1.1 直线的斜率与倾斜角 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 一、知识梳理 1.在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着________按________方向旋转与直线重合时，所转过的最小正角α，我们把这个角α称为这条直线的________．直线的倾斜角α的取值范围是______________． 2.对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)，我们将 ________称为直线l的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________． 3.当直线与x轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝ ______________． 二、课前自测 1.如图，直线l的倾斜角为( ) A.60° B.150° C.0° D.不存在 2.下列说法正确的是( ) A.一条直线和x轴的正半轴所成的角，叫作这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α在第一或第二象限 C.与x轴平行的直线的倾斜角为0° D.不是每一条直线都有倾斜角 3. (多选题)已知直线l：y＋2＝0，则( ) A.l的倾斜角为0 B.l的倾斜角为 C.l的斜率不存在 D.l的斜率为0 4.经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝ ________． 5.已知两点A(－1，2)，B(1，0)，求直线AB的斜率和倾斜角． 三、课后练习 6.如果经过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是 ( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 7.已知点A(1，2)，B(0，1)，C(m，4)，若A，B，C三点共线，则m等于( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.已知直线经过A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)两点且倾斜角为，则m的值为( ) A. B. C. D. 9. 已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.(－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2] 10. (多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的是(　　) A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α D.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α 11. (多选题)已知直线斜率的绝对值为，则该直线的倾斜角可以为 (　　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 12.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_______． 13.已知a＞0，平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________． 14.已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0) 按逆时针方向旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________． 15.若经过点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2，3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值． 16.已知点A(－3，4)，B(3，2)，且经过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求： (1) 直线l的斜率k的取值范围； (2) 直线l的倾斜角α的取值范围． 17.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 一、知识梳理 1.在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着__交点__按__逆时针__方向旋转与直线重合时，所转过的最小正角α，我们把这个角α称为这条直线的_倾斜角．直线的倾斜角α的取值范围是_[0°，180°)_． 2.对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)，我们将 称为直线l的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝________． 3.当直线与x轴不垂直时，直线的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝ ． 二、课前自测 1. 如图，直线l的倾斜角为(　B　) A.60° B.150° C.0° D.不存在 2.下列说法正确的是(　C　) A.一条直线和x轴的正半轴所成的角，叫作这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α在第一或第二象限 C.与x轴平行的直线的倾斜角为0° D.不是每一条直线都有倾斜角 解析：由倾斜角的定义，可知A错误；直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°)，故B错误；与x轴平行的直线的倾斜角是0°，故C正确；每条直线都有倾斜角，故D错误． 3.(多选题)已知直线l：y＋2＝0，则(　AD　) A.l的倾斜角为0 B.l的倾斜角为 C.l的斜率不存在 D.l的斜率为0 解析：因为直线l平行于x轴，所以l的倾斜角为0，l的斜率也为0. 4.经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝________． 解析：经过A(18，8)，B(4，－4)两点的直线的斜率k＝=. 5.已知两点A(－1，2)，B(1，0)，求直线AB的斜率和倾斜角． 解：根据题意，设直线AB的斜率为k，倾斜角为θ.已知两点A(－1，2)，B(1，0)，则k＝＝－1，tanθ＝k＝－1.因为直线的倾斜角的取值范围是[0，π)，所以θ＝. 三、课后练习 6.如果经过P(－2，m)，Q(m，4)两点的直线的斜率为1，那么m的值是 (　A　) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析：因为经过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，所以＝1，解得m＝1. 7.已知点A(1，2)，B(0，1)，C(m，4)，若A，B，C三点共线，则m等于(　A　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：已知点A(1，2)，B(0，1)，C(m，4)，若A，B，C三点共线，则直线AB的斜率和直线BC的斜率相等，即＝，解得m＝3. 8.已知直线经过A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)两点且倾斜角为，则m的值为(　C　) A. B. C. D. 解析：根据题意，知直线AB的倾斜角为 ，所以其斜率k＝tan ＝－.又A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)，所以直线AB的斜率k＝＝m.所以m＝－. 9.已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　D　) A.(－1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[0，2] 解析：如图，由图，可知当直线l位于图中阴影部分所示的区域内(含边界)时，满足题意，所以直线l的斜率k的取值范围是[0，2]． 10.(多选题)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的是(　AD　) A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α D.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α 解析：因为平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确；因为与x轴垂直的直线的倾斜角为90°，而它的斜率不存在，故B错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角不一定是α，如α＝210°时，此时直线的倾斜角为30°，故C错误；若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α，故D正确． 11.(多选题)已知直线斜率的绝对值为，则该直线的倾斜角可以为 (　BC　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：由题意，得该直线的斜率为√3或－√3 ，故其倾斜角为60°或120°. 12.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_____________________．(3，0)或(0，－3) 解析：设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝tan 45°＝1，得＝1，解得m＝3，n＝－3.故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)． 13.已知a＞0，平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝____． 解析：由题意，知kAB＝kBC，得a3－2a2－a＝0.又a＞0，故有a2－2a－1＝0，解得a＝1＋或a＝1－(不合题意，舍去)． 14.已知直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0) 按逆时针方向旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为___30°_____，斜率为______． 解析：如图，因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1，0)按逆时针方向旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tan 30°＝. 15.若经过点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2，3－m2)的直线的倾斜角为 135°，求m的值． 解：依题意，可得直线的斜率为tan 135°＝－1.因为直线经过点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2，3－m2)，有斜率公式得m＝－2或m＝－1.经检验，m＝－1不合题意，故m＝－2. 16.已知点A(－3，4)，B(3，2)，且经过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求： (1) 直线l的斜率k的取值范围； (2) 直线l的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意，可知kPA＝ ＝－1，kPB＝ ＝1.(1) 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2) 由题意，可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．又因为直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]． 17.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点，求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明：因为A，B，C是三个不同的点，所以x1，x2，x3互不相等．因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即.所以，整理，得，即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.因为x2≠x3，x1＋x2＋x3＝0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$