精品解析：江苏省南京市金陵中学2023-2024学 年高三下学期期初学情调研测试数学试卷

高三年级期初学情调研测试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】向量，，解得， 所以“ ”是 “”的充分不必要条件. 故选：A 2. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的数据即可得出答案. 【详解】由函数的数据可知，函数， 偶函数满足此性质，可排除B，D； 当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C. 故选：A. 3. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数. 【详解】当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， ，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3. 故选：C 4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数，即，，然后可求出答案. 【详解】由题意知， 所以，，， 故选：B 5. 已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】以所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设双曲线的右焦点为，依题意可知直线过， 依题意，，，则， 所以三角形是等腰直角三角形， 设双曲线的方程为，，由， 解得（负根舍去），由于， 所以， ，两边除以得， 解得（负根舍去）. 故选：C 6. 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ） A. 192种 B. 252种 C. 268种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若甲乙不值班，值班安排有种； 若甲乙只有一人不值班，值班安排有种； 若甲乙都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有252种. 故选：B 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的图象和函数的图象，由，找到交点横坐标，即可得解. 【详解】在同一坐标系中画出函数的图象和函数的图象， 设两图象交于点A，且点A的横坐标为. 由图象可得满足的实数a的取值范围为. 对于，由，得， 所以，解得或（舍去）， 故选：C. 8. 空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为构造几何体，使之在同一平面中三棱锥顶点最多的问题，数形结合即可求得结果. 【详解】为使得对于任意平面，取得最大值， 故要使得使之在同一平面中三棱锥顶点最多， 如下所示，作出符合题意的图形， 如图所示：三棱锥，均为正四面体, 显然，最多有11个点在同一平面中. 同时，若同一平面中存在12个三棱锥的顶点，则只有1个点在平面外， 无法构造几何体，故的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中点线面的位置关系，涉及棱锥的相关概念，属困难题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ） A. 这10个月的月销售量的极差为15 B. 这10个月的月销售量的第65百分位数为33 C. 这10个月的月销售量的中位数为30 D. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由极差百分位数以及中位数的定义，分别代入计算，即可得到结果. 【详解】将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40， 这10个月的月销售量的极差为15，故A正确； 根据百分位数的定义可知，， 则这10个月的月销售量的第65百分位数为第七个数33，故B正确； 这10个月的月销售量的中位数为，故C错误； 结合图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动， 所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故D错误； 故选：AB． 10. 设函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. 有且仅有两个零点 B. 有一个或两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出的图象，根据零点的定义，可判断A、B，采用整体代入的方法，结合正弦型函数的性质判断C、D即可. 【详解】因为，所以，令， 作出函数的图象， 对于D，若有且仅有三个零点，则，计算可得，故D正确； 对于A，是图像向上平移一个单位，有且仅有两个零点，故A正确； 对于B，是图像向下平移一个单位，有一个或两个零点，故B正确； 对于C，，，因为，则，，故C错误； 故选：ABD． 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D. 【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确. 若，则，则.B正确. 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积.C正确. 由余弦定理可知因为，所以，则. 取，，则，， 则.D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据条件概率公式和概率加法公式即可求解 【详解】由条件概率公式可得：，又，所以， 由概率加法公式可得：， 所以； 故答案为：． 13. 数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出给定椭圆的蒙日圆方程；再根据题目条件可得出直线与该蒙日圆相交，建立不等式即可求解. 【详解】由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆， 所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：． 若直线上存在点使为直角， 即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，， 解得， 故答案为:． 14. 已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令整理使和分别在左右两侧得到，构造函数，所以在上单调递减，由得，由同构得到，结合函数在上单调递增，得，再构造函数，利用导数求最大值即可得到的取值范围. 【详解】若，且，恒有， 令，则，， 令，则时，即在上单调递减， 则，所以，， 令，恒成立，在上单调递增， 故由，得，恒成立，所以， 令，，令得， 时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 所以，故． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：同构法解决求参数取值范围问题 本题中，将整理为，构造函数， 将整理为，构造函数. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，次移动结束后，质点到达的位置的数字记为. （1）若，求; （2）若，求的分布列和的值. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 2 4 6 0【解析】 【分析】（1）由可直接得到结果； （2）首先求出X的所有可能取值以及对应的概率，再结合离散型随机变量的期望公式求答案即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设表示6次移动中向左移动的次数，则， 质点最后到达的数字， 则：， ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 2 4 6 . 16. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β. （1）求的值； （2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，进行转换即可； （2）根据题意，由（1）知，求出取得最大值，最大值为. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 所以， 所以， . 