精品解析：2024年四川省乐山市沙湾区九年级调研考试数学试题　

沙湾区2024年初中毕业调研考试数学 试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只收答题卡． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：2a2b﹣3a2b＝( ) A. ﹣1 B. 5a2b C. a2b D. ﹣a2b 3. 如图，，于交于，已知，则（ ）． A. 20° B. 60° C. 30° D. 45° 4. 方程的解是（ ） A. B. C ， D. ， 5. 《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在半径为5的中，弦，点是优弧上一点（不与，重合），则（ ） A. B. C. D. 7. 若、在函数的图象上，则、的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 从、 、、…、这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过面积（阴影部分）为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 9算术平方根是_____． 12. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 13. 如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度_______． 14. 已知的三边分别为，化简_______． 15. 如图，将矩形沿、折叠，点落在处，点恰好落在上的点处，若，，， 则的长为_______． 16. 二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，以下结论：①；②；③当时，；④顶点坐标为．请将正确结论的序号都写出来______（按写正确的个数给分，写错一个不得分）． 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中． 19. 解方程：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 20. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 21. 中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 乙校成绩扇形统计图 （1）在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）填空： ①甲校的平均分是 ，中位数是 ； ②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ； ③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校． （4）如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 22. 直播购物逐渐走进了人们生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE与⊙O相切，交CB的延长线于E． （1）判断直线AC和DE是否平行，并说明理由； （2）若∠A=30°，BE=1cm，分别求线段DE和的长（直接写出最后结果）． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设直线与y轴交于点，若点在轴上，使，请写出点坐标． 六、解答题（本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分） 25. 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； （2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 26. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沙湾区2024年初中毕业调研考试数学 试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只收答题卡． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相反数的概念，理解概念即可解答. 【详解】解：的相反数是2. 故选：C. 2. 计算：2a2b﹣3a2b＝( ) A. ﹣1 B. 5a2b C. a2b D. ﹣a2b 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解：2a2b﹣3a2b＝（2﹣3）a2b＝﹣a2b． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则（合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变）是解答本题的关键． 3. 如图，，于交于，已知，则（ ）． A. 20° B. 60° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【详解】∵AB∥CD， ∴∠3=∠1=60°（两直线平行，同位角相等）， ∵EF⊥AB于E， ∴∠2=90°-60°=30°， 故选C． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解此题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 5. 《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， 故选：D 6. 如图，在半径为5的中，弦，点是优弧上一点（不与，重合），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 首先作直径，连接，由直径所对的圆周角是直角，即可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得，又由圆周角定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：作直径，连接， ，， 在中，， ， ， ． 故选：C． 7. 若、在函数的图象上，则、的关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数的性质：，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．根据，y随x增大而减小，再根据，可得出a、b的大小． 【详解】解：∵， 又∵， ∴y随x增大而减小， ∵、，且， ∴　 故选：C． 8. 从、 、、…、这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率，无理数的定义，掌握无限不循环小数是无理数成为解题的关键． 先根据无理数的定义确定无理数的个数，然后再运用概率公式计算即可． 【详解】解：、 、、…、这五个数中，是无理数的有、这2个数， 则随机抽取一个，则抽到无理数的概率是． 故选B． 9. 如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键． 连接，则阴影部分的面积为扇形的面积减去扇形的面积，据此计算即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理得：， ∴, ∴． 故选：C． 10. 如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及根与系数的关系，解直角三角形，解答此题的关键根据题意作出辅助线，根据锐角三角函数的定义沟通各线段之间的关系． 设直线与轴交于点，作轴于，轴于．