拓展1-1集合的三类含参问题-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

拓展1-1集合的三类含参问题 一、元素与集合求参数 ①利用集合间的相等关系求参数 ①根据元素与集合的关系求参数 ②利用集合间的包含关系求参数 ②根据集合中元素的个数求参数 三、交、并、补运算求参数 二、利用集合间的关系求参数 一、元素与集合求参数 方法点拨：利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出宇母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. ①根据元素与集合的关系求参数 1．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 2．已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 3．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 4．已知，若，则实数的取值构成的集合的真子集个数是（    ） A．1 B．3 C．7 D．15 5．若，且，则的取值范围为 . 6．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 7．已知集合中的最大元素为，则实数 . ②根据集合中元素的个数求参数 8．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 10．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 12．（多选）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 13．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 14．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 二、利用集合间的关系求参数 方法点拨：（1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， ①利用集合间的相等关系求参数 15．已知集合、．若，则 ． 16．已知集合，若，则实数的值是 . 17．若m，，且满足集合，则 ． 18．已知集合，求 ． 19．已知集合，则实数的取值范围为 . 20．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 21．已知，，若，求a与b的值． ②利用集合间的包含关系求参数 22．设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知集合，且，则实数m的值可以为（    ） A．1 B． C．2 D．0 24．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 25．已知集合，，若，则实数 . 26．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 27．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 28．已知集合，，若，求实数m的取值范围. 三、交、并、补运算求参数 方法点拨：（1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 29．已知全集且，，，且，则的值为 ． 30．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 31．已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 32．设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 33．已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 34．已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 35．已知集合． (1)当时，求； (2)若__________，求实数a的取值范围． 请从①，②，③，这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-1集合的三类含参问题 一、元素与集合求参数 ①利用集合间的相等关系求参数 ①根据元素与集合的关系求参数 ②利用集合间的包含关系求参数 ②根据集合中元素的个数求参数 三、交、并、补运算求参数 二、利用集合间的关系求参数 一、元素与集合求参数 方法点拨：利用集合元素的特性求参数问题时,先利用确定性解出宇母所有可能值,再根据互异性对集合中元素进行检验,要注意分类讨论思想的应用. ①根据元素与集合的关系求参数 1．已知是由0，，这三个元素组成的集合，且，则实数为（　　） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【详解】因为，所以或． 当时，，不合题意，舍去； 当时，或，但不合题意，舍去． 综上可知，． 故选：B． 2．已知集合，且，则（　　） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【详解】由集合，得，解得且， 显然，由，得，而，解得， 当时，，符合题意， 所以. 故选：D 3．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【详解】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 4．已知，若，则实数的取值构成的集合的真子集个数是（    ） A．1 B．3 C．7 D．15 【答案】B 【详解】因为且， 若，则，则； 若，则或，当时，，不满足互异性， 当时，，不满足互异性； 若，则或，当时，，则， 当时，不满足互异性； ， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 5．若，且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由于，所以，解得， 故答案为： 6．已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 【答案】2或4 【详解】若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 故答案为:2或4. 7．已知集合中的最大元素为，则实数 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 显然不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验符合题意． 故答案为： ②根据集合中元素的个数求参数 8．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 9．若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，舍去； 当时，方程的解集为单元素集合， 即方程有两个相等的实根， ∴，解得：； 综上，. 故选：B. 10．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 11．（25-26高一上·上海·单元测试）设集合． (1)若中只有一个元素，求实数的值； (2)若中至多只有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）集合表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，则，符合题意； 当时，因为中只有一个元素，则，解得，此时，符合题意 综上可得或； （2）因为中至多只有一个元素，由（1）可知时符合题意； 当，则，解得； 综上可得，实数的取值范围为或. 12．（多选）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，，满足条件； 当时，若中仅有一个元素，则，此时， 若，则，满足， 若，则，满足， 故选：ABD. 13．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 ．（用集合表示） 【答案】 【详解】当时，方程为有实数解，符合题意； 当时，由，解得； 则实数的取值范围是． 故答案为：. 14．集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 二、利用集合间的关系求参数 方法点拨：（1）当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点; （2）当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用， ①利用集合间的相等关系求参数 15．已知集合、．若，则 ． 【答案】 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. 16．已知集合，若，则实数的值是 . 【答案】 【详解】由于，所以， 所以. 故答案为： 17．若m，，且满足集合，则 ． 【答案】 【详解】， 故①或②， 由①解得，不满足，舍去， 由②解得，故. 故答案为： 18．已知集合，求 ． 【答案】 【详解】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 19．已知集合，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，即，该式不成立， 此时，符合题意； 当时，要使集合， 需满足，解得， 综合可得实数的取值范围为， 故答案为： 20．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值． 【答案】 【详解】由可得0且（否则不满足集合中元素的互异性）． 所以，或 解得，或． 经检验，满足题意． 所以． 21．已知，，若，求a与b的值． 【答案】或. 【详解】由，，，得或， 解，得，经验证，符合题意； 解，得，经验证，符合题意； 所以或. ②利用集合间的包含关系求参数 22．设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 23．（多选）已知集合，且，则实数m的值可以为（    ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】ABD 【详解】因为，． 当时，，符合题意； 当时，，所以或，解得或． 所以m的值为或或． 故选：ABD． 24．（多选）已知集合，，若，则实数的值可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】ABC 【详解】， 当时，，显然，符合题意； 当时，，显然，符合题意； 当且时，，要想，只需， 综上所述：选项ABC满足， 故选：ABC 25．已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【详解】因为，，， 当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去），此时，即，满足题意； 综上，. 故答案为：. 26．已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，又因为，结合数轴分析可得， ，所以. 所以a的取值范围是. 27．已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 28．已知集合，，若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】由， 当，则，满足题设； 当，则； 综上，. 三、交、并、补运算求参数 方法点拨：（1）与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况； （2）不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. 29．已知全集且，，，且，则的值为 ． 【答案】66 【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个. ，， 对，，如有根可设为 ； 对，，如有根可设为 . （1）当，不符合； （2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合； （3）当，则，则，则， i.当，不符合； ii.当，，则，不符合； iii.当，则，则， 综上，. 故答案为：66 30．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【详解】（1）依题意，集合，集合， 所以或，. （2）由（1）得或， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 31．已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴当，满足，此时； 当，则，所以， 综上，实数a的取值范围是. 32．设集合， (1)若集合A为，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以方程无实根，即， 解得或， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 又因为，， 所以，解得， 当时，， 所以. 33．已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或． 34．已知集合，. (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）. 当时，. 所以. （2）因为，所以. 因为，所以集合B可能为，，或. 当时，只需，解得：； 当或，则必有，所以或. 若，有，不符合题意；若，有，不符合题意； 当时，则1和2是的两根. 所以，无解. 故实数的取值范围为. 35．已知集合． (1)当时，求； (2)若__________，求实数a的取值范围． 请从①，②，③，这三个条件中选一个填入（2）中横线顶处，并完成第（2）问的解答． 【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析 【详解】（1）由题意得，． 当时，， ． （2）选择①： ，． 当时，，满足； 当时，，不满足， 舍去 当时，，不满足，舍去， 综上，实数的取值范围为 选择②： 当时，，满足； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，满足， 综上，实数的取值范围为． 选择③： 当时，，，满足题意； 当时，，，要使，则，解得； 当时，，， 此时，满足题意， 综上，实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$