精品解析：上海市浦东模范中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

浦东模范中学2023年九年级第一学期数学（10） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴BC==5， ∴sin∠A==， 故选：D. 2. 已知线段，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴设，，， ， 故选：D． 3. 已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( ) A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 一、二、三、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵a＞0， ∴开口方向向上， ∵b＜0，a＞0， ∴对称轴x=-＞0， ∵c=0， ∴此函数过原点． ∴它的图象经过一，二，四象限． 故选B． 4. 如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边中线定理可得，然后可得是等边三角形，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △DEC∽△CDB D. △ADE∽△DCB 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正确，D不正确；即可得出结论． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE， 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； ∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB； ∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A， ∴△ADE与△DCB不相似； 正确的判断是A、B、C，错误的判断是D； 故选D． 【点睛】考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键． 6. 已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 【详解】解：如图， ①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确； ②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确； ③，， ，故③正确； ④，， ，， 成立，④正确， 综上所述，正确的有：①②③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线与轴交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴交点坐标是， 故答案为：． 8. 已知点在线段上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量基本定理，根据题意可知，再结与的方向相反易得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 9. 如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形面积为原三角形面积的_______倍. 【答案】81 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质可得出相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方则可得出答案. 【详解】相似三角形面积比等于相似比的平方. 所以周长扩大9倍，面积扩大81倍 故答案为81 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 10. 如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案． 【详解】解：根据点P在内时，圆的直径是，所以半径是4． 故答案为：4． 11. 已知在中，，，，那么的面积等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，过点A作于D，先在直角中，运用余切函数的定义得出，再结合勾股定理计算出，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于D． 在直角中，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 12. 某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的知识及俯角的定义，根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得，然后可得出的度数，进而根据的正切值可得出的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离． 【详解】解：如图， 由题意得：，米， ， ， 米， 故答案为：． 13. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______ 【答案】 【解析】 【详解】∵OA=OB=AB， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴cos∠AOB=cos60°=． 故答案是：． 14. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 【答案】2或14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点作，垂足为，交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点作于点，反向延长交于点，连接， 同理， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 15. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 16. 如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是___________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设，则，，然后根据相似三角形的性质得到，解得，，然后过点作于点，求出长，然后计算解题即可． 【详解】设，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， 过点作于点， 则， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17. 等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为___． 【答案】2或4 【解析】 【分析】分两种情况考虑：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB，(2)当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB，进行解答. 【详解】解：分两种情况考虑：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示， 过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB， ∵OD＝3，OB＝5， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD＝4， 在Rt△ABD中，AD＝AO＋OD＝8，BD＝4， 根据勾股定理得：AB＝＝4； 当△ABC为钝角三角形时，如图2所示， 过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB， ∵OD＝3，OB＝5， ∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD＝4， 在Rt△ABD中，AD＝AO﹣OD＝2，BD＝4， 根据勾股定理得：AB＝＝2， 综上，AB＝2或4． 故答案为2或4 【点睛】本题考查圆的垂径定理、勾股定理，正确画辅助线、分情况讨论是解题关键. 18. 在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________ 【答案】或 【解析】 【分析】当直线经过点A时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD´∽△ABE´，利用相似三角形对应边成比例求解. 【详解】在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=2，BC=4， 由勾股定理得，AB=， ∵分别是边、的中点， ∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ， ∴DE∥AC，DE= ∴∠EDB=90°， 由旋转可得，BD´=2，D´E´=1，BE´=，∠BD´E´=90°， 第一种情况，如图1， ∵点A，D´，E´三点共线， ∴∠AD´B=90°， 由勾股定理得AD´=， ∴AE´=AD´+D´E´=5 ∵∠ABC=∠D´BE´， ∴∠CBD´=∠ABE´， ∵ ， ∴△CBD´∽△ABE´， ∴， ∴， ∴CD´= 第一种情况，如图2， ∵点A，D´，E´三点共线， ∴∠AD´B=90°， 由勾股定理得AD´=， ∴AE´=AD´-D´E´=3 ∵∠ABC=∠D´BE´， ∴∠CBD´=∠ABE´， ∵ ， ∴△CBD´∽△ABE´， ∴， ∴， ∴CD´= ∴CD´长为或. 故答案为：或. 【点睛】本题考查图形旋转的综合应用，涉及知识点有勾股定理，三点共线，相似三角形的判定和性质，分类讨论并能正确画出图形很关键． 三、解答题（19—22题每题10分，23—24题每题12分，25题14分，满分共78分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，根据分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． （1）试用，的式子表示向量； （2）在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 【答案】（1） （2） 如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． （1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可． 【小问1详解】 解：，， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； 【小问2详解】 略 21. 如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部， ，D为弧的中点，的半径为5，求平行四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点E，连接，利用垂径定理的逆定理得到，进而得到，在中，利用，得到，设，则，，利用勾股定理得到，求得，得到，最后利用平行四边形的面积公式即可求出面积． 【详解】解：连接，交于点E，连接，如图所示， 为的中点， ， 为的中点， ， 在中，， 设，则， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去），， ，， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 22. 某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7) 【答案】10.83 【解析】 【分析】略 【详解】过点O作水平地面的垂线，垂足为E. 在RT△AOB中，cos∠OAB=,即cos28°== 所以OA=≈ 因为∠EAB=16°， 所以∠OAE=28°+16°=44°. 在RT△AOＥ中，sin∠OAE,即sin44°≈ 所以OE≈13.333×0.7≈9.3333m 9.3333+1.5=10.83（米） 所以雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83米. 【点睛】本题考查三角函数，解答本题需要掌握三角函数的定义，会根据三角函数的定义来解答本题 23. 如图，点是四边形的对角线上的一点，. （1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到∠BAC＝∠EAD，根据三角形额外角的性质得到∠ABC＝∠AED，推出△ABC∽△AED，根据根据相似三角形对应边成比例得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AEB＝∠ADC，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）， ， 即. ， ， ， . . . . （2）， ，即. ， . . ， . 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，邻补角的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． （1）以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； （2）将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ （3）如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：、、，然后求出抛物线过临界点时的a的取值，进而完成解答；确定a、b的取值范围是解答本题的关键； （2）设平移后的直线的解析式为：；的解析式为，根据垂直直线的关系可得，进而确定；再根据点C在上可得，则；再运用勾股定理列方程可得，然后确定，最后根据两点间距离公式即可解答；明确各直线间的关系是解题的关键； （3）设，根据题意和勾股定理可得；再根据可得；设的坐标为，根据两点间距离公式可得，解得：或（舍），即的坐标为；再结合（1）、（2）即可解答；灵活运用相似三角形的性质和两点间距离公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点， ∴抛物线的开口一定向下，即；且对称轴为y轴，则、， 当时，；当时，， ； 当恰好过点时，则，； 当恰好过两点时，有，即； 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 解：设平移后的直线的解析式为：；的解析式为， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 由点C在上，则，解得：，即， 在中有，即，解得：， ∴, ∴平移距离． 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴, ∴，解得：，即； ∵, ∴, 设的坐标为 ∴，解得：或（舍）， ∴的坐标为， （1）可得由，则，解得：． ∴抛物线表达式为：； 25. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长 （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，进而求出，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再判断出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论； （3）先求出，再求出，根据勾股定理求出，，再判断出，，列比例式，并根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论． 【小问1详解】 如图1，连接， 在矩形中，，，， 在中，根据勾股定理得，， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 即：； 【小问2详解】 如图2，在矩形中， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图2，过点作于， ， ，， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，； 【小问3详解】 如图3，在矩形中，， ，， ， ， ， 由折叠知，，，， ， 设， ， 根据勾股定理得，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦东模范中学2023年九年级第一学期数学（10） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A. B. C. D. 2. 已知线段，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( ) A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 一、二、三、四象限 4. 如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判断中，错误的是（　　） A. △ADE∽△ABC B. △ADE∽△ACD C. △DEC∽△CDB D. △ADE∽△DCB 6. 已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 抛物线与轴交点坐标是______． 8. 已知点在线段上，且，则______． 9. 如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角形面积为原三角形面积的_______倍. 10. 如果从内一点P到上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么的半径长是______． 11. 已知在中，，，，那么的面积等于______． 12. 某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为______． 13. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于______ 14. 的半径是10，弦，，，则与的距离是______． 15. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 16. 如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是___________． 17. 等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为___． 18. 在中，∠C=90°，AC=2，BC=4， ，点分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点A时，线段的长为 ____________ 三、解答题（19—22题每题10分，23—24题每题12分，25题14分，满分共78分） 19. 计算：． 20. 如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，． （1）试用，的式子表示向量； （2）在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论． 21. 如图，圆O经过平行四边形的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形的外部， ，D为弧的中点，的半径为5，求平行四边形的面积． 22. 某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为28°，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O的圆心，AB=12m，⊙O的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7) 23. 如图，点是四边形的对角线上的一点，. （1）求证：； （2）求证：. 24. 如图，直线：与、轴的交点为A、，点是该直线上位于第一象限内的一点，满足． （1）以为顶点的抛物线与线段（不含点A、）有交点，求的取值范围； （2）将直线平移得到直线，直线与、轴的交点为、，且使，问：直线平移到直线，至少需要平移多少距离？ （3）如果（1）中抛物线与直线在抛物线对称轴右侧的交点为，当与相似时，求此时抛物线的表达式． 25. 如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长 （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $