第02讲 椭圆的简单几何性质（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第02讲 椭圆的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 根据椭圆标准方程研究椭圆的几何性质，能够正确画出图形； 2 掌握椭圆的简单几何性质； 3 能够根据椭圆的性质解决相关问题． 1. 通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象，数学抽象等核心素颜； 2. 借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养； 知识点一、椭圆的几何性质 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴 长轴2a，短轴2b，焦距2c 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) 知识点二、椭圆的常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． 知识点三：直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 题型01 椭圆中长轴、短轴、焦距 1.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 2.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 4.已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为 ． 5.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1） 6.已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 7.已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 题型02 椭圆的离心率 1.已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 6．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 8.已知椭圆，焦点，，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，设该直线的倾斜角为θ，则 ，椭圆的离心率是 ． 9．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 题型03 椭圆的对称性 1.已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 2.已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 3.设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型04 椭圆中有关弦长问题 1.已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（    ） A．周长为8 B． C．面积为 D． 3.已知是椭圆的右焦点，以坐标原点为圆心，为半径作圆，过垂直于轴的直线与圆交于两点，过点A作圆的切线交轴于点．若直线过点且垂直于轴，则直线的方程为 ；若，则椭圆的离心率等于 ． 4.已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线与椭圆的相交弦长． 5.已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点（椭圆的左顶点，右焦点．），直线过点且交椭圆于P，Q两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求椭圆的离心率； (2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由． 6.设直线与椭圆相交于，两点，已知点. (1)直接写出椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； (3)若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； (4)直接写出弦长的最大值. 7．已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 8．已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 1.椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 3.常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为 ． 4.椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 ； 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在椭圆上，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，△的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为 . 6.已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为 . 7.已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 8.已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 9．在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 椭圆的简单几何性质 课程标准 学习目标 1 根据椭圆标准方程研究椭圆的几何性质，能够正确画出图形； 2 掌握椭圆的简单几何性质； 3 能够根据椭圆的性质解决相关问题． 1. 通过椭圆几何性质的探究，主要培养直观想象，数学抽象等核心素颜； 2. 借助椭圆几何性质的应用，提升直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养； 知识点一、椭圆的几何性质 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 对称轴 长轴2a，短轴2b，焦距2c 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) 知识点二、椭圆的常用结论 （1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长弦为长轴． （2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b. （3）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为＋＝1(λ＞－b2)． 知识点三：直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 题型01 椭圆中长轴、短轴、焦距 1.已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出，即可得解. 【详解】依题意，所以，则， 则椭圆的上顶点到右焦点的距离为. 故选：B 2.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 3.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】椭圆即，焦点在轴上， 所以，，所以， 又椭圆的焦距为，所以，解得. 故选：A 4.已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为 ． 【答案】 【详解】焦点在x轴上的椭圆中，，， 所以，由题意得，即， 即，解得． 故答案为：. 5.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1） 【答案】2.8 【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，； 设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，． 因此，，， 所以， 又，所以， 所以， 故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里． 故答案为：2.8 6.已知椭圆C：的离心率为，、分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为 ． 【答案】 【详解】因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故答案为：. 7.已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且． (1)求椭圆的方程； (2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积； (3)设点P在这个椭圆上，且，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为椭圆的焦点分别是，所以 又因为，，联立可得，， 所以椭圆的方程为； （2）由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，， 由点B为椭圆的短轴端点，所以或， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 所以点B与两点的连线的斜率的乘积为； （3）因为点P在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 题型02 椭圆的离心率 1.已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 2.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又， 联立解得．所以椭圆的标准方程为． 故选：D. 3．设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 4．已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 5．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 6．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同， 则，解得满足题意. 故选：A. 7．（多选）已知椭圆的离心率为，焦点为，则（    ） A．的短轴长为4 B．上存在点，使得 C．上存在点，使得 D．与曲线重合 【答案】BCD 【详解】对于A，由题知，解得，所以， 所以的短轴长为，A错误； 对于BC，由上可知，， 设，则， 又，即， 所以， 因为，所以，得， 所以存在点使得，，所以BC正确；    对于D，由的几何意义可知： 动点到定点的距离之和等于， 表示以为焦点，的椭圆，故D正确. 故选：BCD 8.已知椭圆，焦点，，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，设该直线的倾斜角为θ，则 ，椭圆的离心率是 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 如图所示：设切点为B， 则，且， 可得， 则，，即， 又因为，，可得， 则， 且，可得，所以． 故答案为：；. 9．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【详解】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径，该圆与直线相切， 则圆心到直线的距离， 整理可得， 所以． 故答案为： 题型03 椭圆的对称性 1.已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ． 【答案】 【详解】设，由对称性可得， 则， 所以两式相减可得， 因为直线AB与AD的斜率之积为， 所以，即，所以， 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的焦距为4，所以，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 2.已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． 3.设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在直角中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即，则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：B. 4．已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，， 显然四边形是矩形，所以， 由题意，，所以， 设，则，所以， 又点P在第一象限，所以， 故，即，所以， 椭圆C的离心率 ， 由可得， 又， 所以， 故. 故答案为：. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点与点关于原点对称，四边形的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点．与轴交于点．试判断是否存在，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设椭圆的焦距为，依题意，，则， 四边形为平行四边形，其面积，得，即， 联立解得， 所以椭圆的方程为. （2）存在. 由消去得， 当时，恒成立， 设，则， ， 则 当，即时，为定值，所以. 题型04 椭圆中有关弦长问题 1.已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 2.（多选）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（    ） A．周长为8 B． C．面积为 D． 【答案】AD 【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方， 则，， 所以，故B错； 的周长为，A正确； 设， 在中， 得， 所以，D正确； ， 所以， 故C不正确， 故选：AD． 3.已知是椭圆的右焦点，以坐标原点为圆心，为半径作圆，过垂直于轴的直线与圆交于两点，过点A作圆的切线交轴于点．若直线过点且垂直于轴，则直线的方程为 ；若，则椭圆的离心率等于 ． 【答案】 【详解】由题意得，圆的方程为， 又，令得，解得， 不妨设，故， 所以，则直线方程为， 令得，故直线的方程为；    若，则，即， 解得，故离心率. 故答案为：； 4.已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)求直线与椭圆的相交弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线恒过定点，可知， 设椭圆的方程为 由，得， 所以椭圆的方程为 （2）设直线与椭圆交于，， 联立，整理得： 其中，， 则 所以直线与椭圆的相交弦长为 5.已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点（椭圆的左顶点，右焦点．），直线过点且交椭圆于P，Q两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求椭圆的离心率； (2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在直线： 【详解】（1）由椭圆方程可知，，，， ∴，， 故椭圆的率心率． （2）如图， 假设存在直线，满足． 当直线斜率不存在时，，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立，化简得． 由题意易知恒成立． 设直线与椭圆的两个交点为，， 根据韦达定理得，， 则 ， ∴，即直线：，化简得． 综上可知，存在直线：，满足． 6.设直线与椭圆相交于，两点，已知点. (1)直接写出椭圆的标准方程； (2)设直线的斜率存在，求弦长关于斜率的表达式，并化简； (3)若设点的坐标为，求弦长关于的表达式，并化简； (4)直接写出弦长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由题意知在椭圆上，则，故椭圆的标准方程为； （2）由于直线的斜率存在，设其方程为，联立， 得，解得两根，不妨设， 故； （3）设点的坐标为，则，则， 则； （4）由于， 当时，取得最大值为. 7．已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 8．已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为， 此时， 当直线的斜率存在时，设方程为， 联立，消得， 恒成立，故， 则， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 1.椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为以为圆心，为半径的圆与交于点， 所以，，因为，所以， 又由定义可得，所以，所以 故选：B． 2.记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为， 所以， 因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即， 因为直线的倾斜角为， 所以，又， 化简，所以解得. 故选：A. 2.（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】BCD 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，又，解得，故A不正确； 当时，，则， 所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于，所以存在点使得，故C正确； 因为， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 3.常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为 ． 【答案】3或 【详解】由椭圆，可得椭圆， 当时，表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，即， 当时，表示焦点在y轴上的椭圆， ∴，即， 综上，实数a的值为3或. 故答案为：3或. 4.椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 ； 【答案】 【详解】由题可得，设.则，又，则. 则. 故答案为： 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在椭圆上，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，△的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由已知及平面几何知识得：圆心、在的角平分线上，如图， 设圆、与轴的切点分别为，， 由平面几何知识得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上， 所以， 由椭圆的定义知，则， 有，， ，， 又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为， 因为，所以， 即，整理得，故椭圆的离心率. 故答案为： 6.已知为椭圆的右焦点，为坐标原点，为上一点，若为等边三角形，则的离心率为 . 【答案】 【详解】取椭圆的左焦点，连结，    由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是． 故答案为：. 7.已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 8.已知椭圆的离心率，且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆半焦距为， 由题意得 解得， 椭圆的标准方程为：. （2）设点，则，直线的方程为， 直线与椭圆联立， 消去，得， 则， ，得， 由题意，直线的方程为， 令，所以点的横坐标， 所以直线与轴交于定点. 9．在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$