【小问2详解】 由题意知，， 所以， 由（1）知，，所以， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． （1）证明：平面； （2）已知，，，平面底面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：如图，连接与相交于点O，连接． ∵，， ∴，又∵． ∴， ∵，平面，平面． ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接与相交于点O，连接，即可证明，从而证明平面（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的数量积公式即可求出的长 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在中，，可得， 由，平面底面，过点作底面的垂线，垂线在平面内， 以为坐标原点，，，直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，．又由，，可得点的坐标为， 又由，有， 设，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为．由，， 有，取，则，，可得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，则，，可得平面的一个法向量为． 由，，，有， 又由平面与平面的夹角的余弦值为，有， 化简为，解得或（舍）． 由上知． 18. 已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值. 【答案】（1） （2）①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，，则，，， 由已知，所以的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由的关系以及，即可求解. （2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证. ②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以及同理思想即可求解，进一步由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 已知抛物线：中，令，解得，所以， 因为，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ①略 ②设直线AB：，显然，由，解得：或， ∴，则， 由①知，直线：，则， 由，得，解得或， ，则， 由①知，直线：，， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 【点睛】关键点睛：第二问②的关键是由同理思想求弦长，这样可以减少计算量，从而即可顺利得解. 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由； （2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围． 【答案】（1）是上的“一阶有界函数”；不是上的“一阶有界函数”；理由如下： 由，在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”； 由，，当，，故不是上的“一阶有界函数”； （2）正确，理由如下： 若函数为上的“一阶有界函数”，则， 又函数在上单调递增，则，因此可得， 令，则，在上单调递减， 设，，其中， 则，故； 又在上单调递增，则，故，因此可得； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“一阶有界函数”的定义即可判断选项； （2）根据函数为上的“一阶有界函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的定义进行列式，化简判断； （3）根据函数为区间上的“一阶有界函数”，求得大致满足的范围．再构造函数，利用导数判断函数的单调性，求得最小值从而确定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数， 若为区间上的“一阶有界函数”，则，对恒成立 则，，；，，， 则． 令，，其中， 因为，在区间上单调递增，所以区间上单调递增， ∵，，所以存在，使，即， 当时，，单调递减；当，，单调递增． 所以，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 设， 则， 因为，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又，所以， 所以，∴， 综上：． 【点睛】关键点点睛：新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级期初学情调研测试 数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则“ ”是 “”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ） -2 -1 0 1 2 3 5 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A. B. C. D. 3. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ） A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 5. 已知双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图所示，一镜面的轴截面图是双曲线的一部分，是它的一条对称轴，是它的左焦点，光线从焦点发出，经过镜面上点，反射光线为，若，，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（ ） A. 192种 B. 252种 C. 268种 D. 360种 7. 已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 空间中13个不同的点构成的集合，满足当时，都是正四面体.对于任意平面，的最大值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ） A. 这10个月的月销售量的极差为15 B. 这10个月的月销售量的第65百分位数为33 C. 这10个月的月销售量的中位数为30 D. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 10. 设函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是（ ） A. 有且仅有两个零点 B. 有一个或两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 的取值范围是 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________． 13. 数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________． 14. 已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，随机移动次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，次移动结束后，质点到达的位置的数字记为. （1）若，求; （2）若，求的分布列和的值. 16. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β. （1）求的值； （2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，． （1）证明：平面； （2）已知，，，平面底面，若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 18. 已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，，求的最小值. 19. 设函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”． （1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由； （2）若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由； （3）若函数为区间上的“一阶有界函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $