精品解析：广东省2025届高三久洵杯七月调研测试数学试题

2025届普通高中毕业生久洵杯七月调研测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出每个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】对于集合，，． 对于集合，有，解得， ，. 故选：D． 2. 已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的夹角余弦公式以及向量共线的条件求出“向量与向量的夹角为钝角” 的等价条件，再结合充分条件与必要条件的的定义即可得解. 【详解】由向量与向量的夹角为钝角， 得，且向量与向量不共线， 所以，即， 由有，解得， 所以的取值范围是． 故“”是“与的夹角为钝角”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，求出，求出，求出. 【详解】由，有， ，， . 故选：B． 4. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由正弦定理得， 即，或． 若，结合，有，故舍去． ．，， 故选：D． 5. 记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 6. 记A，B为随机事件，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解． 【详解】记，由全概率公式有， 代入数据有，解得， ， 故选：D． 7. 已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数性质得三点坐标，再由，结合有，建立方程即可求出，最后将代入函数解析式即可得解. 【详解】由正弦函数性质有，，， 由是直角三角形，可得， 结合有， ， ， 解得或（舍去）， ， ， . 故选：C. 8. 已知面积为的锐角三角形满足，将以为轴旋转至，且，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】取中点为D，过作，记，，可得，．根据三角形面积得，利用表示锥体体积，结合导数方法求函数的最大值. 【详解】 取中点为D，则，． 过作，垂足为． 记，，则，． 根据三角形面积得， 要使三棱锥的体积最大，则最大． ，． ，其中， 令，记，， 令，或（舍）， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； ，， ， 故选：A． 【点睛】求解三棱锥的体积方法：公式法；等体积变换法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ） A. 该组数据极差为25 B. 该组数据的分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数据的极差、第百分位数和平均数的公式计算判断各个选项； 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，，故分位数为20，B错误； 对于C项，平均数等于；故C正确； 对于D项，去掉17后，这两组数据平均数相等，故D项正确， 故选：ACD． 10. 已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 的通项公式为或 C. 若，则 D. 若，则为定值 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意得或．构造数列1，1，，1，，1，，…，或中的所有项保持同样的递推关系判断A，B；对于C满足，累乘法求解通项公式和进行判断；若，有，，故．奇偶分类讨论得到，为定值0，判断D； 【详解】由，因式分解得， 或． 对于A，B项，构造数列1，1，，1，，1，，…，则该数列满足题意且A，B均错误，当中的所有项保持同样的递推关系（即同为或），则A，B均正确，故A，B符合题意， 对于C，注意到若存在使得，则，则对于C 只能满足，累乘得，， 当时也符合，， ， 故C正确，不符合题意； 对于D，若，则，故，故． 当为奇数，， 所以 当为偶数，， 所以， 奇偶分类讨论有，注意到，则为定值0，故D正确，不符合题意； 故选：AB． 11. 已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ） A. B. 函数是减函数 C. 点B可能在以为直径的圆上 D. h的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A，利用导数判断B，利用圆的性质判断C，利用不等式的取等条件判断D即可. 【详解】对于A选项，由是偶函数得到， 则，解得，故A正确； 对于B选项，， 故，且恒成立， 故得减函数，故B正确； 对于C选项，由B知，即， 由对称性，可设，则． 若点B在以为直径的圆上，则有， 带入即， 即． 若，则，不满足题意； 若，，而， ， 故B不可能在以为直径的圆上，故C错误； 对于D选项，过点B作x轴的垂线交于点D，则（当且仅当时取等）， 而，记， 则， 当且仅当的时候取等，即时取等，所以两个不等号能同时取等， 故h的最大值为，故D正确． 故答案选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式取等条件，然后得到参数值，得到所要求的最值即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件得到相位差，表示出，再求解即可. 【详解】由，可得， 与的相位差为， 故，， ， 故答案为：． 13. 写出一个同时具有下列性质的函数__________． a．是偶函数 b．不存在对称中心 c．存在最小正周期，且最小正周期为2 【答案】 【解析】 【分析】根据是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2写出. 【详解】由题意可知，是偶函数，不存在对称中心，存在最小正周期，且最小正周期为2， 所以满足题意. 故答案为：. 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图记直线与直线的交点为P，且连接，则， 由对称性有过坐标原点O且． 由有，， 又，，， ，，，即，， 在中，， 在中，，解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 投掷一枚硬币n（，）次，正面向上与反面向上的概率均为0.5，记事件A为“n次抛掷中既有正面向上也有反面向上”，B为“n次抛掷中至多一次正面向上”． （1）若，求； （2）证明：事件A，B相互独立的充要条件为． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由二项分布的概率公式直接计算即可； （2）分充分性、必要性两方面进行求解即可. 【小问1详解】 记X为n次投掷中硬币正面朝上的次数，则， 当时，； 【小问2详解】 ，， ． 充分性：当时，代入有，，此时，充分性成立； 必要性：由有，记，，，等号当且仅当时成立， 时，单调递增，必要性成立． 综上所述，事件A，B相互独立的充要条件为． 16. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）侧面是边长为2的正方形得到和的关系，、和的长度，根据侧面是平行四边形得到和，在中，由余弦定理得，判断的形状，证明平面，证明； （2）取的中点，记为D，连接，．证明，，平面，求出二面角的平面角，证明平面，记二面角为，表示出与的关系，找到和的关系，求出，求出，证明，求出. 【小问1详解】 侧面是边长为2的正方形， ，，， 侧面是平行四边形， ， 在中，由余弦定理有， 解得，是直角三角形， ，，，平面， 平面，又平面， ； 【小问2详解】 取的中点，记为D，连接，， ，， ，， ，，平面， 平面，为二面角的平面角． 又平面，， 平面，记二面角为， 则，， ，． 平面，， ，，， 的值为． 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系． 【答案】（1）极小值为，没有极大值 （2） 答案见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）对求导，令求得，的零点把定义域划分为和判断各个区间的单调性，从而判断是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可； （2）对求导，并对的导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同的对的导函数正负的影响进行讨论，从而得到的单调性； （3）由（2）可以得到，，结合，得到取不同范围时的范围，再结合函数的单调性，从而判断和的大小关系． 【小问1详解】 ，时，时， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到极小值，没有极大值． 【小问2详解】 情形一 若，可得恒成立，且， 时，，故在单调递减； 时，，故在单调递增； 情形二 若，，则， 在单调递增； 情形三 若，令，解得或， 又由（1）知当时，可得， 时，，故在单调递减； 和时，，故在和单调递增． 综上所述，若，时，单调递减，时，单调递增； 若，，在单调递增； 若，时，单调递减，和时，单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，只能是，， 由，则，解得且， 又当时，，，由在上单调递减可知； 当时，，，由在上单调递增可知． 综上所述，时，；时，． 18. 记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q． （1）求点Q的轨迹方程； （2）求； （3）求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，联立直线和的方程求出，则代入，可以得到点Q的轨迹方程. （2）运用两点间距离公式得到，，，，求出；求出，求出结合初中几何结论，求即可. （3）由（2）同理可求得，将四边形转化为，的面积之差，结合余弦定理和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设点，则，则. 由题知，直线的方程为， 直线的方程为，联立直线和的方程有， 设，则代入，得到, 点Q的轨迹方程为． 【小问2详解】 ， 同理可得，，， 由对称性，可设，时，则，； 所以，此时；时，由对称性可设， 设l与x轴交于点M，则由初中几何有，， 代入有，此时．综上所述，． 【小问3详解】 由（2）同理可证明，记四边形，，的面积分别为，，， 则， 由前面知，，， 当且仅当时取等；在中，有， 代入数据有，， 当且仅当时取等，， 当且仅当时取等． 综上所述，四边形面积的最大值为． 【点睛】知识点点睛：本题综合了轨迹方程，椭圆定义，对称性，焦半径，线段定值，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式，同角三角函数关系，函数最值问题，综合性较强，属于难题 19. 对于一个非零整数和质数p，我们称n中含的p幂次为，定义为最大的非负整数k，使得存在非零整数m，有，例如，等等．且补充定义一个非零有理数的，如，，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其的“p示数”为，其中，规定．记两个有理数x，y的“p示数距离”为． （1）计算，，； （2）证明对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数，……使； （3）给定质数p，若一个无穷集合A中任意一数列，对于任意，，则我们称集合A是“p一紧致的”．是否存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”？若存在，求出所有p；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据公式和，计算，，得到答案； （2）取，有为非整数的正有理数，根据公式，证明结论． （3）取，，有，，推得，而，得到结论． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以，． 【小问2详解】 证明：我们取，则为非整数的正有理数， ， 故成立． 【小问3详解】 不存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”. 理由如下：取，， 则， 故，而， 所以不存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”． 【点睛】新定义问题： 集合的新定义问题，函数与导数的新定义问题，复数与不等式的新定义问题，三角函数的新定义问题，平面向量的新定义问题，数列的新定义问题，立体几何的新定义问题，平面解析几何的新定义问题等 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届普通高中毕业生久洵杯七月调研测试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“与夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 记A，B为随机事件，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知（，）的部分图象如图所示，点是与坐标轴的交点，若是直角三角形，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知面积为的锐角三角形满足，将以为轴旋转至，且，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为25 B. 该组数据的分位数为19 C. 该组数据的平均数为17 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 已知满足，，记的前n项和为，的前n项和为，则下列说法中不一定正确的是（ ） A. 是等差数列 B. 的通项公式为或 C. 若，则 D. 若，则为定值 11. 已知函数是偶函数，点，点，点在函数的图象上，且，记边上的高为h，则（ ） A. B. 函数是减函数 C. 点B可能在以为直径圆上 D. h的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 写出一个同时具有下列性质函数__________． a．是偶函数 b．不存在对称中心 c．存在最小正周期，且最小正周期为2 14. 已知双曲线（，）的左，右焦点为，，过的直线交C的右支于点（点A在点B上方），，过点作直线，交C于点E（点E在第二象限），若直线与直线的交点在直线上，则C的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 投掷一枚硬币n（，）次，正面向上与反面向上的概率均为0.5，记事件A为“n次抛掷中既有正面向上也有反面向上”，B为“n次抛掷中至多一次正面向上”． （1）若，求； （2）证明：事件A，B相互独立的充要条件为． 16. 如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，． （1）证明：； （2）若二面角的余弦值为，求的值． 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若存在两个极值点，，讨论和的大小关系． 18. 记椭圆的左，右顶点和左，右焦点分别为，，，，P是E上除左右顶点外一点，记P在E处的切线为l，作直线交l于点，作直线交l于点，记直线与的交点为Q． （1）求点Q的轨迹方程； （2）求； （3）求四边形面积的最大值．附：椭圆在点处的切线为（P在椭圆上）． 19. 对于一个非零整数和质数p，我们称n中含的p幂次为，定义为最大的非负整数k，使得存在非零整数m，有，例如，等等．且补充定义一个非零有理数的，如，，且规定．现在对于任意一个有理数，我们定义其的“p示数”为，其中，规定．记两个有理数x，y的“p示数距离”为． （1）计算，，； （2）证明对于一个正整数，存在一列非整数的正有理数，……使； （3）给定质数p，若一个无穷集合A中任意一数列，对于任意，，则我们称集合A是“p一紧致的”．是否存在质数p，使得整数集是“p一紧致的”？若存在，求出所有p；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$