列数：1、、3、、5、、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（　　） A． B． C．37 D．45 2．杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，1，2，3，4，5，…）的计算结果中的各项系数： 则各项系数的和为（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 二．解答题（共4小题） 3.观察下列正整数的排列顺序： 解答以下问题： (1)35排在第几行第几列？ (2)第10行第10列的数是多少？第行列的数呢？（用含的代数式表示） (3)2023排在第几行第几列？ 4．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是________，最后一个数是______，第n行共有_______个数； (3)求第20行各数之和． 5．观察下面三行数： ，，，，，， ① 4，，10，，34， ② 1，，4，，16， ③ (1)第①行的第8个数为______，第②行的第8个数为______，第③行的第8个数为______． (2)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 6.材料一：杨辉三角（如图），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题． 材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用表示这一列数中的第个，则数列为，，，，，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即（为正整数） 结合材料，回答以下问题： (1)多项式展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：． (2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：，，，，…记，，，…则；（用表示）；． (3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得，，，，，，…若，且，结合材料二，求的值（用k表示）． 题型四：图阵中点的排列规律 如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n行有n个点，我们将前n行的点数和记为，如，，则不可能是（    ） A．20 B．15 C．28 D．36 【答案】A 【分析】题目主要考查规律探索问题，根据题意得出的两倍等于相邻两个正整数的积，结合题意即可判断． 【详解】解：由题意，可知， ∴，即的两倍等于相邻两个正整数的积． ∵，，，， ∴不存在两个相邻正整数的积等于20的两倍， 故选A． 一．解答题（共4小题） 1．有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推． (1)填写下表中的空格： 层数 1 2 3 4 5 6 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 (2)根据上表中的数据，试推断： ①第层（）的点数为________（用的代数式表示）； ②层六边形点阵的总点数为_______（用的代数式表示）． 2．如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，图中共有个黑点，，依此规律，请解答下列问题． (1)图中共有______个黑点；（用含的式子表示） (2)若图中共有个黑点，求的值． 3.用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去． (1)第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______； (2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值． 4.化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 题型五：图形的排列规律 【问题提出】 欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？ 【构建模型】 为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段． （1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛； （2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛． 【实际应用】 （3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛． （4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（1）． （2） （3） （4）30 【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键． （1）根据图②线段数量进行作答． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数． （3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛． （4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票． 【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段， ∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛． 故答案为：． （2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段， 即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛， 故答案为：． （3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组， 由上可得一个小组会有场比赛， 故六个小组则共有有场比赛， 即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛， 故答案为． （4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票， ∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票， ∴这样六个车站一共形成了种车票． 故答案为． 一．解答题（共4小题） 1．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形： 第①个图形中有2张正方形纸片； 第②个图形中有张正方形纸片； 第③个图形中有张正方形纸片； 第④个图形中有张正方形纸片； ； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)观察可得：______（用含n的代数式表示）； (2)根据你的发现计算：． 2.由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． (1)填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 (2)①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 3.【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形． 【探索】 （1）已知长方形的邻边长分别为1和，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 　　阶方形． 4．在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放． (1)这个鲜花图案有层，则这层共摆放了 盆花（用含的代数式表示）； (2)如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 ，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$