精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2024届高三上学期第一次月考数学试题

福鼎四中2023-2024学年第一学期第一次月考 高三数学试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则下列不等关系中恒成立的是（ ） A. B. C D. 7. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着选代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练选代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 二、多选题（每题5分，共20分，每题全对得5分，部分对得2分，选错不得分．） 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 11. 已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 当时，是增函数，当时，是减函数 C. 函数的最小值是 D. 函数与有四个交点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是____________. 14. ______． 15. 已知，，且，则的最小值为__________． 16. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则___________. 四、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分） 17. 已知函数的定义域为，函数的值域为. （1）若，求，； （2）问题：已知_________，求实数的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答 ①；②；③“”是“”必要不充分条件. 18. 已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 19. 命题：任意，成立；命题：存在，+成立. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 20. 《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润多少？ 21. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 22. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福鼎四中2023-2024学年第一学期第一次月考 高三数学试题 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合A，B，根据集合的交集运算即可求得答案. 详解】解不等式可得，即， 解不等式，即，即或， 即或， 故， 故选：C 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答. 【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C 3. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“，”为真命题的等价条件，再结合必要不充分条件的定义逐项判断即可. 【详解】因为，为真命题，则或，解得， 对于A，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，A错误； 对于B，是命题“，”为真命题的充要条件，B错误； 对于C，，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，C正确； 对于D，，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，D错误； 故选：C 4. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出函数与图象，利用图象交点个数作答. 【详解】由，得，因此函数的零点即为函数与的图象交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的图象，如图， 观察图象知，函数与的图象有唯一公共点， 所以函数的零点个数为1. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数奇偶性，排除AC，再比较出，排除B，得到正确答案. 【详解】由题知，的定义域为，因为， ∴是奇函数，排除A，C， 因为，排除D. 故选：B. 6. 已知，，则下列不等关系中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例排除ACD；利用基本不等式进行判断B即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：因为，，所以， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：当时，，则，而， 显然，故D错误. 故选：B. 7. 已知函数为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得参数a的值，再去求不等式的解集 【详解】因为为偶函数，所以，即 解之得，经检验符合题意.则 由，可得 故的解集为， 故选：B. 8. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，以神经网络为出发点．在训练神经网络时，需要设置学习率来控制参数更新的速度，在模型训练初期，会使用较大的学习率进行模型优化，随着选代次数增加，学习率会逐渐进行减小，保证模型在训练后期不会有太大的波动．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个知识衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练选代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数和对数的互化关系以及对数的运算求解. 【详解】由题意知，当时，，则， 即，由， 得， 故选:B． 二、多选题（每题5分，共20分，每题全对得5分，部分对得2分，选错不得分．） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过举反例和不等式的性质即可判断. 【详解】对A，当时,,故A错误： 对B，得，则，故B正确； 对C，，此时，故C错误； 对D，由,所以, 所以两边同除得，选项D正确； 故选：BD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答. 【详解】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确. 故选：ACD 11. 已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】根据题意，设，其中，则，，， 在同一坐标系中分别画出函数，，的图象， 当时，；当时，；当时，， 由此可以看出，不可能出现这种情况. 故选：BCD. 12. 某数学课外兴趣小组对函数性质进行了探究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的图象关于轴对称 B. 当时，是增函数，当时，是减函数 C. 函数的最小值是 D. 函数与有四个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据偶函数概念判断A，根据复合函数单调性的法则及偶函数的性质判断B，根据复合函数最值的求法判断C，根据函数的定义判断D. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故A正确； 当时，，由的性质可知其在上是减函数， 在上是增函数，所以由复合函数单调性可知，在上是减函数， 在上是增函数，又是偶函数，图像关于轴对称，故B不正确； 当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数， 所以函数的最小值是，故C正确； 由函数定义可得，函数与不可能有四个交点，故D不正确. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围． 【详解】“，”是假命题， 则它的否定命题：“，”是真命题； 所以,，恒成立，所以， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 14. ______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：8 15. 已知，，且，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式以及一元二次不等式结合题目条件即可得解. 【详解】因为，，所以由基本不等式可得， 即，令，则不等式变， 解得或（舍去），即， 所以，即的最小值为9. 故答案为：9. 16. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性和周期的定义，得到，得到函数是周期为4的周期函数，进而求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数， 所以，即且， 又由，可得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数， 因为，所以，，， 所以， 则 . 故答案为：. 四、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分） 17. 已知函数的定义域为，函数的值域为. （1）若，求，； （2）问题：已知_________，求实数的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答 ①；②；③“”是“”的必要不充分条件. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域的定义求得，再由指数函数的图象与性质求得，将代入，利用交集和并集的运算即可求解； （2）根据交集的定义或补集的定义或必要不充分条件的定义皆可得到，从而结合子集的定义即可求解. 【小问1详解】 由题意，令，解得：，所以， 又因为，所以函数，所以， 当时，， 所以，. 【小问2详解】 选①：， 由（1）知：，， 因为，所以，则， 故实数的取值范围为. 选②：， 由（1）知：，， 因为，所以，则， 故实数的取值范围为. 选③：“”是“”的必要不充分条件， 由（1）知：，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，则， 故实数的取值范围为. 18. 已知是定义在上的偶函数，且时，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）当时，可将代入解析式，结合偶函数定义可得此时的解析式，由此可得解析式； （2）由复合函数单调性判断方法判断函数在上的单调性，结合偶函数性质利用单调性化简不等式求得结果. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以， 令，则 时，， 则. 【小问2详解】 因为时，， 又函数，由函数，与函数，复合而成， 函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 故函数在上单调递减， 是定义在上的偶函数，所以， 所以不等式，可化为 ， 或. 19. 命题：任意，成立；命题：存在，+成立. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件； （2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得. 【小问1详解】 由q真：，得或， 所以q假：； 【小问2详解】 p真：推出， 由和有且只有一个为真命题， 真假，或假真， 或， 或或. 20. 《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）105千件，最大利润是1000万元 【解析】 【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可； （2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 所以； 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值，且最大值为950， 当时， ， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大， 最大利润是1000万元. 21. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 过作于点，则，， 由于平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，所以， 又因为平面，所以平面 【小问2详解】 由（1）知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 故可设， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 22. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）的极大值为，无极小值． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，求导分析单调性，极值，即可得出答案． （2）求导得，令，，分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，， ， 令得， 所以当上，在单调递增， 在上，在单调递减， 所以当时，，无极小值． 【小问2详解】 ， 令，， 当时，， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 当时，令得或2， 若，即时，在上，，单调递增， 若，即时，在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 在，上，，单调递增， 若，即时，在上，，单调递增， 在，上，，单调递减， 在上，，单调递增， 当时，令得或2， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在,上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在,上单调递减，在上单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$