第01讲 椭圆及其标准方程（3考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第01讲 椭圆及其标准方程 课程标准 学习目标 1 了解认识椭圆的形状； 2 了解椭圆的简单几何性质； 3 培养观察、分析和计算的能力． 1. 理解椭圆的定义； 2. 能够顺利推导椭圆的标准方程； 3. 掌握椭圆标准方程的求法． 知识点一、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）定义集合表示P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点二、椭圆的标准方程及图像 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点三、焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 题型01 椭圆的定义--焦点三角形 1.已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（    ） A．9 B．20 C．25 D．30 2.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则 3.已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 6.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型02 利用椭圆的定义求椭圆方程 1.如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4.平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 5.已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 6.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    题型03 用待定系数法求椭圆方程 1.已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上. (1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标； (2)若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标. 题型04 根据椭圆方程求参数的范围 1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 2.若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 题型05 椭圆中有关三角形周长和面积问题 1.已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 2.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 3.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 4.（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 5.已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 6.已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 7.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 8.已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 1.已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 4.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的面积为，以的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是 ．（写出一个正确答案即可） 8.已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 9.已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 10.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则 . 11.已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且． (1)试求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，点在第一象限，求证：四点共圆． 12．已知定圆，动圆P过点，且和圆相切． (1)求动圆圆心P的轨迹E的方程； (2)设P是第一象限内轨迹E上的一点，的延长线分别交轨迹E于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值． 13．已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且. (1)求动点D的轨迹方程； (2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2． (1)求的方程； (2)若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值． 15.已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程． (2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 16．已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 椭圆及其标准方程 课程标准 学习目标 1 了解认识椭圆的形状； 2 了解椭圆的简单几何性质； 3 培养观察、分析和计算的能力． 1. 理解椭圆的定义； 2. 能够顺利推导椭圆的标准方程； 3. 掌握椭圆标准方程的求法． 知识点一、椭圆的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． （2）定义集合表示P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点二、椭圆的标准方程及图像 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 知识点三、焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a＋c)． 题型01 椭圆的定义--焦点三角形 1.已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（    ） A．9 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【详解】根据椭圆定义可得：， 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以，则的最大值为25， 故选：C. 2.已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则 【答案】4 【详解】由椭圆的方程，可知， 又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，， 又，则. 故答案为：4. 3.已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，，，即，，则， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以， 所以 （当且仅当时，等号成立）． 故选：D. 4.已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的射线分别与椭圆和圆相交于点，过点作，垂足为为坐标原点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由椭圆，可得，则， 又由圆可化为，可得圆心，半径，则， 根据椭圆的定义，可得，则， 因为，可得为的中点， 又因为为的中点，可得. 故选：C. 6.（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为8 B．存在点，使得 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【详解】 由可得,焦点坐标分别为. 对A项, 的周长为，故A错误; 对B项,设存在点,根据两点间距离公式和椭圆的定义得, 即,解得或,故B正确; 对C项, 设点,,则, 所以,, 则,又因为,所以, 所以的取值范围为,故C正确; 对D项, 由C知, ,则,因为, 所以,则,同理可得,所以, 当时,取得最大值, 当或时, 的值,但且,所以的取值范围为,故D正确. 故选:BCD. 题型02 利用椭圆的定义求椭圆方程 1.如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足,延长线交椭圆于另一点，，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点在椭圆上，延长线交椭圆于另一点，且， 所以，，则，由于， 所以，即，解得， 所以，则， 则，， 所以椭圆方程为， 故选：C 3.已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 4.平面内，已知两点，及动点.给出下列结论： ①满足的点的轨迹为线段； ②若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为； ③若点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，则点的轨迹为椭圆. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【详解】对于①：，则点的轨迹为线段； 对于②： 设，因为， 即，所以点的轨迹方程为； 对于③：设，则， ，整理得， 即点的轨迹为椭圆. 故答案为：①②③ 5.已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 6.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为． 题型03 用待定系数法求椭圆方程 1.已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 【答案】或 【详解】若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 故答案为：或. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点的坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； （2）设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上. (1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标； (2)若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标. 【答案】(1)方程为，焦点坐标为， (2)横坐标为或 【详解】（1）由题设，解得，. 所以椭圆G的方程为.焦点坐标为， （2）设，，，， 因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以， 则，，所以， D，E都在椭圆上，，变形得①， 又，所以，即， 则，② ②代入①得，解得：或， 若时，，，此时C与重合，D点坐标为； 若时，联立， 可得：，解得：， 因为，所以， 所以D点横坐标为或. 题型04 根据椭圆方程求参数的范围 1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 2.若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题等价于，解得. 故选：C. 3.若曲线表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为曲线表示椭圆，即表示椭圆 则应满足即． 故选：D． 4.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 5.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 6.椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 【答案】B 【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上， 所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为， 对于椭圆，因为，则， 可得，且焦点在y轴上， 所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为， 所以A、C、D错误，B正确. 故选：B. 题型05 椭圆中有关三角形周长和面积问题 1.已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】B 【详解】解：因为，，所以， 故的周长为． 故选：B． 2.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 3.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】令椭圆的半焦距为，由的最小值为1，得， 由的周长为34，得，解得，，由，得， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 4.（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 . （2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 . 【答案】 20 【详解】（1）由椭圆可知，， 所以，即，， 由余弦定理得， 解得， 所以. （2）设椭圆的左焦点为， 由椭圆C：可得，， 则的周长为， 由，可得， 当且仅当三点共线时等号成立，即的周长的最大值为20. 故答案为：； 5.已知为坐标原点，为椭圆上任意一点，延长至，使，记点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ；若过点的直线交曲线于两点，则面积的最大值为 . 【答案】 . 【详解】    设，因为，则， 将点代入椭圆方程可得， 即曲线的方程为； 连接，由可知，所以， 设， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 则， 所以 ， 将直线的方程为代入曲线的方程可得， 因为与曲线有公共点，所以， 化简可得，令，则， 所以； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， 所以， 令，则，则； 综上所述，面积的最大值为， 则面积的最大值为. 故答案为：； 6.已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1） 易知直线PQ的方程为，不妨设， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得，所以， 又点O到直线的距离， 则 解得或； （2） 不妨设， 联立，消去y并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得， 不妨设线段MN的中点为D， 此时，所以， 因为，所以，即， 解得，满足，故． 7.已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点. ①求证：点在定直线上， ②求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）由题知，因为的面积为1，所以. 又直线的方程，即， 因为点到直线的距离为，所以， 解得，所以陏圆的方程为. （2）①由题意，当直线斜率为0时，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得， 易知. 设，则， 因为轴，轴，所以， 所以直线     (1)， 直线            (2)， 联立(1)(2)解得， 所以点在定直线上 ②因为与直线平行， 所以 因为所以 ， 令所以 当且仅当是等号成立所以的面积的最大值为. 8.已知椭圆的一个顶点为，左、右焦点为，，其中O为坐标原点，过右焦点的直线交椭圆于P，Q两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点C满足，点B在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以C为圆心的圆相切于点M，且M为线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 由题意得，， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 由（1）知，又，所以， 由题意，点B在椭圆上（异于椭圆的项点），所以直线斜率存在且不为0， 设，直线和椭圆方程联立得，得， 当时，则， 因为直线与以为圆心的圆相切于点，即为中点， 则，， ，， 因为，所以，得， 因为，所以得. 所以直线或. 1.已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程可化为， 则椭圆的焦点在轴，且， 则， 故其焦点坐标为． 故选：C. 2．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 3.（多选）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意，，故， 椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 4.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的面积为，以的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知：且，则，. 所以椭圆标准方程. 故选：B 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的周长为，所以，则， 又,的中点为 ，所以M的坐标为， 故，则， 结合，，解得， 所以椭圆C的标准方程为， 故选：A 6.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆， 所以有， 解得或． 故选：C 7.设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是 ．（写出一个正确答案即可） 【答案】（写出一个满足的即可） 【详解】由题知，解得，所以， 设，则，， 又，得到，整理得到， 由于使得成立的点恰好是个， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又，所以，得到，    故答案为：（写出一个满足的即可）. 8.已知、是椭圆C：的两个焦点，点在C上，则的最大值为 ． 【答案】25 【详解】由，得， 因为点在C上，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为25. 故答案为：25    9.已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 10.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则 . 【答案】 【详解】 设的半焦距为，由题可知，且，因为， 所以，令， 则， 所以， 则，得， 所以，因为， 所以， 解得，则. 故答案为：. 11.已知椭圆的离心率为，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，且． (1)试求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，点在第一象限，求证：四点共圆． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意知，，即，又，解得， ∴椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，根据点在第一象限可知， 因为，，故方程为：， 整理得方程为， 过四点的曲线系方程为： ， 即， 取， 则方程可以转化为①． 此时， ， 而， 故恒成立， 故， 则①为圆的方程，故对， 总四点共圆． 12．已知定圆，动圆P过点，且和圆相切． (1)求动圆圆心P的轨迹E的方程； (2)设P是第一象限内轨迹E上的一点，的延长线分别交轨迹E于点．若分别为，的内切圆的半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的圆心为，半径． 设动圆P的半径为r，依题意有．由，可知点在圆内，从而圆P内切于圆，故即． 所以动点P的轨迹E是以为焦点，长轴长为的椭圆. 并且，则，，则，求出=1 则动圆圆心P的轨迹E的方程为：． （2） 如图所示， 设，则. 直线的方程为，代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得， 故. 当时，直线的方程为， 将其代入椭圆方程并整理可得， 同理可得， 由椭圆定义可知：， 则和的周长均为． 因为， 所以 . 当且仅当时，等号成立，又因为，解方程组. 则当且仅当时，等号成立. 当轴时，易知. 此时. 综上的最大值为. 13．已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且. (1)求动点D的轨迹方程； (2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）设点D坐标为，∵，∴点A的坐标为， ∴，∴动点D的轨迹方程为. （2）    若轴，则，，∴. 若直线不与x轴垂直，设直线的方程为， 即， 则坐标原点到直线的距离：， ∴. 设，，联立， 得， ∴，. ∴ ， ∴， 当日仅当，即时，等号成立. 综上所述，最大值为4. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2． (1)求的方程； (2)若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 设， 所以，由直线的斜率与直线的斜率之商为2， 可得，所以， 又离心率，所以，则， 所以的标准方程为. （2）   当直线，直线其中一条直线斜率不存在时，不妨令， 此时面积为；    当直线，直线的斜率均存在时，不妨设直线的方程为， 则直线的方程为，设点， 联立方程可得， 所以， 联立方程可得， 所以， 所以， 因为，又， 所以，又， 所以面积的最小值为，当且仅当，即时等号成立. 15.已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程． (2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，，解得， 故椭圆的方程为． （2） 证明：设，则直线的方程为，令，得． 直线的方程为，令，得． ，， ． 由，得， 则． 故为定值． 16．已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若D为的中点． ①求D的轨迹方程； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)① ；②1 【详解】（1）由题意有，所以C的方程为； （2）设，，，则， 即， 当斜率存在时，有，即， ①当斜率存在时，由上述分析有，得， 当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程， 综上，D的轨迹方程为； ②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点， 不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$