精品解析：福建省泉州市南安实验中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年福建省泉州市南安实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 5. 已知是正比例函数，则m的值是(　　) A. 8 B. 4 C. ±3 D. 3 6. 如图，函数和图象交于点P，则根据图象可知二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 7. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程=3+有增根，则m的值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，于点E，轴，点C在x轴上，点A、D在函数的图象上，若与的面积之比为，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 当________时，分式有意义. 12. 化简：_____． 13. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 15. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图像交于A、B两点，利用函数图像直接写出不等式＜kx+b的解集是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卡的相应位置内作答） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 21. 学校为落实“新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个足球的进价比排球多10元，用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同． （1）每个足球和排球的进价分别是多少？ （2）学校准备购进足球和排球共100个，其中排球数量不超过足球数量的3倍，请你设计一种购买方案，最低费用为多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 23. 小明和小红同时从学校出发骑自行车到公园后返回，他们与学校的距离y（千米）和离开学校的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答： （1）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为15分钟，求该地与学校的距离； （2）若小红出发35分钟后两人相遇，求小红从公园回到学校所用的时间． 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． （1）求点C的坐标． （2）如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． （3）若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A的坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年福建省泉州市南安实验中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、C、D是整式，B是分式．故选B． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征； 根据象限点的特征，第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负，即可求解． 【详解】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 所以点在平面直角坐标系的第四象限． 故选：D 3. 反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，此题得解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（1，-2）， ∴k=1×（-2）， ∴k=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于k的一元一次方程是解题的关键． 4. 若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 扩大4倍 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得， =， 可见新分式是原分式的． 故选C． 5. 已知是正比例函数，则m的值是(　　) A. 8 B. 4 C. ±3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可． 【详解】∵y＝(m+3)xm2﹣8是正比例函数， ∴m2﹣8＝1且m+3≠0， 解得m＝3． 故选D． 【点睛】考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 6. 如图，函数和图象交于点P，则根据图象可知二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象交点的坐标为，转化为方程组的解即可. 本题考查了一次函数交点坐标与方程组解的关系，熟练掌握直线交点坐标即为解析式构成方程组的解是解题的关键. 【详解】∵函数和的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故选B 7. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=220°，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB∥CD， ∵∠A+∠C=220°， ∴∠A=∠C=110°， ∴∠B=180°-∠A=70°． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 8. 若关于x的分式方程=3+有增根，则m的值是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-4=0，所以增根是x=4，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．． 【详解】解：方程两边都乘（x-4），得：2=3（x-4）-m ∵当最简公分母x-4=0时，方程有增根， ∴把x-4=0代入整式方程， ∴m=-2． 故选：A． 【点睛】增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 9. 如图, 在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【详解】解：A、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确； B、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误； C、由函数y=的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误； D、由函数y=的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 10. 如图，在四边形中，于点E，轴，点C在x轴上，点A、D在函数的图象上，若与的面积之比为，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，根据三角形的面积关系，找出等量关系． 设，则，，，根据与的面积之比为，得出，进而推出，最后根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， ∵轴，， ∴， ∴，，， ∵与的面积之比为， ∴，即， 整理得：， ∴． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 当________时，分式有意义. 【答案】 【解析】 【详解】∵要使分式有意义, ∴x-2≠0, ∴x≠2. 故答案是：≠2. 12. 化简：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．根据分式的加减法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：1． 13. 华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个， 所以0.000000007=7×10-9． 故答案为：7×10-9． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BC=9，AC=8，BD=14，则△AOD的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求出AD，OA和OD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，OA=OC，OB=OD， ∵BC=9，BD=14，AC=8， ∴AD=9，OA=4，OD=7， ∴△AOD的周长为：AD+OA+OD=20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解题的关键． 15. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数（x＞0）的图像交于A、B两点，利用函数图像直接写出不等式＜kx+b的解集是_______． 【答案】1＜x＜4 【解析】 【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可． 【详解】解： ∵由图像可知：A（1，4），B（4，1），x＞0， ∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4， 故答案为：1＜x＜4． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图像是解此题的关键，数形结合思想的应用． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点P是直线上一点，且，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点，先根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求出点的坐标，再根据等腰三角形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与直线联立求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的垂线，截取，过点作轴的垂线，分别与过点作轴的垂线交于点，连接，交于点， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， ∴， ∵，， ∴平分， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， 则点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卡的相应位置内作答） 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握实数的运算法则．首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解方程： 解：去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 经检验，是原方程的增根， 所以，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，一定要进行检验． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解的方法是解题的关键．先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，，是的对角线上两点，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证，得，则，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 学校为落实“新中考”中关于球类项目的测评方案，欲购进一批足球和排球，补充体育活动器材，其中每个足球的进价比排球多10元，用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同． （1）每个足球和排球的进价分别是多少？ （2）学校准备购进足球和排球共100个，其中排球数量不超过足球数量的3倍，请你设计一种购买方案，最低费用为多少元？ 【答案】（1）每个足球的价格为90元，每个排球的价格为80元 （2）购买足球25个，购买排球75个，最低费用为8250元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键综合运用相关知识解决问题． （1）设每个排球的价格为元，则每个足球的价格为元．由题意：用4500元购进足球和4000元购进排球的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每个排球的价格为元，则每个足球的价格为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每个足球的价格为90元，每个排球的价格为80元； 【小问2详解】 解：设学校决定购买足球个，本次购买花费元，则购买排球个， 则， 解得：， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 答：购买足球25个，购买排球75个，购买费用最低，最低费用为8250元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别为、、，顶点在第一象限，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式． （2）连接，若点是反比例函数的图象上的一点，且以点、、为顶点的三角形面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）先求出的面积，根据与的面积相等，先求出点的横坐标，再代入反比例函数解析式即可求出纵坐标． 【小问1详解】 解：，、，四边形是平行四边形， ， ， 把点代入得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设点， ，， ，， ， ， ， 或． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求反比例函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积的计算方法、坐标与图形等，综合运用相关知识是解题的关键． 23. 小明和小红同时从学校出发骑自行车到公园后返回，他们与学校的距离y（千米）和离开学校的时间x（分钟）之间的关系如图，请根据图象回答： （1）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为15分钟，求该地与学校的距离； （2）若小红出发35分钟后两人相遇，求小红从公园回到学校所用的时间． 【答案】（1）3.6千米 （2）18分钟 【解析】 【分析】（1）分、、三段，利用待定系数法求出关于的函数关系式，设该地与学校的距离为，则第一次经过该地时的时间为，第二次经过该地的时间为，根据两次时间间隔为15分钟，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出两人相遇时，小红骑行的路程，根据“速度路程时间”求出小红的速度，再根据“时间速度”求出小红到达公园的时间，进而可求出小红从公园回到学校所用的时间． 【小问1详解】 解：设小明出发后，与之间的函数关系式为， 当时，将、代入中， ，解得：， ， 当时，， 当时，将、代入中， ，解得：， ， 设该地与学校的距离为，则第一次经过该地时的时间为，第二次经过该地的时间为， 根据题意得：， 解得：． 答：如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为15分钟，则该地与学校的距离为3.6千米． 【小问2详解】 解：当时，， 小红从学校去公园的速度为， 小红到达公园的时间为（分钟）， 小红从公园回到学校所用的时间为（分钟）． 答：若小红出发35分钟后两人相遇，则小红从公园回到学校所用的时间为18分钟． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，从函数的图象获取信息等，解题关键是结合图象，找准等量关系，列出关于一元一次方程． 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． （1）求点C的坐标． （2）如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． （3）若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 【答案】（1） （2）存在，最大值 （3）图见解析，8或6或2 【解析】 【分析】（1）联立与即可求得点的坐标； （2）由三角形的三边关系可知当点、、在一条直线上时，的值最大，据此求解即可； （3）根据全等三角形对应顶点的位置分情况进行讨论，画出图形，即可得到的值． 【小问1详解】 解：联立与， 得，解得， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图， 由三角形的三边关系可知，， 当点、、在一条直线上时，的值最大为的长， ，令，则， 点的坐标， 点为轴上的中点， 点的坐标为， ， ， 直线上存在点，使的值最大，这个最大值为． 【小问3详解】 解：，令，则， 点的坐标， ，， ，， 分三种情况讨论： ①当，如图： ，， 轴， ， ， ， ； ②当，如图： ， ，即经过点， 点，重合， ； ③当，如图， ，， ， 轴， 点，重合， ， ； 综上所述，当取8或6或2时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，三角形的三边关系，勾股定理求最短路径，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质以及全等三角形的性质． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+n（n＜0）与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于第一象限的点A，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）若n＝﹣1，点A的坐标为(2，3)． ①直接填空：m的值为_______，k的值为_______； ②点P是x轴上一点，且位于点B的右侧．若△PAC的面积为6，求点P的坐标； （2）过点M(1，0)作y轴的平行线l与函数y＝的图象交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点E．过点D作x轴的平行线与直线y＝kx+n交于点P（点P、D不重合）．问：当k为何值时，PD+DE的值为定值？并求出此时m、n应满足的条件． 【答案】（1）①6，2；②P(，0)；（2）当k＝1时，PD+DE的值为定值1，此时m，n应该满足的条件是0＜m﹣n＜1 【解析】 【分析】（1）①将点的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，结合可得和的值； ②设，根据的面积为6，则，列方程解出可得结论； （2）分两种情况：①如图2，当点在直线的左侧时，即时，②如图3，当在直线的右侧时，即时，根据计算可得结论． 【详解】解：（1）当时，， ①直线与反比例函数的图象交于第一象限的点，且点的坐标为， ，， ， 故答案为：6，2； ②如图1， 当时，， ， 设， 的面积为6， ， ， ， ，； （2）依题意得：，， ， 当时，， ， ，， 如图2，当点在直线的左侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值1； ，，，， ， ； 当时，的值为定值1，此时、应满足的条件是； 如图3，当在直线的右侧时，即时， ， ， 当时，的值为定值， ，的值为正数， 当不合题意，舍去， 综上，当时，的值为定值1，此时，应该满足的条件是． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用，解题时正确画图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $