精品解析：2024年重庆市沙坪坝区初中适应性考试数学试题

2024年初中适应性监测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数计算即可． 【详解】解：3的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 是轴对称图形， 故选D． 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 4. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一，三象限 B. 第一，二象限 C. 第二，四象限 D. 第三，四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解： 反比例函数的比例系数， 反比例函数的图象在第一，三象限． 故选：A． 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，然后因式分解解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 6. 用心形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗心，第②个图案中有3颗心，第③个图案中有6颗心，第④个图案中有9颗心，…，按此规律，则第⑦个图案中，心形的颗数是（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】根据前四个图案中心形的颗数，发现：当时，有1颗心；当时，第n个图案中有颗心，据此可得第⑦个图案中心形的颗数． 本题主要考查图形规律问题，解题的关键是总结出来图形规律． 【详解】解：∵第①个图案中有1颗心， 第②个图案中有颗心， 第③个图案中有颗心， 第④个图案中有颗心， …… 发现：当时，有1颗心；当时，第n个图案中有颗心， ∴第⑦个图案中有颗心． 故选：B． 7. 小沙在活动课中用长度为5，m，n的三根木棒搭建一个三角形木架，则m，n可能的取值分别是（ ） A. 1和3 B. 2和3 C. 2和8 D. 3和6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的应用．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴若m，n分别为1，3时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； B、∵， ∴若m，n分别为2，3时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； C、∵， ∴若m，n分别为2，8时，不能搭建一个三角形木架，故本选项不符合题意； D、∵， ∴若m，n分别为3，6时，能搭建一个三角形木架，故本选项符合题意； 故选：D 8. 如图， 是 的切线，点A为切点，弦，连接 并延长交 于点B．若，，则 的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，正弦，正切等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，正弦，正切是解题的关键．如图，记的交点为 ，由 是 的切线，弦，可得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为 ， ∵ 是 的切线，弦， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 在 上，连接 ， ．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长 、 交于点，证明，根据全等三角形的判定和性质得出，确定，再由各角之间的关系即可得出结果． 【详解】解：延长 、 交于点，如图所示： 四边形 是正方形， ， 点 是 的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， 故选：A． 10. 一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的项、系数、次数，整式的加法运算．理解题意并正确的计算整式的加法是解题的关键． 对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，可判断①的正误；由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是；即存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，可判断②的正误；由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或，由关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，即；计算出或或的判别式，判断判别式的符号，多项式的值可能为零也可能不为零，并举反例，可判断③错误． 【详解】解：对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，正确，故①符合要求； 由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是； ∴存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，②正确，故符合要求； 由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或， ∵关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零， ∴； ∴关于x的二次三项式进行“加系数操作”后的多项式为：或或，其判别式分别为； 而，这两个判别式的符号取决于与的大小，显然“加系数操作”后的多项式的判别式可能为非负，则多项式的值可能为零；例如，多项式的判别式为，则多项式的值不可能为零，但加系数操作后的多项式，其判别式为，此时多项式的值可以为零；故③不正确，故不符合要求； 故正确的有2个； 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，先计算绝对值，再计算加法运算即可； 【详解】解：， 故答案为： 12. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 【答案】4.2×104 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10. 故答案是：4.2×104 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键. 13. 如图，在 中，点D，E分别是的中点．若 的周长为4，则 的周长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了中位线．熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 由题意知，，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴， ∴的周长为， 故答案为：2． 14. 为弘扬红岩精神，赓续红色血脉，沙坪坝区开展“小小红岩讲解员”风采展示活动．两同学从宋振中、陈然和江竹筠三位烈士中随机选择一位烈士的故事进行讲解，则他们恰好选择同一位烈士的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键． 