先求出直线与轴和轴的两交点与的坐标，根据与的长度求出比值即可得到角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出角的度数，联立直线与双曲线方程，消去后得到关于的一元二次方程，利用韦达定理表示出与的积，然后在直角三角形中利用表示出与的关系，同理在直角三角形中，利用表示出与的关系，根据列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，作轴于，轴于． ， 当时，，即点的坐标为， 当时，，即点坐标为， ，． 在中，， ． 直线与双曲线在第一象限交于点、两点， ， 整理得，， 由韦达定理得：，即， ， ， 同理可得：， ， 解得：． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 设＝a， ＝b，请用含有a，b的式子表示＝_______． 【答案】3ab 【解析】 【分析】将 【详解】=3=3=3ab. 【点睛】此题主要考查二次根式的计算. 13. 如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度_______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 先根据题意得出、的长，在中利用锐角三角函数的定义求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：由题意，可得，，四边形是矩形， ∴米，米， ， (米)． (米)． 答：这棵树的高度为米． 故答案为：米． 14. 已知的三边分别为，化简_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 15. 如图，将矩形沿、折叠，点落在处，点恰好落在上的点处，若，，， 则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，由折叠可知，，于是可得，由三角形内角和定理可得，由同角的余角相等得到，以此可证明，利用相似三角形的性质算出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，， ， ， 根据折叠的性质可得，，， ， ， ， ， ，即， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，利用折叠的性质和平角的定义得到，进而证明是解题关键． 16. 二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，以下结论：①；②；③当时，；④顶点坐标为．请将正确结论的序号都写出来______（按写正确的个数给分，写错一个不得分）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与二次函数系数之间的关系等知识点，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点成为解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可判定a、b、c的正负，即可判定①；由对称轴可知，进而得到，再根据当时，可判定②；根据二次函数图象的对称性可确定抛物线与x轴右交点的横坐标，然后根据函数图象确定不等式的解集即可判定③；先说明，然后再运用配方法确定顶点坐标即可判定④． 【详解】解：①由抛物线开口向下可知：， 由抛物线对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． ∴，故①不正确； ②由对称轴可知：， ∴， ∴， 由图象可知：当时，， ∴，即，故②正确； 由图象可知抛物线与x轴的左交点的横坐标为且对称轴为， ∴抛物线与x轴的右交点的横坐标为3， ∴当时，，即③正确； ∵， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为． 综上，正确的有②③④． 故答案为②③④． 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、零次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值、零次幂、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、零指数幂，能够正确根据分式的运算法则进行化简是解题关键． 先根据分式的混合运算法则将式子化简，再根据零指数幂的运算法则算出x的值，最后将x的值代入即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵ ∴原式． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，注意：解分式方程要验根． 根据解分式方程的步骤依次计算可得． 【详解】解：去分母，得：， 整理得：， ∴ 或， ， ， 经检验：是原方程的根，为增根， ∴方程的根为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 20. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】312米 【解析】 【分析】过点A作射线于点M，设，，根据，即可求解． 【详解】解：过点A作射线于点M，如图所示： 根据题意，可知，，米， 在中，由， 设，， 在中，， ， ∴（米）， ∴（米）． 答：该岛礁高为312米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 21. 中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表． 甲校成绩统计表 分 数 7 分 8 分 9 分 10 分 人 数 11 0 8 乙校成绩扇形统计图 （1）在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ； （2）请你将条形统计图补充完整； （3）填空： ①甲校的平均分是 ，中位数是 ； ②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ； ③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校． （4）如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）①83；7；②8；③乙校 （4）选甲校，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据10分的有5人，对应的圆心角度数是，设7分有人对应的圆心角度数是，列比例求解即可． （2）根据10分有5人，对应的圆心角度数是，即所占的比例是，据此即可求得总人数，进而求得分是8分的人数，补全条形统计图． （3）①根据平均数与中位计算公式求解； ②根据中位计算公式求解； ③因为两校平均分相同，再分别计算出两校的标准差，比较标准差，根据标准差较小的成绩较为稳定，可得出答案． （4）观察两校的高分人数进行分析． 【小问1详解】 解：设7分的人对应的圆心角度数是，由图可得 解得：， ∴“7分”所在扇形的圆心角等于； 【小问2详解】 解：（人）， 得分是8分人数为：（人） 补充条形统计图为： 小问3详解】 解：①9分人数为：， ∴， 成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是7，所以甲校的中位数为7； ②成绩按从小到大排列，第十、十一位成绩是8分，所以乙校的中位数为8； ③两校平均分相同，都要是8.3分， ∵ ∴ ∴从平均分和标准差的角度判断，乙学校的成绩较为稳定． 故答案为：乙方校． 【小问4详解】 解：因为区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，甲校得（10分）的有8人，而乙校得（10分）的只有5人，所以应选甲校． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数，中位数，标准差，利用标准差判定稳定等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【解析】 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE与⊙O相切，交CB的延长线于E． （1）判断直线AC和DE是否平行，并说明理由； （2）若∠A=30°，BE=1cm，分别求线段DE和的长（直接写出最后结果）． 【答案】（1）直线AC和DE平行，理由详见解析；（2）线段DE的长是，的长是． 【解析】 【分析】（1）平行．连接OD，∵DE与⊙O相切，得出OD⊥DE．根据BD是∠ABE的平分线，推出∠ODB=∠DBE，得到OD∥BE．推出BE⊥DE，根据AB是⊙O的直径，得到AC⊥CE，即可推出答案； （2）由∠A=30°，根据三角形的外角性质求出∠DBE，即可求出DE，根据弧长公式即可求出弧BD的长． 【详解】（1）答：直线AC和DE平行． 理由是： 连接OD， ∵ DE与⊙O相切， ∴ OD⊥DE． ∵ OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∵ BD是∠ABE的平分线， 即∠ABD=∠DBE， ∴ ∠ODB=∠DBE， ∴ OD∥BE． ∴ BE⊥DE，即DE⊥CE， ∵ AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴ AC⊥CE， ∴ AC∥DE． （2）答：线段DE的长是，的长是． 【点睛】本题主要考查对切线的性质，三角形的外角性质，三角形的角平分线，平行线的判定，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是证此题的关键． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设直线与y轴交于点，若点在轴上，使，请写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键在于掌握待定系数法求函数的解析式． （1）将点A的坐标代入反比例函数，解出m的值，得出反比例函数解析式，进而求出B点坐标，结合A点和B点的坐标运用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，故在x轴上找出与B点横纵坐标都相差3的点即可，x轴正负半轴各有一点 ，再运用勾股定理求得；设，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得:， ∴反比例函数的表达式为， 当时，， ∴． 把，代入中， 得，解得：， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与y轴交于点，直线的解析式为， ∴， ∴， ∵点P在x轴上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 六、解答题（本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分） 25. 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，． （1）如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证： ①； ②； （2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，． ①求证：， ②的面积是 ． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）①利用定理证明； ②根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论； （2）①证明，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可； ②根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【小问1详解】 证明：①， ，即， 在和中， ， ； ②， ， ， ，即； 【小问2详解】 ①证明：在和中， ， ， ， ， ； ②解：在中，，，， ∴ ， 在中，，，， ， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由（1）②可知，， ， ， ， ，即， 解得：，， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 26. 如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E． （1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＝﹣1，y＝x2﹣2x﹣3；（2）sin（α﹣β）＝；（3）在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似． 【解析】 【分析】（1）过M作MN⊥y轴于N，连接CM，利用勾股定理可知m的值，同样的方法可以求出点B的坐标，将点B的坐标代入抛物线解析式中即可求. （2）通过计算可得出，进而证明Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，则sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC可求. （3）经过分析可知，根据题意分Rt△COA∽Rt△BCE；过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，Rt△CAP2∽Rt△BCE；过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，Rt△P3CA∽Rt△BCE三种情况，分情况讨论即可. 【详解】（1）由题意可知C（0，﹣3），1， ∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）， 过M作MN⊥y轴于N，连接CM， 则MN＝1，CM， 由勾股定理得CN＝2，ON=1， ∴m＝﹣1． 同理可求得B（3，0）， 将点B代入抛物线的解析式中得 ∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）由（1）得A（﹣1，0），E（1，﹣4），B（3，0），C（0，﹣3）． ∵M到AB，CD的距离相等，OB＝OC， ∴OA＝OD， ∴点D的坐标为（0，1）， ∴在Rt△BCO中，BC3， ∴， 在△BCE中， ∵BC2+CE2＝ ∴△BCE是Rt△ ， ∴， 即， ∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β， 因此sin（α﹣β）＝sin（∠DBC﹣∠OBD）＝sin∠OBC． （3）∵OB＝OC，OD＝OA， ∴Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）． 过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2， 则Rt△CAP2∽Rt△BCE， ∴P2（0，）． 过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3， 则Rt△P3CA∽Rt△BCE， ∴P3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0）， 使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似． 【点睛】本题主要考查二次函数与圆、相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$