由题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】解：记宋振中、陈然和江竹筠分别为， 由题意画树状图如下； 共有9种等可能的结果，其中他们恰好选择同一位烈士共有3种等可能的结果， ∴他们恰好选择同一位烈士的概率为， 故答案为：． 15. 如图， ，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则 的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 【详解】解： ，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： ． 16. 如图，在矩形 中，，．以点A为圆心， 的长为半径画弧交 ， 的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是__________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．先证明，计算，再利用割补法求解即可． 【详解】解：∵矩形 ，，． ∴，， ∴ ． 故答案为： ． 17. 若关于 的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解一元一次不等式组，求出的取值范围，再解分式方程，求出，最后再求出同时满足已知的两个条件，求出答案即可． 【详解】， 由①得：， 由②得：， 关于 的不等式组的解集为， ， 解得：， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 或4或6或8或， 解得：或1或3或5或7， ， ， ，即 满足条件的整数的值为：1或3或5， 所有满足条件的整数的值之和是：， 故答案为：9． 18. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用字母表示四位数的自然数，整式的化简．关键是整式的化简． 双11数”为且能被5整除，根据定义可求这个数．表示出．，的最小值为2，能被7整除，求出的最小值即可． 【详解】解：， ， ， 能被5整除， 或5， ， ，， ． ． 设 ． ， 有题意可知，的最小值是2，当取最小值2时，， ， ． 当，即时，，不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即不合题意，舍去． 当，即时，，能被7整除． ，，，，符合题意， 的最小值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的计算以及分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可； （2）根据分式运算法则进行化简． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：70，75，80，80，80，80，85，85，95，100． 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：80，80，85，85，85． 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 a 乙 83 b 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该4S店甲款电动汽车的车主有400人，乙款电动汽车的车主有600人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 【答案】（1）80， ，30 （2） 乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下： 甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大， 所以乙款的满意度更好； （3）260人 【解析】 【分析】本题考查平均数，中位数，众数的意义，解题的关键是熟练掌握平均数是表示一组数据的平均程度，中位数是将（或从大到小）重新排列一组数据从小到大（或最中间两个数的平均后，最中间的那个数数）；众数是一组数据中出现最多的量． （1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，所以最中间的数为85，80，C组数据有3个； （2）从平均数、中位数、众数的角度去分析即可； （3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，求出对甲 、乙“非常满意”的人数即可． 【小问1详解】 解：从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80， 即， 乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，B组占， C组占， 所以， 所以A组有三个数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80， 所以最中间的数为85，85， 所以中位数为， 即， 故答案为：80， ，30; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为，乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为， 所以满足题意的总人数为：（人）． 21. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交 于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O， 平分交 于点E， 平分交 于点F． 求证：． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ① ， ∴． 又∵ 平分， 平分， ∴， ② ． ∴． 又∵ ③ ，， ∴． ∴． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ． 【答案】①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图以及全等三角形的性质．根据要求做出图形，证明，推出即可得出答案． 【详解】解：图形如图所示： 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， 又∵ 平分， 平分， ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：①，②，③ ． 22. 为积极发展新质生产力支持农业现代化建设，A、B两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知A公司每天生产微耕机的台数是B公司每天生产微耕机台数的． （1）若A公司生产40天，B公司生产30天，则恰好完成生产任务．问B公司每天生产多少台微耕机？ （2）由于时间紧任务重，A、B两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，A、B两公司各完成总生产任务的一半，A公司完成任务所需要的时间比B公司完成任务的时间多5天．问B公司现在每天生产多少台微耕机？ 【答案】（1）B公司每天生产60台微耕机 （2）B公司现在每天生产120台微耕机 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）设B公司每天生产x台微耕机，则A公司每天生产台微耕机，依题意列方程求解即可； （2）设B公司原来每天生产a台微耕机，则B公司现在每天生产台微耕机，A公司现在每天生产台微耕机，依题意得列方程求解作答即可． 【小问1详解】 解：设B公司每天生产x台微耕机，则A公司每天生产台微耕机， 依题意得，， 解得，， 答：B公司每天生产60台微耕机； 【小问2详解】 解：设B公司原来每天生产a台微耕机，则B公司现在每天生产1.5a台微耕机，A公司现在每天生产台微耕机， 依题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； ∴（台）， ∴B公司现在每天生产120台微耕机． 23. 如图，在菱形 中，，．动点 从点 出发沿 边运动，到达点 时停止运动，过点 作，分别交 ，于点 ， ．设，点 ， 之间的距离为． （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数的图象如图所示，结合函数图象，直接写出当时 的值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 函数图象如下： 根据函数图象可知当时，该函数有最小值，最小值为（答案不唯一）； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，画函数图象，由函数图象交点求方程解； （1）先根据菱形的性质结合勾股定理求出，再由菱形的性质结合得到即可得到，由得到即可得到，然后根据 、 位置计算 即可； （2）在直角坐标系画出函数图象，结合图象分析性质即可； （3）观察函数图象，估计两个函数图象的交点的横坐标即可． 【小问1详解】 设菱形对角线交于点 ∵菱形 ，， ∴ ，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴当时， 当时， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数图象可得，当时或或． 24. 为满足市民需求，市政部门在某湿地公园内沿湖修建了如图所示的健身步道．经勘测，点C在点A的正东方，点B既在点A的东南方向，又在点C的西南方向，点D既在点A北偏东方向，又在点C的西北方向2千米处．（参考数据：，） （1）求 的长度．（结果精确到千米） （2）小华准备从点A跑步到点C，他决定选择一条较长的路线，请计算说明小华应选择路线，还是路线？ 【答案】（1） 千米 （2）小华应选择路线 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质： （1）过点D作于点E，可得 是等腰直角三角形，从而得到千米，在中，利用直角三角形的性质，即可求解； （2）由（1）得：路线的长度约为千米，求出千米，再由 是等腰直角三角形，可求出路线的长度，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 根据题意得：，千米， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴千米， 在中，， ∴千米； 【小问2详解】 解：由（1）得：路线的长度约为千米， 千米， ∴千米， 根据题意得：， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴千米， ∴路线的长度约为千米， ∵， ∴小华应选择路线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点D，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该地物线沿射线 方向平移个单位长度，点F为点P平移后的对应点，连接，点M为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的值最大为，此时 （3）， 【解析】 【分析】（1）将、，代入中，利用待定系数法求解即可； （2）先求出 的表达式为，求出抛物线的对称轴为．设，则．设与 的交点为G，则可得，则．易证，则可得，则，进而可得，则可得时，的值最大为，此时． （3）先求出平移后的抛物线的表达式为．然后分两种情况讨论：①过P点作交抛物线于点，则可得，求出直线的表达式，再与抛物线的表达式联立，解方程组，即可求出的坐标；②作点关于直线 的对称点N，连接交抛物线于点，则可得．求出N点的坐标为，再求出直线的表达式，然后再与抛物线的表达式联立，解方程组即可得的坐标． 【小问1详解】 解：将、，代入中，得 ， 解得， 抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：，， ，， ． 设直线 的表达式为： ， 则，解得， ∴直线 的表达式为：． 由，得对称轴为：． 设， 则， 如图，设与 的交点为G， 则， ， 解得， ， ． 轴，， ，， ， ， ， ， 时，的值最大，最大值为，此时． 【小问3详解】 解：在（2）中，轴， ， ∵C、D、P三点的 纵坐标相同， ∴直线轴． 原抛物线为，将其沿 方向平移个单位， 得． 如图，若，则满足条件的M点有两个． ①过P点作，交抛物线于点， 则， 又∵轴， ， ． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 联立， 解得，（舍去）， ． ②如图，作点关于直线的对称点N，连接交抛物线于点， 则， 即， 则． 设直线的表达式为 ， 则， 解得，， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，（舍去）， ． 综上，所有符合条件的点M的坐标为：，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的表达式、相似三角形的判定和性质、坐标系中的轴对称、二次函数的平移．能综合运用以上知识及数形结合法是解题的关键． 26. 在 中， ，，点D是 边上一动点，过点C作交 于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点F是上一点，连接 并延长交 的延长线于点G．若点P为 的中点，，，求证：； （3）点F是 边上一点，射线 与射线 交于点G，，点H是 上一点，且，连接，，点M是射线 上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明： ，点P为 的中点， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 作，交 延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，最后根据三角形外角性质得到，即可解题； （2）利用直角三角形性质得到，结合等腰三角形性质得到，进而得到，，证明，得到，，推出，作，交 延长线于点 ，证明，得到，证明，得到，再进行等量代换即可解题； （3）根据题意得到在的中垂线上，当时，最小，且此时四边形为矩形， 当取得最小值时，、关于对称，且，得到的运动轨迹是以 为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心 ，且、 分别在 的两侧时，的值最大，作，交 的延长线于点 ，证明，得到，，进而证明，利用全等三角形性质推出 为 中点，设，则，（即），，利用勾股定理和相似三角形性质得到，， ， ，作于点，结合勾股定理和等腰直角三角形性质得到，，，，进而推出，即可解题． 【小问1详解】 解： ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下： 根据题意画出图形， ， ， 作于点 ， 即在的中垂线上， ， ， 当时，最小， 易得此时四边形为矩形， 当取得最小值时， 、关于对称， ， 的运动轨迹是以 为圆心，为半径的圆周上， 则当过圆心 ，且、 分别在 的两侧时，的值最大，如图所示： 作，交 的延长线于点 ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 中点， 设， ，四边形为矩形， ，（即），， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形外角性质，垂直平分线性质，轴对称性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中适应性监测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 2. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象在（ ） A. 第一，三象限 B. 第一，二象限 C. 第二，四象限 D. 第三，四象限 5. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 6. 用心形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗心，第②个图案中有3颗心，第③个图案中有6颗心，第④个图案中有9颗心，…，按此规律，则第⑦个图案中，心形的颗数是（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 28 7. 小沙在活动课中用长度为5，m，n的三根木棒搭建一个三角形木架，则m，n可能的取值分别是（ ） A. 1和3 B. 2和3 C. 2和8 D. 3和6 8. 如图， 是 的切线，点A为切点，弦，连接 并延长交 于点B．若，，则 的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，在正方形 中，点 是 的中点，点 在 上，连接 ， ．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：__________． 12. 马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 13. 如图，在 中，点D，E分别是的中点．若 的周长为4，则 的周长是__________． 14. 为弘扬红岩精神，赓续红色血脉，沙坪坝区开展“小小红岩讲解员”风采展示活动．两同学从宋振中、陈然和江竹筠三位烈士中随机选择一位烈士的故事进行讲解，则他们恰好选择同一位烈士的概率是__________． 15. 如图， ，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则 的长是__________． 16. 如图，在矩形 中，，．以点A为圆心， 的长为半径画弧交 ，的延长线于点E，F，则图中阴影部分的面积是__________．（结果不取近似值） 17. 若关于 的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 18. 一个四位自然数M，记作，若，则称M为“双11数”．例如：四位数4279，∵，∴4279是“双11数”．若一个“双11数”为且能被5整除，则这个数是__________；若M是一个“双11数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是__________ 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20～26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注．某4S店为了解车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分为三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 甲款电动汽车10名车主的评分是：70，75，80，80，80，80，85，85，95，100． 乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：80，80，85，85，85． 抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表 车型 平均数 中位数 众数 甲 83 80 a 乙 83 b 85 抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该4S店甲款电动汽车的车主有400人，乙款电动汽车的车主有600人．若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？ 21. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交 于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O， 平分交 于点E， 平分交 于点F． 求证：． 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ① ， ∴． 又∵ 平分， 平分， ∴， ② ． ∴． 又∵ ③ ，， ∴． ∴． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段 ④ ． 22. 为积极发展新质生产力支持农业现代化建设，A、B两机械生产公司接受3600台微耕机的生产任务．已知A公司每天生产微耕机的台数是B公司每天生产微耕机台数的． （1）若A公司生产40天，B公司生产30天，则恰好完成生产任务．问B公司每天生产多少台微耕机？ （2）由于时间紧任务重，A、B两公司每天生产微耕机的台数均在原来的基础上提高了，A、B两公司各完成总生产任务的一半，A公司完成任务所需要的时间比B公司完成任务的时间多5天．问B公司现在每天生产多少台微耕机？ 23. 如图，在菱形 中，，．动点 从点出发沿边运动，到达点 时停止运动，过点 作，分别交 ，于点 ， ．设，点 ， 之间的距离为． （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）函数的图象如图所示，结合函数图象，直接写出当时 的值．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 为满足市民需求，市政部门在某湿地公园内沿湖修建了如图所示的健身步道．经勘测，点C在点A的正东方，点B既在点A的东南方向，又在点C的西南方向，点D既在点A北偏东方向，又在点C的西北方向2千米处．（参考数据：，） （1）求的长度．（结果精确到千米） （2）小华准备从点A跑步到点C，他决定选择一条较长的路线，请计算说明小华应选择路线，还是路线？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线 下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点D，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该地物线沿射线 方向平移个单位长度，点F为点P平移后的对应点，连接，点M为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程． 26. 在 中， ，，点D是 边上一动点，过点C作交 于点E． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点F是上一点，连接 并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：； （3）点F是 边上一点，射线 与射线交于点G，，点H是 上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $